АНАЛИЗ СТЕПЕНИ ПОВРЕЖДЕНИЙ ОТ ВЗРЫВНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА СООРУЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИИ ЛАГРАНЖА

АННОТАЦИЯ

В данной статье использованы статистические методы для оценки и анализа степени повреждения сооружений и зданий под воздействием внешних и внутренних сил. С применением распределений Гаусса и Лапласа проанализированы вероятность разрушения сооружений при взрывном воздействии и их ресурсное состояние. Кроме того, с помощью метода интерполяции Лагранжа разработаны модели функциональных зависимостей, точность которых подтверждена экспериментальными результатами. Полученные данные имеют важное значение для оценки устойчивости сооружений и определения мер безопасности.

ABSTRACT

This article employs statistical methods to assess and analyze the degree of damage to structures and buildings under the influence of external and internal forces. Using Gaussian and Laplace distributions, the probability of structural failure and the state of resources under explosive impact were analyzed. Additionally, functional relationship models were developed using the Lagrange interpolation method, and their accuracy was confirmed by experimental results. The obtained results are of significant importance for evaluating the stability of structures and determining safety measures.

Ключевые слова: Гауссово распределение, функция Лапласа, интерполяция Лагранжа, анализ конструкций, статистическое моделирование, эффект взрыва, степень повреждения, оценка ресурса, прочность конструкции.

Keywords: Gaussian distribution, Laplace function, Lagrange interpolation, structural analysis, statistical modeling, blast effect, damage degree, resource assessment, structural strength.

Введение

Оценка состояния сооружений и зданий под воздействием внешних факторов, а также определение их ресурса требуют сложных вычислительных и аналитических методов. В этом процессе важно использование статистических моделей и законов распределения. С помощью законов распределения Гаусса, Лапласа, Вейбулла-Гнеденко и других анализируются вероятности разрушения сооружений и степени их повреждений.

В данной статье рассматриваются методы анализа результатов экспериментов с учетом внешних воздействий на сооружения, используя нормальное распределение Гаусса и метод интерполяции Лагранжа. В исследовании оценивается степень повреждений сооружений на основе статистического анализа последствий случайных взрывов. Кроме того, с помощью различных методов математического моделирования анализируется динамика точек повреждений, обеспечивая точность полученных результатов.

При определении ресурсов сооружений на основе экспериментальных результатов проводится анализ их математического ожидания , средней арифметической величины , а также отклонений сооружений или зданий под воздействием внешних и внутренних сил (землетрясение, взрыв, вес или давление и т. д.), их колебаний или частичного разрушения. Одним словом, анализируется дисперсия  отклонений от центра тяжести, а также среднеквадратичное отклонение .

Во всех статистических распределениях (Гаусса, Рэлея, Стьюдента, Фишера-Снедекора, Вейбулла-Гнеденко и др.) должны быть определены три основных параметра: математическое ожидание , дисперсия случайной величины  и среднеквадратическое отклонение . Среди них нормальное распределение Гаусса особенно выделяется высокой точностью при диагностике степени повреждения сооружений и зданий, а также при научном исследовании их физико-механических свойств [1-3].

Методология и результаты научного исследования

Были проведены различные эксперименты, зафиксировано давление на разных расстояниях от эпицентра взрыва, а также выполнен статистический анализ воздействия взрыва с помощью численной модели [4]. Научно анализируется подчинение точек повреждения здания нормальному закону Гаусса при взрывах случайных зарядов ТНТ (тринитротолуола) массой  кг. В процессе расчета коэффициент вариации , причем в ряде случайных взрывов его значение принималось неизменным.

Функция плотности нормального распределения (дифференциальная) выражается в следующем виде:

                          (1)

Функция  - это дифференциальная или плотностная функция распределения массы по Гауссу, где  - среднеквадратичное отклонение,  - неизвестное математическое ожидание; ...

Следует отметить, что полученные результаты могут быть сравнены с вероятностями того, что случайное значение попадет в данный интервал, и вычисляются по следующей формуле:  где - функция Лапласа, значения которой приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Значения функция Лапласа

Используя распределение Лапласа, мы использовали статистические данные, приведенные в таблице 1, для анализа данных TNT.

Исследовательские результаты по распределению Лапласа приведены в виде таблицы 2.

Таблица 2.

Исследовательские результаты по распределению Лапласа

Для повышения точности и надежности результатов научных исследований, мы будем использовать многочлен Лагранжа для непрерывной интерполяции.

Научные исследования и анализ литературы показывают, что, несмотря на наличие достаточного количества научных работ, посвященных анализу степени повреждения зданий и сооружений под воздействием внешних сил с использованием распределений Гаусса и Лапласа, методы, позволяющие непрерывно определять разрушения зданий, исследованы недостаточно. Поэтому мы считаем целесообразным анализировать практические результаты нашего научного исследования с использованием метода интерполяции Лагранжа.

Метод интерполяции многочлена требует построения многочлена степени , который удовлетворяет условию  () для заданных значений . Другими словами, график этого многочлена должен проходить через (n) точек .

 это многочлен степени n, (где ) а  непрерывные значения аргумента, заданные в таблице. В таком случае формула Лагранжа будет правильной:

и её расширенная форма:

 ,

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.

На основе результатов проведенного эксперимента была составлена таблица 3 для получения многомерного Лагранжевого множителя.

Таблица 3

Получения многомерного Лагранжевого множителя

Вспомогательный многочлен: ;

Из полученного многочлена находим производную первого порядка.

Вычисляем :

В результате упрощения полученного многочлена и вычисления производных значений получаем:

Тогда выражение множества Ланглажа выглядит следующим образом:

После раскрытия скобок и упрощения членов x³, x², x и свободных членов, мы получаем следующий полином Лагранжа (рис. 1). Подставляя x = m (то есть ), мы формируем полином Лагранжа третьей степени с одним неизвестным:

Масса взрывчатого вещества (m) 

Рисунок 1. Анализ массы портового вещества в модели полинома Лагранжа

Заключение

Результаты, полученные из функции Лангража, и кривая связи с катализирующими веществами также нашли свое подтверждение в данных, приведенных в научных исследованиях ведущих зарубежных ученых и в публикациях авторов[5].

Функция Лагранжа представляет собой функционал, выражающий непрерывное действие сил, воздействующих на здание при различных значениях m, и позволила теоретически подтвердить результаты практического эксперимента, представленного в виде полинома третьей степени с одним неизвестным.

В данном исследовании были использованы статистические и аналитические методы для оценки степени повреждения сооружений и зданий под воздействием внешних сил. С помощью распределений Гаусса и Лапласа была создана возможность оценки воздействия взрыва. Применение метода интерполяции Лагранжа позволило провести непрерывный функциональный анализ воздействия взрыва. Этот метод предоставил возможность создания точного аналитического метода, отвечающего современным требованиям. Будущие исследования, использующие данную методику, будут направлены на создание моделей, адаптированных к реальным объектам, что соответствует поставленной цели.

Список литературы:

1. Маматкулов А.А., Кодиров А.Р., Махмудов Н.А., Курбанбаев М.Ш., Турсунов К.М.. Математическое моделирование уровня прочности и анализ вероятности повреждения элементов конструкций зданий под воздействием случайного взрыва. Журнал механики №3. Ташкент: 2024 114-119 с.
2. Белов Н.Н. и др. Расчет железобетонных конструкция на взрывные и ударные нагрузке. Нортнэмптон -Томск, 2004 – 465 с.
3. Белов Н.Н., Югов Н.Т. и др. Расчет прочности сталебетонных колоны на взрывные и ударные нагрузки. Вестник ТАСУ “2, 2007. С-132-138.
4. Мкртычев О.В. Надежность многоэлементных стержневых систем инженерных конструкций. Дисс. д-р тех.наук: Московский государственный строительный университет. Москва: 2000-324 с.
5. Tursunov K.M., Makhmudov N.A., Mamatkulov A.A., Ummatkulov F.M.. Statistical analysis of random explosion parameters at various levels of damage to structures and buildings. International multidisciplinary journal for research & development. P. 19-22