ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

АННОТАЦИЯ

В данной статье предложен метод решения одной из основных задач плоской статической теории упругости, заключающейся в определении перемещений упругого тела, занимающего ограниченную область на плоскости и находящегося в равновесии под действием массовых сил при заданных граничных перемещениях. Рассматривается случай, когда область имеет форму круга, и демонстрируется, как задача сводится к решению линейной краевой задачи для двух аналитических функций. Получена формула для решения, основанная на методах комплексного анализа. Также показано, как неоднородная система уравнений сводится к однородной при помощи вспомогательной функции.

ABSTRACT

This paper proposes a method for solving one of the basic problems of the plane static theory of elasticity, which consists in determining the displacements of an elastic body occupying a bounded region in the plane and being in equilibrium under the action of mass forces at given boundary displacements. The case when the region has the form of a circle is considered, and it is demonstrated how the problem is reduced to the solution of a linear boundary value problem for two analytic functions. A formula for the solution based on complex analysis methods is derived. It is also shown how an inhomogeneous system of equations is reduced to a homogeneous one by means of an auxiliary function.

Ключевые слова: упругое тело, статическая теория упругости, аналитические функции, плоская задача, линейная краевая задача, функция перемещений, комплексные методы.

Keywords: elastic body, static theory of elasticity, analytical functions, plane problem, linear boundary value problem, displacement function, complex methods.

Введение. Одной из фундаментальных задач плоской статической теории упругости является определение перемещений упругого тела, находящегося в равновесии под действием массовых сил при заданных граничных условиях. В данной работе рассматривается случай, когда тело занимает ограниченную область круглой формы. Предложен аналитический метод решения, основанный на сведении задачи к краевой задаче для двух аналитических функций комплексного переменного. Такой подход позволяет получить явную формулу решения и упростить анализ задачи. Если предположить, что упругое тело занимает на плоскости  конечную область , ограниченную простым замкнутым гладким контуром , находится в равновесии под действием массовых сил при заданных на границе  перемещениях , то приходим к задаче об определении перемещения  которые должны удовлетворять уравнениям [1,2]

                                          (1)

(2)

(постоянные Ламе) с граничными условиями

Методы исследования и материалы. Для решения задачи применены методы комплексного анализа, в частности представление функций через аналитические компоненты, использование линейных краевых задач и интегральных соотношений, а также метод предельного перехода к граничным значениям. Сначала будем искать решение однородной системы (1) в случае  () круг, когда на его границе () заданы перемещения  (2). В конце покажем как свести неоднородную систему к однородной. Первое однородное уравнение в (1) прибавим ко второе однодродное уравнение, умноженное на  и вводя обозначения , а также производные , , однородную систему (1) перепишем в виде одного комплексного уравнения

                                           (3)

Интегрируя эту систему, получим представление решения через две произвольные аналитические функции  в круге :

.                                    (4)

В силу условия (2), мы получим линейную краевую задачу для двух аналитических функций .

Теперь чтобы избавиться от функции , мы умножим уравнение (4) на   и  проинтегрируем [3]:

Отсюда в силу того, что в правой предпоследний интеграл равен нулю, а последний интеграл равен, а на границе  получим

Так как

то

Вычитая последнее равенство из (4), имеем

  .                                                                     (5)

Переходя в этой формуле к пределу некоторой граничной точке  изнутри, получим

+

Из этого равенства переходя к сопряженному, имеем формулу

                                (6)

А в силу того, что

видим в левой части (6) стоит граничное значение изнутри интеграла ,   представляющую собою тоже аналитическую функцию в , а в правой части (6) стоит граничное значение аналитической внутри области  () функции. Cледовательно, продолжая (6) внутрь , получаем

 .                                  (7)

Продифференцировав обе части по переменной z, имеем

и отсюда

.

Таким образом, из функционального уравнения (7) легко находим

(8)

Подставляя (8) в (5), мы получим решение нашей задачи (1)-(2):

  (9)

Теперь покажем, что неоднородная система (1) при известной функцией

                            (10)

приводится к однородной системе обычным способом. Для этого положим

,

где [4,5]

 ,             

тогда система (10) для функции   переходит к однородной системе

Результаты. Новизна работы заключается в использовании комплексного представления решения задачи теории упругости через аналитические функции с последующим сведением задачи к линейной краевой для этих функций. Также предложен способ приведения неоднородной системы уравнений к однородной, что упрощает решение задачи.

Обсуждение. Предложенный в работе подход к решению плоской задачи теории упругости с заданными граничными перемещениями демонстрирует эффективность методов комплексного анализа в теоретической механике. Сведение исходной задачи к линейной краевой задаче для пары аналитических функций позволяет значительно упростить решение и получить его в явной форме, что важно как с теоретической, так и с прикладной точки зрения. Особенность рассмотренного случая — круглая область — обеспечивает возможность использования симметрии и ряда аналитических приёмов, недоступных при более сложной геометрии. Однако полученные результаты могут служить основой для дальнейшей генерализации на области с иными формами границ при наличии соответствующих условий регулярности. Применение вспомогательной функции для сведения неоднородной системы к однородной является важным элементом метода. Такой приём не только упрощает математическую структуру задачи, но и открывает путь к использованию хорошо разработанных методов теории обобщённых аналитических функций. Следует отметить, что использование методов, основанных на комплексном переменном, может оказаться чувствительным к гладкости граничных условий и аналитичности входящих функций. Это ограничивает непосредственное применение подхода к задачам с более сложными или разрывными граничными условиями, что требует дальнейшего изучения. Возможными направлениями для будущих исследований являются:

• расширение метода на случаи областей с углами или произвольной формой;
• численная реализация предложенного аналитического решения;
• учёт дополнительных факторов, таких как наличие включений или неоднородностей в материале.

Таким образом, полученные результаты не только подтверждают применимость классических методов математической физики в задачах упругости, но и создают основу для их дальнейшего развития.

Заключение. В результате исследования получено явное представление решения задачи плоской теории упругости при заданных граничных перемещениях в круговой области. Предложенный метод позволяет эффективно решать как однородные, так и неоднородные задачи данного класса, используя инструменты комплексного анализа и теории аналитических функций.

Список литературы:

1. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 708 с.
2. Лурье А. И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 600 с.
3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.
4. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. — М.: Физико-математическая литература, 1959. — 628 с.
5. Скрипняк В. А., Скрипняк Е. Г. Методы решения плоских задач линейной теории упругости. — Томск: Томский государственный университет, 2009. — 142 с.