ФОРМИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК ПОКРЫТИЙ МЕТОДОМ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрена параметризация поверхности посредством сплайнов для случаев, когда каркас поверхности проецируется на сетку, образованную двумя семействами кривых линий. Все это дает возможность получить произвольные сечения плоскостями, которые изображают пласты земли, что важно для сгущения каркаса поверхностей вращения, применяемых в различных технических формах, особенно поверхности заданных точечным каркасом, который в свою очередь приводит к значительному затрату труда и экономии компьютерного времени.

ABSTRACT

The article considers the parameterization of a surface using splines for cases when the surface framework is projected onto a grid formed by two families of curved lines. All this makes it possible to obtain arbitrary sections by planes that depict layers of the earth, which is important for thickening the framework of surfaces of revolution used in various technical forms, especially surfaces specified by a point framework, which in turn leads to significant labor costs and savings in computer time.

Ключевые слова: аппроксимация, параметризация, сплайн, каркас, поверхность, полиномы, гладкость, конструирование, формообразование, частное производные, граничные условия, аналитическое задание.

Keywords: approximation, parameterization, spline, framework, surface, polynomials, smoothness, construction, shaping, partial derivatives, boundary conditions, analytical task.

Введение. В последнее время в численном анализе появились сплайны – эффективное средство интерполяции. По сравнению с классическим аппаратом приближения многочленами, сплайн-функции обладают двумя важными преимуществами: 1) лучшей сходимостью сплайнов к аппроксимируемым объектам; 2) простотой в реализации алгоритмов построения сплайнов на современных компьютерах. Опыт применения сплайн-функций в инженерной практике показывает, что во всех известных случаях удавалось добиться ощутимых результатов по сравнению с классическим аппаратом многочленов. В одних задачах интерполирование сплайнами приводит к повышению точности результатов, в других – к значительному сокращению вычислительных затрат, в-третьих – достигаются оба эффекта одновременно [4].

Материалы и методы. Предположим, что каркас поверхности  проецируется на сетку  , образованную двумя семействами линий    (y);  (рис.1). При этом разбивка линий сетки на два семейства производится таким образом, чтобы функции   были однозначными.

Если окажется, что среди линий сетки есть такая, которая не может быть задана однозначной функцией, тогда эту линию нужно разбить на куски таким образом, чтобы каждый из кусков задавался однозначной функцией. Очевидно, что линии каждого из семейств (y) n (х) в общем случае будут проходить через различное число узлов сетки. На рисунке 1 для удобства нумерации каждая из линий семейства (y) проведана через n+1 узел, а семейства – через m+1 узел. Заметим также, что если каркас поверхности   задан точечно, тогда линии семейств  восстанавливаются одномерными сплайнами степени 2P-1 (P≥1), если придерживаться при этом указанного выше принципа однозначности [5].

Рисунок 1. Определение координат узлов сетки

Координаты узлов сетки , лежащие на пересечении линий обозначим через

Точки каркаса, проецирущиеся в узлы сетки  , обозначим через  

)

Для начала кривых  и  примем соответственно точки  и  ). Длину дуги, отсчитываемую от начальной точки  вдоль кривой , обозначим через , расстояние узлов сетки , лежащих на этой кривой, от её начала – . Таким образом,  новая переменная величина;  – ее фиксированные значения. Очевидно, [3] что

Аналогично длины дуг, отсчитываемых вдоль кривых (y) от начальных точек , обозначим через  расстояния узлов сетки, лежащих на этой линии, от их начала через  , т. е.

Переходим к параметрам 𝓊 и 𝓋. Для этого введем теперь параметры 𝓊, 𝓋, определяемые равенствами:

                              (3)

                       (4)

Формулы (3) и (4) отображают сетки , на сетку   , находящуюся в плоскости ОUV (рис. 2).

Рисунок 2. Ступенчатая фигура, сложенная из единичных квадратов

Очевидно, что сетка  представляет собой (прямоугольник ( ≤u≤h; ≤V≤m), разбитый линиями u=i (i=1,2, …, n-1); v=j (j=1,2, …, m-1) на единичные квадраты (в общем случае это будет некоторая ступенчатая фигура, сложенная из единичных квадратов).

Поскольку значения величин x, y, z заданы в узлах сетки  то эти величины можно рассматривать как задающие поверхность x=x (u, v); y=y (u, v), z=z (u, v) с точечным каркасом [2].

Такие поверхности легко описываются двумерными полиномиальными сплайнами, причем, если требуется, чтобы гладкость восстанавливаемой поверхности имела порядок Р-1, то необходимо воспользоваться сплайнами степени 2Р-1, как по u, так u по v. Целесообразно записывать такие сплайны через базисные полиномы , , определяемые равенствами: 

где  – символ Кронекера.

Если для значений смешанной производной в узлах сетки ввести символы вида:

тогда интерполяционные сплайны запишутся следующим образом:

 многочлены носители, которые при фиксированных i, j сосредоточены на квадрате ,  а сами они определяются нижеследующими выражениями.

Входящие в сплайн (3) параметры:

Параметры  при K=0,1, …, p-1; l=1,2, …, p-1; или K=1,2, …, p-1, l=0,1, …, p-1 можно определить, с условиями, чтобы для сплайнов (5) и производных от них, взятых по направлениям нормалей к линиям сетки, выполнялись дополнительные условия гладкости вдоль линии сетки. При этом на участках сетки, прилежащих к вершинам её граничного прямоугольника, целосообразно выбрать полиномы степени P [1]. Параметризация оболочек покрытий сплайнами рассматриваемого выше вида даст возможность получать сечение поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям OXZ, OYZ.

Предположим, что вертикальной плоскостью  произведено сечение поверхности  Линия сетки  будет пересечена этой плоскостью в точке  находящейся от начала этой линии на расстоянии (1).

Из (1) следует, что точка () равенствами (3) отображается в точку () координаты которой определяются равенствами:

;

Теперь можно определить точку  поверхности  проецирующуюся точку (). Аппликата этой точки равна ), следовательно, можно положить  ). Определив таким образом аппликаты всех множеств точек поверхности z=𝑓 (x, y), проецирующихся в точки пересечения линий сетки с поверхностью , получим табличное задание этого сечения. Если требуется его аналитическое задание, можно прибегнуть к одномерному сплайну требуемой гладкости.

Пример. Оценим рассмотренный аппарат восстановления сплайн-поверхности на криволинейной сетке. Для сравнения в качестве поверхности задана сфера радиусом R=5. 

Пусть задано:

1) сфера 

2) пучок плоскостей, проходящих через ось OX вида аy-(1-a) , где o≤a≤1;

3) пучок плоскостей, проходящих через ось OУ вида bx-(1-b) z=0, где о≤b≤1;

4) область пространства y≥o; z≥o

Плоскости ay-(1-a)  и bx-(1-b)  пересекаясь со сферой, образуют криволинейную сеть на поверхности в виде плане.

Координаты точечного каркаса на поверхности получим, решив нижеследующую систему уравнений:

Результаты вычислений приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Точечной каркас поверхности

Посредством параметров (4) и (5) криволинейную сетку, плоскости XOY  отображаем на сетку, представляющую собой прямоугольник [-3≤y≤3; 0≤v≤4], разбитый прямыми u=i(i=0÷±3); v=j (i=0÷4) на единичные квадраты.

Поскольку значения x, y, z в узлах сетки области заданы (табл. 1), то эти величины можно рассматривать как задающие поверхность:

Для сравнения и анализа возьмем точечный каркас поверхности, заданный таблицей 1, через который проводится сплайн-поверхность (5). Восстанавливаются значения x, y, z и их производные на линиях сетки  в области . Чтобы построить сплайн-поверхность (5), необходимо определить неизвестные параметры  (k, l=0,1). Их можно определить, потребовав непрерывность вторых производных, т.е. из систем уравнений:

 (1), (5), (6) с заменой величин  на  где  задано таблично. Результаты решения уравнений донесены в таблицах 2 по 4.

Таблица 2.

Значения производных  на линиях

Таблица 3.

Значения производных  на линиях

Таблица 4.

Значения производных  на линиях

Итак, построение параметрического сплайна (5) сводится к вычислению величин . Далее, сплайн поверхность, проходящую через точечный каркас, заданный таблицей 1 можно записать в виде:

где   определяются по формулам (6), (7), (8) соответственно.

Заключение. Таким образом, можно сделать нижеследующие выводы:

1. Разработан в качестве аппарата для математического моделирования поверхностей обобщенный эрмитовый сплайн, построенный на криволинейной сетке.

2. Предложены методы описания поверхностей для случая, когда сетка задана двумя семействами кривых линий, осуществлен переход от обобщенного эрмитового сплайна, что позволяет построить математическую модель поверхности точечного каркаса без предварительного отображения на прямоугольной сетке, который в свою очередь приводит к значительному   сокращению затрат труда и экономии компьютерного времени.

3. Произведена параметризация поверхности посредством сплайнов для случаев, когда каркас поверхности проецируется на сетку, образованную двумя семействами кривых линий. При этом даны формы, позволяющие осуществить переход к исходным (декартовым) координатам вдоль линии сетки. Все это дает возможность получить произвольные сечения плоскостями, которые изображают пласты земли, что важно для сгущения каркаса поверхностей вращения, применяемых в различных технических формах особенно поверхности заданных точечным каркасом.

Список литературы:

1. Aхмедов Ю., Aсадов Ш.К., Аппроксимация гиперповерхностей полиэдрами применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий в Eⁿ пространстве // Universum: технические науки: электрон.  научн.  журн. – № 4 (97). – 2022. – С. 19–23. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13430 (дата обращения: 12.03.2025).
2. Васильев А.А. Аппроксимация с интерполяцией сплайнами произвольного дефекта // Математические заметки. – 2018. – Т. 29. – Вып. 5. – С. 743–748.
3. Волков Ю.С. Изучение сходимости процессов интерполяции для сплайнов четной степени // Сибирский математический журнал. –2019. – Т. 60. – № 6. – С. 1247–1259.
4. Завьялов Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии. – М.: Машиностроение, 1985. – 224 с.
5. Ньюмен У., Спрулл Р. Основы интерактивной машинной графики. –М.: Мир, 1976. – 572 с.
6. Рамазанов А.-Р.К., Магомедова В.Г. Безусловно сходящиеся интерполяционные рациональные сплайны // Математические заметки. –  2018. – Т. 103. – Вып. 4. – С. 592–603.