МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОГИБОВ ДЛИННЫХ ВАЛОВ ПРИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ

АННОТАЦИЯ

В статье представлена математическая модель, предназначенная для предварительного определения прогибов длинных цилиндрических валов в процессе механической обработки. Рассмотрены основные силы, вызывающие прогибы (собственный вес детали, центробежная сила, силы резания и реакции опор), а также применение опорных устройств (люнетов) для минимизации таких деформаций.

ABSTRACT

The article presents a mathematical model designed for preliminary determination of deflections of long cylindrical shafts during mechanical processing. The main forces causing deflections (the workpiece's own weight, centrifugal force, cutting forces, and support reactions) are considered, as well as the use of support devices (steadies) to minimize such deformations.

Ключевые слова: математическая модель, длинный вал, прогибы, сила резания, токарная обработка, люнет.

Keywords: mathematical model, long shaft, deflections, cutting force, turning, steady rest

Введение

В условиях рыночной экономики машиностроительная отрасль требует выпуска качественной и доступной продукции. Одним из ключевых технологических процессов является механическая обработка деталей [2,3]. В машиностроении валовые детали широко используются практически во всех машинах и устройствах, особенно длинные цилиндрические валы.

Несмотря на кажущуюся простоту, обработка длинных валов сопровождается рядом проблем, связанных с их геометрическими параметрами. Длинные валы часто подвержены деформациям и вибрациям, что приводит к потере точности размеров. [1].

Материалы и методы

В процессе механической обработки длинные цилиндрические валы подвергаются различным деформациям под действием множества сил: собственного веса, центробежной силы вращения и сил резания. Предварительное определение величины таких деформаций может быть выполнено с использованием математического моделирования.

Математическая модель представляет собой систему уравнений, выражающих поведение исследуемого объекта:.

• детерминистическая модель – с точными повторяющимися результатами (например, для механических процессов);
• стохастическая модель – результаты изменяются на вероятностной основе (например, для экономических прогнозов);
• модель на основе дифференциальных уравнений – описывает изменения, зависящие от времени (например, уравнения движения);
• эмпирическая модель – создается на основе экспериментальных данных.

Основные элементы математической модели:

• Основные элементы математической модели:
• Входные параметры – переменные и начальные условия;
• Математические выражения – формулы, описывающие процесс;
• Выходные данные – прогнозируемые результаты или оценки.

Определяем геометрические свойства вала и входные параметры.

1. Форма вала: Цилиндрическая деталь с равномерным круглым поперечным сечением ( – диаметр) длиной  в направлении x.

2. Опоры: Вал поддерживается с обоих концов:  и момент . Это отражает состояние закрепления вала с помощью трёхкулачкового патрона и центра задней бабки. Вал раскололся на части при прикреплении промежуточных люнетов:

.

3. Свойства материала:

•  – модуль упругости (для стали 2.0 . . . 2.1 *10¹¹ Па),
•  – плотность (для стали ≈7850 кг/м³),
•  – ускорение свободного падения. 

4. Сечение: Круглая форма . Когда отношение длины к диаметру велико () вал легко сгибается.

Статическое отклонение: из-за собственного веса вала

Вал прогибается под действием собственного веса (равномерно распределенной силы). В теории двухопорных тел (Эйлер-Бернулли [5,6]]) максимальное отклонение возникает при  и определяется по классической формуле.

                                                                                     (1)

                                                                            (2)

Здесь:

 – вес на единицу длины вала (Н/м),

 – решение дифференциального уравнения.

(Пример:  м,  м,  Па:  мм)

Центробежная сила при вращении.

Когда вал вращается, если он не сбалансирован, если вес смещен от центра тяжести или если вал изогнут, центробежная сила будет еще больше сгибать вал. Линейное дифференциальное уравнение Эйлера-Бернулли в динамическом представлении с добавлением весовой инерции:

                                                                         (3)

Если угловая скорость равна , для вынуждающих сил вводится дополнительный коэффициент (например, дисбаланс). Критическая частота вращения:

                                                                                      (4)

Это следует из приведённого выражения. На практике, если длина вала значительно превышает его диаметр, критическая скорость вращения будет весьма низкой, и вал может испытывать вибрации даже при сравнительно низких оборотах. Поэтому на практике уменьшить деформации и повысить частоту, при которой возникает резонанс, можно за счёт балансировки вращающейся детали, снижения отношения  длины вала к его диаметру или установки промежуточных опор (люнетов), например, через каждый 1 метр.

Силы резания

В процессе механической обработки режущий инструмент воздействует на вал силой резания (), направленной в радиальном направлении. Для балки, закреплённой на двух опорах и нагруженной силой в одной точке, прогиб определяется формулой.:

- Если  находится в центре оси (),

                                                                                   (5)

Здесь:

 – Эта сила направлена вертикально, лежит в плоскости резания и действует в направлении резания. Обычно её называют основной силой резания, и она зависит от режима обработки [1].

- Если сила  приложена в точке  на валу, то максимальный прогиб обычно наблюдается в зоне . Аналитическое уравнение имеет следующий вид:

                              (6)

При механической обработке длинных валов с целью сокращения времени обработки возможно одновременное использование нескольких режущих инструментов. В этом случае сила  может действовать в нескольких точках или быть распределённой; для расчёта возникающих прогибов в таком случае применяется принцип суперпозиции или численные методы..

Сила резания рассчитывается следующим образом:

                                                        (7)

Здесь:

 – сила резания, (Н)

 – коэффициент, зависящий от обрабатываемого материала и условий резания

 – глубина резания, (мм)

 – подача, (мм/об.)

Здесь  и  — показатели степени параметров  (глубины резания) и  (подачи)

Например: при силе резания  Н, длине вала  м, диаметре  мм для стального вала максимальный прогиб, рассчитанный по приведённой выше формуле, может составить около  мм. Это говорит о том, что деформация, вызванная силами резания, может значительно превышать деформацию от собственного веса вала

Результаты и обсуждение

Оптимизация расстояния установки опоры

Установка люнетов в середине или в нескольких точках (промежуточных опор) разделяет вал на несколько более коротких участков (теоретический ). Если учитывать, что прогиб от собственного веса пропорционален , то сокращение длины вала существенно уменьшает его прогиб. Например, если разделить вал на две равные части и установить люнет в середине, длина каждого участка станет , а максимальная деформация уменьшится примерно в 16 раз. Поэтому для длинных валов (при отношении ) устанавливают один, два или более люнетов, чтобы уменьшить . На практике место установки люнета следует выбирать ближе к зоне воздействия сил резания () и участку вала, где наблюдается наибольшая деформация.

Математическая оценка: если установить один люнет, разделив длинный вал на два участка (), то прогиб каждого участка рассчитывается отдельно. Например, для диапазонов ​ и . Оптимальный вариант, как правило, – ​, то есть установка люнета в середине. Однако, если сила резания приложена ближе к одному из концов, целесообразно расположить люнет ближе к этой зоне.

Заключительная математическая модель: суперпозиция

Общая деформация (прогиб) длинного вала оценивается как сумма влияний различных факторов: собственного веса, центробежной силы (дисбаланса) при вращении, силы резания и реакций опор. В рамках классической теории Эйлера–Бернулли дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

                          (8)

Здесь:

 – если вал рассматривается динамически при его вращении,

 – загрузка собственным весом,

 – сила резания,

 – реакция люнетов или дополнительных опор.

Алгоритм определения прогиба:

1. Определяются действующие силы.
2. Устанавливаются граничные условия: вал считается закреплённым на обоих концах (или одним концом в патроне, другим – в центре).
3. Анализ проводится с использованием уравнений Эйлера–Бернулли в статическом режиме или методом суперпозиции.
4. Дополнительно оценивается критическая скорость вращения .
5. Если установлены люнеты, вычисляется максимальный прогиб для каждого участка ​, после чего определяется наибольшее значение .

Заключение

Предложенный метод позволяет теоретически оценить степень прогиба длинных цилиндрических валов в процессе их механической обработки. На основе рассчитанных прогибов можно учитывать отклонения готовых деталей от заданных размеров (деформации), при необходимости оптимизировать расположение опор (люнетов), снизить режимы резания (уменьшить силы резания) или выбрать наиболее эффективные методы, такие как непрерывное охлаждение и подача смазочно-охлаждающей жидкости.

Список литературы:

1. Файзиматов Ш.Н., Омонов А.А. - МЕХАНИК ИШЛОВ БЕРИШ ЖАРАЁНИДА ЦИЛИНДРСИМОН УЗУН ВАЛЛАРГА ТАЪСИР ЭТУВЧИ КУЧЛАРНИНГ ТАҲЛИЛИ – ФарПИ Илмий техника журнали. 2025 Махсус сон №2
2. Омонов А. А. У. СВЕРЛЕНИЕ ГЛУБОКИХ ОТВЕРСТИЙ //Универсум: технические науки. – 2022. – №. 11-2 (104). – С. 32-35.
3. Омонов А. А. О. Г. Л. Чуқур тешикларни пармалаш //Ориентал ренаиссанcе: Инновативе, эдуcатионал, натурал анд соcиал сcиенcес. – 2021. – Т. 1. – №. 9. – С. 91-96.
4. Smith A. On the dynamic deflection of rotating shafts with unbalance. Mechanical Eng. Journal, 2017, №4.
5. Timoshenko S., Gere J.M. Theory of Elastic Stability. — McGraw-Hill, 1961.
6. Белоносов В.П. Сопротивление материалов. — Москва: Высшая школа, 2008.