СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЗРЫВОВ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УРОВНЯХ ПОВРЕЖДЕНИЯ СООРУЖЕНИЙ И ЗДАНИЙ

АННОТАЦИЯ

В данной статье проведён анализ определения ресурса зданий и сооружений с использованием статистических методов. На основе результатов экспериментов выполнено математическое моделирование для исследования эксплуатационного срока объектов, их состояния под воздействием внешних и внутренних сил. Оценена степень повреждения зданий и сооружений под воздействием взрывчатых веществ на основе нормального распределения Гаусса. Определены такие статистические параметры, как коэффициент вариации, среднее арифметическое значение, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Результаты расчётов показали соответствие математико-статистического анализа случайных взрывных процессов экспериментальным данным.

ABSTRACT

This article analyzes the determination of the resource capacity of buildings and structures using statistical methods. Based on experimental results, mathematical modeling was performed to study the operational lifespan of objects and their condition under the influence of external and internal forces. The degree of damage to buildings and structures caused by explosive substances was assessed using the Gaussian normal distribution. Statistical parameters such as the coefficient of variation, arithmetic mean, variance, and standard deviation were determined. The calculation results demonstrated that the mathematical and statistical analysis of random explosion processes corresponds to experimental data.

Ключевые слова: статистический анализ, математическое моделирование, долговечность сооружений, нормальное распределение Гаусса, коэффициент вариации, среднее арифметическое, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, взрывные процессы, повреждение зданий.

Keywords: statistical analysis, mathematical modeling, structural durability, Gaussian normal distribution, coefficient of variation, arithmetic mean, variance, standard deviation, explosive processes, building damage.

Введение. С использованием статистических методов можно математически моделировать любые экспериментальные результаты. Суть элементов математической статистики заключается в определении всех параметров функций распределения случайных процессов (явлений). Для нахождения этих параметров и их значений, как правило, требуется использование интегрального исчисления и решение дифференциальных уравнений. Подобные задачи находят свое решение в разделе математического анализа.

Материалы и методы. При определении ресурса сооружений на основе экспериментальных данных анализируются математическое ожидание 𝑀(𝑥), среднее арифметическое значение, а также поведение сооружений и зданий под воздействием внешних и внутренних сил (землетрясения, взрывы, нагрузки, давление и т. д.). В частности, рассматриваются их колебания или повреждения различной степени, выраженные через отклонения от центра тяжести 𝐷(𝑥) дисперсия и среднеквадратическое отклонение 𝜎(𝑥).

Результаты и обсуждение

Ресурс — это показатель, определяющий, сколько времени сооружение (здание) может эксплуатироваться и как долго оно сможет продолжать функционировать без остановки [1]. Диагностика ресурса выражается через функцию . Состояние сооружений, поврежденных в результате случайного взрыва, доказано зависит от параметров взрывчатого вещества. Однако степень взаимосвязи между составными компонентами взрывчатых веществ и их статистическими параметрами (, ,   — коэффициенты вариации) не всегда удается точно определить. Коэффициент вариации выраженный в процентах, показывает отношение среднеквадратичного отклонения к среднему арифметическому значению и определяется по формуле: .

Если масса взрывчатого вещества  увеличивается, а расстояние между зарядом и объектом 𝑅 становится относительно меньшим (ближе), то коэффициент вариации давления будет тем больше [2].

Во всех статистических распределениях (Гаусса, Рэлея, Стьюдента, Фишера-Снедекора, Вейбулла-Гнеденко и др.) должны быть определены три основных параметра: математическое ожидание 𝑀(𝑥)=𝑎𝑚, дисперсия случайной величины 𝐷(𝑥) и среднеквадратическое отклонение 𝜎(𝑥). Среди них нормальное распределение Гаусса особенно выделяется благодаря своей высокой точности при диагностике степени повреждения сооружений и зданий, а также при научном исследовании их физико-механических свойств [3]. В ходе ряда исследований были проведены эксперименты, в рамках которых фиксировалось давление на различных расстояниях от эпицентра взрыва. Влияние взрыва анализировалось с помощью численной модели и подвергалось статистическому анализу [4]. Для случайных зарядов из ТНТ (тринитротолуола) с массой m = 10 – 30 кг научно анализируется соответствие точек повреждения здания нормальному закону Гаусса. В процессе расчетов коэффициент вариации был принят равным  и считался неизменным при ряде случайных взрывов.

Плотность (дифференциальную) функцию нормального распределения можно выразить в следующем виде:

                                                  (1)

Здесь:

𝑓(𝑚) — дифференциальная (плотностная) функция распределения Гаусса по массе;

 — среднеквадратическое отклонение;

 — неизвестное математическое ожидание,

𝑒 = 2.71... — основание натурального логарифма.

Рисунок 1. Гистограмма массы m заряда тринитротолуола

Таблица 1.

Статистический анализ данных

Если данное статистическое распределение близко к среднему значению, то выполняется приближенное равенство ℎ𝑓(𝑥). В дальнейшем будут предложены более точные критерии, соответствующие эмпирическому и теоретическому законам распределения.

Подставляя переменную в формулу , записываем статистическое распределение для T и T² (таблица 2).

Таблица 2.

Статистическое распределение T и T²

Рисунок 2. График зависимости W от T²

Из этого следует:

.

Если , то  где  

На основе вышеуказанных вычислений была составлена таблица 3, в которой представлены значения функции - . На основе этих данных построен график функции плотности распределения Гаусса [5].

Таблица 3.

Значения функции -

Рисунок 3. График зависимости hf(x) от x

Заключение. Вывод заключается в том, что степень повреждения зданий и сооружений была проанализирована с использованием математико-статистических методов. Построена диаграмма зависимости между массой взрывчатых веществ в диапазоне [10...30] кг и их количеством (частотой). Анализ показал, что при случайных взрывах с массой заряда от 10 до 30 кг и количеством от 1 до 7 точек разрушения зданий и сооружений подчиняются нормальному распределению Гаусса. Результаты математико-статистического анализа подтвердили соответствие экспериментальных данных теоретическим моделям.

Список литературы:

1. Дорожинский В.Б., Вероятностный расчет элементов конструкций на случайное взрывное воздействие в нелинейной динамической постановке. Москва – 2012. -Стр. 83-90.
2. Маматкулов А.А., Кодиров А.А., Махмудов Н.А., Курбанбаев М.Ш., Турсунов К.М. Математическое моделирование уровня прочности и анализ вероятности повреждения элементов конструкций зданий под воздействием случайного взрыва. Журнал механики, №3. Ташкент, 2024. -Стр. 114–119.
3. Белов Н.Н. и др. Расчет железобетонных конструкций на взрывные и ударные нагрузки. Нортгемптон – Томск, 2004. -Стр. 465 с.
4. Белов Н.Н., Югов Н.Т. и др. Расчет прочности сталебетонных колонн на взрывные и ударные нагрузки. Вестник ТАСУ, №2, 2007. -Стр. 132–138.
5. Мкртычев О.В. Надежность многоэлементных стержневых систем инженерных конструкций. Дисс. д-ра техн. наук. Московский государственный строительный университет. Москва, 2000. -Стр. 324.