ОЦЕНКА КУЧНОСТИ СПОРТИВНОЙ ВИНТОВКИ ПО ЭКСТРЕМАЛЬНОМУ РАЗМЕРУ ИЛИ СРЕДНЕМУ РАДИУСУ ГРУПП

 

АННОТАЦИЯ

В статье приведен анализ точности оценки кучности спортивной винтовки по экстремальному размеру и среднему радиусу групп. Установлены зависимости, связывающие точность оценки с числом групп и числом выстрелов в группе. Предложены согласующие коэффициенты, связывающие размер и средний радиус групп с такими показателями кучности винтовки, как вероятное круговое отклонение (КВО) и средний радиус R_cp. Статья написана для спортсменов, знакомых со статистическими методами исследований случайных событий. Схема оценки кучности винтовки приведена в достаточном, на наш взгляд, объеме для понимания, как эти знания применить в практике спортивной стрельбы. Для желающих углубиться в эти вопросы даны ссылки на литературные источники.

Статья полезна спортсменам, занимающимся стрелковым спортом, специалистам по оценке распределений величин, используемых в стрелковом спорте, а также всем любителям высокоточной стрельбы из нарезного оружия.

Работа выполнена в интересах спортивного стрелкового сообщества по инициативе и на собственные средства авторов на основе открытых источников информации.

ABSTRACT

The article provides an analysis of the accuracy of estimating the accuracy of a sports rifle by the extreme size and average radius of the groups. Dependencies have been established linking the accuracy of the assessment with the number of groups and the number of shots in the group. Matching coefficients are proposed that relate the size and average radius of the groups to such indicators of rifle accuracy as the probable circular deviation (CVO) and the average radius of the Rcp. The article is written for athletes who are familiar with statistical methods of random event research. The scheme for evaluating the accuracy of a rifle is given in sufficient volume, in our opinion, to understand how to apply this knowledge in the practice of sports shooting. References to literary sources are provided for those who wish to delve into these issues.

The article is useful for athletes involved in shooting sports, specialists in assessing the distributions of quantities used in shooting sports, as well as for all fans of high-precision shooting from rifled weapons.

The work was carried out in the interests of the sports shooting community on the initiative and at the authors' own expense based on open sources of informationon

 

Ключевые слова: Оценка кучности, показатели кучности винтовки, средняя точка попадания, центр попадания, точка прицеливания, размер групп, средний радиус групп, законы распределения случайных величин, доверительный интервал, доверительная вероятность. с центром попадания (ЦП, общей СТП),

Keywords: Accuracy assessment, rifle accuracy indicators, average Point of Impact (POI), center of impact, Point of Aim (POA), group size, average radius of groups, laws of distribution of random variables, confidence interval, confidence probability.

 

В спортивной стрельбе важно знать кучность своей винтовки. Целью оценки кучности винтовки может быть выявление потенциала нового ствола, контроль в ходе расходования его ресурса или сравнение с кучностью других винтовок, но все же главная цель оценки кучности винтовки связана с вероятностью попадания в круг определенного радиуса на мишени.  Для этого нужно знать координаты центра попаданий относительно точки прицеливания и параметры рассеивания пробоин на мишени вокруг центра попаданий.

Под кучностью спортивной винтовки будем понимать ее свойство группировать пробоины вокруг центра попадания (ЦП), или Point of Impact (POI), при одной и той же точке прицеливания (ТП) или Point of Aim (POA). Кучность винтовки является постоянной величиной для текущего состояния ствола и патрона, и этот показатель точно может быть определен только по большому числу выстрелов. Приблизительную оценку кучности винтовки часто делают по группам из нескольких выстрелов. При стрельбе группами общая информация о кучности винтовки как бы разделяется на изолированные части, которые имеют свои показатели кучности. Обычно кучность групп оценивают размером или средним радиусом групп при неизвестном центре попадания.

Размеры или средние радиусы нескольких групп с малым числом выстрелов в группе имеют большой разброс, поскольку определяются всего лишь по небольшому числу случайных пробоин. Можно сказать, что несколько групп содержат лишь малую часть информации с не очень достоверными данными о кучности винтовки и не очень ясным алгоритмом пересчета кучности этих групп в кучность винтовки. Тем не менее, размер или средний радиус групп часто является единственным способом оценки кучности винтовки в спорте. В связи с этим возникает вопрос о надежности и алгоритме такой оценки.

Рассмотрим математическую постановку задачи оценки кучности групп и кучности винтовки. Закономерность рассеивания пробоин на мишени принято описывать нормальным законом распределения и его параметрами. В приближении к двумерному нормальному закону [5, 6, 8] оно обобщенно описывается координатами центра попаданий (х_ЦП, у_ЦП) относительно точки прицеливания (х₀, у₀), средними квадратическими отклонениями Ϭ_х, Ϭ_у по осям х и у и коэффициентом корреляции r_xy между ними. В общем случае координаты точки прицеливания и центра попадания не совпадают. Если рассматривать случай, когда они совпадают и их координаты равны нулю, (х, у) = (0, 0), что реализуется при полном совмещении точки прицеливания и центра попадания или при оценке кучности относительно центра попаданий, принятого за нулевую точку, то для оценки кучности достаточно трех параметров – средних квадратических отклонений Ϭ_х и Ϭ_у по осям х и у и коэффициента корреляции r_xy между ними. Если координаты пробоин независимы по координатным осям, то r_xy = 0 и тогда достаточно двух параметров Ϭ_х и Ϭ_у.

 Если пробоины имеют круговое распределение на мишени и независимы по координатным осям, то оно подчиняется закону Рэлея и может быть описано всего одним параметром Ϭ_х = Ϭ_у = Ϭ. Такой случай часто реализуется при стрельбе по мишеням. Это позволяет применять в качестве показателей кучности винтовки параметр Ϭ и связанные с ним показатели кругового вероятного отклонения (КВО_50% = 1,177 Ϭ) и среднего радиуса точек попадания (R_cp = 1,253 Ϭ). В данной статье рассматривается только случай кругового распределения пробоин на мишени, которое подчиняется нормальному закону с Ϭ_х = Ϭ_у и закону Рэлея с параметром Ϭ. Вид распределения пробоин на мишени в нормальном приближении [1] и его трехмерная модель приведены на рис. 1. Единицы измерения по осям кратны параметру Ϭ.

Функция распределения вероятности и плотность распределения вероятности, описывающие распределение пробоин на мишени законом Рэлея [1], представлены в виде графиков на рис. 2.

 

Рисунок 1. а) – проекция двумерного нормального распределения выстрелов на плоской мишени; б) – трехмерное изображение распределения плотности вероятности точек попадания пуль

 

При большом числе выстрелов центр попаданий и среднее квадратическое отклонение координат пробоин Ϭ могут быть рассчитаны с высокой точностью, что позволяет в этом случае в качестве показателей кучности винтовки использовать параметры в законе Рэлея, описывающего зависимость вероятности попадания в круг радиусом R от соотношения R/Ϭ с известными координатами центра попаданий. Вероятность попадания в круг радиусом R с центром, совпадающим с точкой прицеливания, для распределения Рэлея описывается зависимостью [1]: Р = 1 – exp (-R²/2Ϭ²), где Р – вероятность, R – радиус круга, внутрь которого нужно попасть, Ϭ – параметр в распределении Рэлея, выборочное значение которого приближенно вычисляется по формулам [1] Ϭ² = ∑R_i²/(2k), Ϭ = √Ϭ², R_i – расстояние от центра пробоины до центра попадания, k – количество пробоин. Выборочные координаты центра попаданий (х, у) при этом вычисляются по формулам: х = ∑(х_i)/k, y = ∑(y_i)/k, где х_i – абцисса центра i-ой пробоины, y_i – ордината i-ой пробоины.

В профессиональной деятельности для оценки кучности винтовки при круговом распределении пробоин на мишени чаще всего пользуются именно такими показателями кучности, как круговое вероятное отклонение (КВО), который определяет круг радиусом R, внутрь которого попадает определенная доля выстрелов, или средний радиус точек попадания R_cp, отсчитываемыми от центра попаданий. В системе классификации баллистической кучности винтовок [13] в качестве показателя кучности предложено использовать непосредственно параметр Ϭ в распределении Рэлея. Иногда применяют показатель R₁₀₀ – радиус, охватывающий все 100% координат пробоин на мишени. Известны и другие показатели кучности винтовки [3].

 

а)

б)

Рисунок 2. Функция и плотность вероятности, описывающие распределение пробоин на мишени по закону Рэлея для Ϭ = 1

 

Как известно [1], при распределении пробоин по закону Рэлея вероятность попасть в круг радиусом R = Ϭ равна 39%, в круг радиусом R = 2Ϭ равна 86%, в круг радиусом R = 3Ϭ равна 99%. За пределы радиуса R = 3Ϭ попадет только 1% пробоин. КВО часто понимается как радиус круга, внутрь которого попадает 50% пробоин, и тогда вероятное круговое отклонение равно  КВО₅₀ = R₅₀  = 1,177Ϭ. Средний радиус группы, который равен R_cp = 1,253 Ϭ, используется в качестве показателя кучности, например, в армии США [3]. Вероятность попасть в круг радиусом R = R_cp равна 54,4%. Расчет показателей R₅₀ и R_cp требует знания точных координат центра попадания относительно точки прицеливания.

Эти показатели предполагают достаточно большое количество выстрелов для точного расчета координат центра попадания и параметра Ϭ. Однако в спортивной стрельбе по мишеням стрелок чаще всего не имеет возможности сделать большое количество выстрелов. Он работает в области статистически малых групп и малого числа выстрелов, где неопределенность оценок параметров распределения пробоин максимальна. И это становится одной из проблем точной оценки координат центра попаданий (х, у), параметра Ϭ и кучности винтовки на их основе.

В спортивной стрельбе принято говорить не о кучности винтовки, а о кучности групп [7]. При этом часто подразумевается, что кучность винтовки и кучность группы это одно и то же, хотя это не так. Кучность комплекса «винтовка + патрон», которую для краткости называют кучностью винтовки, часто путают с размером или средним радиусом групп. Кучность группы всего лишь оценивает кучность винтовки с определенной точностью, зависящей от числа групп и числа выстрелов в группе, а также от коэффициентов пересчета показателей кучности групп в показатели кучности винтовки. В качестве показателя кучности групп наибольшее применение нашел экстремальный размер группы d_k, где k – число выстрелов в группе (рис. 3а). В последнее время в связи с появлением программ обработки мишеней набирает популярность и другой показатель - средний радиус группы R_k (рис. 3б).

 

а)	б)

Рисунок 3. Размер (а) и средний радиус (б) группы из 5 выстрелов

 

Размер группы d определяется из условия:  d = max(d_ij) – d_пули, i,j = 1, 2, 3,…, m, где d_ij расстояние между краями двух отверстий с порядковыми номерами i и j, d_пули  - диаметр пули или пробоины, m – количество связей между i-ой и j-ой точками попадания, i ≠ j,  m = k (k – 1)/2,  k – количество точек попадания. Средний размер групп D_n определяется по формуле: D_n = , i = 1, 2, 3, …, n.

Для расчета среднего радиуса группы R_k определяются координаты СТП группы по формулам: х = ∑(х_i)/k, y = ∑(y_i)/k, где х_i – абсцисса центра i-ой пробоины относительно опорной пробоины или точки прицеливания, y_i – ордината i-ой пробоины. После чего средний радиус группы из k выстрелов R_k рассчитывается по формулам:

R_ki² = (x-x_i)² + (y-y_i)² ; R_ki = √ R_ki²;

_kki i = 1, 2, 3, …, k.

Средний радиус нескольких групп R_n с числом групп n рассчитывается по формуле:

R_n = ∑R_i, i = 1, 2, 3, …, n.

Эти два показателя кучности групп имеют свои достоинства и недостатки, и каждый применяется для своих задач. Достоинства среднего размера группы D_n – предельные простота и ясность, не требует знания закона распределения, не требует определения координат центров пробоин и СТП, определяется при неизвестном центре попаданий, может применяться при очень кучных группах, когда на мишени возможно измерить только размер большой общей пробоины. Недостатки следующие: обладает низкой информативностью, использует информацию только о двух крайних значениях координат пробоин; проявляет большую неустойчивость и критически зависит от отрывов; как все экстремальные величины, не вписывается в систему оценки кучности винтовки, основанную на параметрах закона Рэлея; размер групп зависит от числа выстрелов в группе; размеры групп не привязываются к координатам центра попадания или точки прицеливания и  существуют сами по себе просто как ряд значений скалярных экстремальных величин.

Брайан Литц по поводу экстремального размера группы заметил [14]: «Измерение экстремального разброса групп выстрелов выполняется быстро и легко, но на самом деле это не очень хороший показатель кучности. Что я подразумеваю под хорошим показателем? Хороший показатель должен давать вам полезную информацию, которую вы можете использовать для принятия правильных решений. Если посмотреть на экстремальный разброс группы из 5 выстрелов, то этот показатель определяется только 2 выстрелами из 5. Другими словами, при измерении учитывается только 40% выстрелов. Что еще хуже, для группы из 10 выстрелов используется информация только по 20% от общего количества выстрелов. Экстремальный разброс определяется лишь небольшой частью общего количества доступных выстрелов».

Средний радиус группы R_n при большом числе выстрелов в группе является частью системы оценки кучности винтовки, основанной на использовании в качестве показателей кучности параметров распределения Рэлея с известным центром попадания. Однако он более сложно рассчитывается и требует знания координат средней точки попадания.  При малом числе выстрелов в группе и неизвестном центре попадания средний радиус группы, определенный относительно собственной СТП, завышает оценку кучности винтовки в сравнении со средним радиусом точек попадания относительно известного центра попаданий. В случае очень высокой кучности, когда пробоины перекрывают друг друга, найти их центры становится возможно только на электронной мишени. Ранее точно определить центр пробоины было сложно, однако с появлением программ обработки мишеней, в которых контуры края пробоин совмещаются с контрольной окружностью, это делается легче.

Целью данной статьи является решение двух задач. Первая состоит в обеспечении требуемой точности оценки показателя кучности группы (размера и среднего радиуса группы) на основе статистической обработки информации по малому числу выстрелов. Для практики она формулируется так: определить, сколько групп и сколько выстрелов в группе нужно для оценки размера D_n и среднего радиуса R_n групп с требуемой точностью. Вторая заключается в определении взаимосвязи показателей кучности групп (D_n, R_n) и координат их СТП (х_i, у_i) с показателями кучности винтовки (КВО, R_cp, Ϭ, R_100%) и координатами центра попаданий (х, у).  Для практики ее решение означает ответы на вопросы о том, как размер и средний радиус групп связаны с кучностью винтовки и с вероятностью попадания в цель.

Точные (эталонные) значения показателей кучности винтовки, принимаемые как истинные значения, мы будем задавать как исходные данные статистических опытов или рассчитывать по результатам моделирования стрельбы по мишеням с большим числом опытов, и затем будем определять точность их оценки размером и средним радиусом групп при малом числе пробоин на мишени.

Для исследования вопросов точности оценки истинного среднего размера и среднего радиуса групп по малому числу групп и малому числу выстрелов в группе смоделируем стрельбу по мишени с помощью генератора случайных чисел. Мы хорошо понимаем, что многие стрелки – практики сразу хотели бы видеть реальные мишени вместо их компьютерной симуляции. Но, моделируя пробоины на мишени вместо реальной стрельбы в соответствии с известным законом их распределения, мы полностью контролируем процесс и избавляемся от влияния многих факторов, которые лишь мешают выявить закономерности, получаем возможность сделать любое количество выстрелов, много раз можем использовать информацию об одних и тех же выстрелах, не заботясь о проблемах сравнения разных групп, но главное, получаем точное значение кучности винтовки, что в реальной стрельбе сделать практически невозможно. Поэтому проведем исследование с виртуальными пробоинами на мишени, а после этого подкрепим выводы реальной стрельбой и сравнением реальных данных с результатами моделирования. 

В компьютерном моделировании распределение координат пробоин на мишени будет соответствовать двумерному нормальному закону [5, 6] с координатами центра попадания (х; у) = (0; 0) и стандартными отклонениями по осям х и у Ϭ_х = Ϭ_у = Ϭ = 1. Будем рассматривать случай, когда центр попаданий совмещен с точкой прицеливания и оба имеют координаты (0; 0). Отметим, что при обработке мишеней на практике сначала определяют линейные размеры и потом переводят их в угловые. Но нам пока не важно, в каких линейных единицах измеряются величины х, у и Ϭ – в дюймах, сантиметрах или миллиметрах, и пока не нужны угловые единицы измерения кучности – MOA или MIL. При допущении о том, что закон распределения пробоин на мишени не зависит от значений параметров распределений и все закономерности просто масштабируются, мы будем вести счет от Ϭ = 1 и оперировать безразмерными линейными величинами, а размерности и перевод линейных размеров в угловые будем вводить, когда в этом появится необходимость. Если кому-то будет некомфортно отслеживать расчеты с безразмерными величинами, представьте условно, что это линейные размеры на мишени в дюймах или миллиметрах.

Проведем первое исследование, направленное на выяснение, сколько групп и сколько выстрелов в группе потребуется для оценки истинного среднего размера или среднего радиуса группы с заданной точностью. Большинство стрелков о сути этого вопроса даже не задумываются. Кто-то ограничивается одной группой в 3 выстрела, кто-то делает 2 группы по 5 выстрелов, при этом точность такой оценки мало кто обсуждает. Иногда в интернет-пространстве среди стрелков вспыхивают дискуссии по этому вопросу, не основанные на статистическом анализе и точности оценок. А мы такой анализ проведем, поскольку именно точность обосновывает, сколько нужно групп и сколько выстрелов в группе для оценки экстремального размера или среднего радиуса групп.

В соответствии со статистическими методами в области малых выборок достоверность данных сильно зависит от размера выборки из генеральной совокупности.

На практике к малым относятся выборки объемом менее 30 единиц [11]. Следовательно, одна группа с числом выстрелов 3–10, наиболее часто применяемая стрелками, является статистически малой выборкой, требующей для оценки на ее основе характеристик генеральной совокупности особого подхода, поскольку информация, полученная по одной малой выборке, обладает низкой достоверностью. А среднее значение размеров или средних радиусов 2–5 групп с таким же числом выстрелов уже не эквивалентно размеру или среднему радиусу объединенной группы по одной точке прицеливания. То есть, размер или средний радиус группы из 30 выстрелов не равен среднему размеру или среднему радиусу как среднему арифметическому 10 групп по 3 выстрела в группе и имеет другие статистические свойства.   

Будем оценивать точные (истинные, наиболее вероятные) значения размера и среднего радиуса групп, координат ЦП и среднего удаления СТП групп относительно ЦП по их выборкам из генеральной совокупности с известными параметрами (х, у и Ϭ) генерального распределения: (х; у) = (0; 0), Ϭ_х = Ϭ_у = Ϭ = 1.

Для этого выполним генерацию выборок по 10000 нормально распределенных групп с числом выстрелов в группе 3, 5, 10, 30, 50, 100, 250, 500 и проведем оценку средних значений параметров и доверительных интервалов нахождения параметров генерального распределения с доверительной вероятностью 0,9. Центр попадания в данном исследовании совмещен с точкой прицеливания.

 

Рисунок 4. Зависимости среднего значения размера группы (A1, A2) и среднего радиуса групп (Б1, Б2), координат СТП относительно ЦП (В1, В2), среднего радиуса СТП относительно ЦП (Г1, Г2) от числа выстрелов в группе в широком теоретическом диапазоне 2-500 и в практическом диапазоне 2-30 выстрелов в группе

 

На рис. 4А1 и рис. 4А2 видно, что средние значения размера групп, полученные по 10000 групп, при Ϭ = 1 экспоненциально увеличиваются с 1,74 при группе в 2 выстрела до 6,2 при группе в 500 выстрелов. В пределе размер групп не имеет ограничения сверху и устремляется к бесконечности при бесконечно большом числе выстрелов в группе. В рабочем диапазоне группы по 3, по 5 и по 10 выстрелов имеют размеры 2,37, 3,02 и 3,75.

Средний радиус групп также увеличивается с ростом числа выстрелов в группе, но в отличие от размера групп в пределе устремляется к значению среднего радиуса в распределении Рэлея R_∞ = R_cp = 1,253 (рис.4Б1, рис. 4Б2).  В рабочем диапазоне групп по 3, по 5 и по 10 выстрелов средний радиус равен 1,008, 1,107 и 1,182.

Математическое ожидание координат СТП у всех групп естественно равно нулю, однако разброс СТП вокруг нулевой точки очень сильно зависит от числа выстрелов в группе и составляет 0,57, 0,44 и 0,31 для групп по 3, 5 и 10 выстрелов (рис. 4В1, рис. 4В2). Математическое ожидание для расстояния СТП групп по 3, 5 и 10 выстрелов от ЦП составляет 0,57, 0,41 и 0,26, а стандартное отклонение для расстояния СТП этих групп от ЦП по равно 0,24, 0,17 и 0,11  (рис. 4Г1, рис. 4Г2).

Более детальные расчеты указанных параметров для групп с числом выстрелов 2–10 в группе из рабочего диапазона и с числом выстрелов 30–500 в группе для теоретического асимптотического анализа представлены в табл. 1. При ее построении использовали коэффициент вариации V, который является безразмерной величиной и характеризует относительные изменения параметра как меру неопределенности кучности групп в процентах относительно их математического ожидания.

Таблица 1.

Расчеты указанных параметров для групп с числом выстрелов 2–10 в группе из рабочего диапазона и с числом выстрелов 30–500 в группе для теоретического асимптотического анализа

№	ϬхСТП	ϬуСТП	Dn	ϬDn	VDn	RnЦП	ϬRnЦП	VRnЦП	Rn	ϬRn	VRn
2	0,708	0,688	1,737	0,911	52,41%	1,238	0,450	36,33%	0,869	0,455	52,41%
3	0,571	0,565	2,373	0,875	36,86%	1,237	0,368	29,77%	1,008	0,367	36,43%
4	0,489	0,496	2,670	0,830	31,08%	1,238	0,319	25,75%	1,063	0,318	30,07%
5	0,442	0,436	3,018	0,792	26,24%	1,239	0,285	23,00%	1,107	0,282	25,44%
6	0,401	0,404	3,172	0,766	24,14%	1,240	0,261	21,04%	1,118	0,259	22,24%
7	0,372	0,373	3,362	0,741	22,05%	1,240	0,242	19,49%	1,135	0,240	20,08%
8	0,349	0,349	3,528	0,722	20,46%	1,241	0,226	18,23%	1,148	0,224	18,59%
9	0,329	0,329	3,673	0,707	19,25%	1,241	0,213	17,19%	1,158	0,211	17,60%
10	0,312	0,313	3,748	0,695	18,55%	1,242	0,203	16,31%	1,177	0,201	17,10%
30	0,179	0,182	4,651	0,548	11,79%	1,241	0,118	9,51%	1,219	0,118	9,65%
50	0,139	0,140	5,008	0,493	9,85%	1,241	0,091	7,36%	1,228	0,091	7,44%
100	0,098	0,098	5,424	0,427	7,87%	1,241	0,065	5,20%	1,235	0,065	5,23%
250	0,061	0,064	5,885	0,371	6,31%	1,241	0,041	3,28%	1,239	0,041	3,29%
500	0,044	0,044	6,201	0,360	5,80%	1,241	0,029	2,36%	1,240	0,029	2,36%
∞	0	0	∞	0	0	1,253	0	0	1,253	0	0

 

Для иллюстрации параметров генерации выборок от 2 до 500 на рис. 5 приведены по несколько мишеней с числом пробоин 3, 5, 10, 30, 50, 100, 250 и 500, выданных генератором случайных чисел с параметрами генерального распределения (х; у) = (0; 0), Ϭ_х=Ϭ_у=Ϭ=1.

 

а1)	а2)	а3)
б1)	б2)	б3)
в1)	в2)	в3)
г1)	г2)	г3)

 

д1)	д2)		д3)
е1)	е2)		е3)
ж1)	ж2)		ж3)
з1)		з2)

Рисунок 5. Группы координат пробоин из 3, 5, 10, 30, 50, 100, 250 и 500 выстрелов, «сделанных» из винтовки с одной и той же кучностью Ϭ = 1

 

Эти пробоины на всех мишенях условно сделаны из одной и той же винтовки с одной и той же кучностью Ϭ = 1. В чем состоят отличия статистики пробоин на мишенях с разным числом выстрелов? Выделим несколько из них.

Во-первых, средний размер и средний радиус групп в области малых чисел увеличиваются с ростом числа выстрелов в группе (рис. 4 А2, Б2). Но размер групп при увеличении числа выстрелов в группе увеличивается без какого-либо явного ограничения (и устремляется к бесконечности), а средний радиус групп устремляется к значению среднего радиуса точек попадания в распределении Рэлея (рис. 6).

 

а)	б)

Рисунок 6. Зависимость размера (а) и среднего радиуса (б) групп от числа выстрелов в группе

 

Во-вторых, чем меньше выстрелов в группе, тем сильнее отличия между несколькими группами в опытах. Самые малые группы по 3 и 5 выстрелов, если их несколько, сильно различаются между собой по форме, размерам, координатам пробоин и координатам СТП (рис. 5 а1-а3, б1-б3, рис. 9). Это отражается в значительном отклонении их размеров от среднего значения (рис. 7). С ростом числа выстрелов в группе это различие уменьшается, и группы с числом выстрелов 30, 50, 100, 250 и 500 будут все меньше отличаться между собой по этим параметрам, приближаясь к точным параметрам генеральной совокупности. Конечно, такими большими группами никто не стреляет, они взяты только для асимптотического сравнения с малыми группами. Следует отметить, что стандартное отклонение среднего радиуса меньше стандартного отклонения размера группы и достаточно быстро уменьшается, в то время как стандартное отклонение размера группы не стремится асимптотически к нулю (рис. 4А1 и рис. 4Б1).

 

а)	б)

Рисунок 7. Зависимость стандартных отклонений от среднего размера (а) и среднего радиуса(б) групп от числа выстрелов в группе

 

В-третьих, СТП малых групп, если их несколько, также имеют большой разброс координат и большие отклонения от центра попаданий. Стандартное отклонение СТП групп от центра попадания связано со стандартным отклонением координат точек попадания и числом выстрелов в группе соотношением Ϭ_СТП = Ϭ/√k (рис. 8). Поэтому эти отклонения уменьшаются с ростом числа выстрелов в группе. СТП групп из 3 выстрелов имеют среднее отклонение в 57% от центра попадания, а СТП групп из 500 выстрелов имеют среднее отклонение в 6%.

 

а)	б)	в)

Рисунок 8. Координаты пробоин (а) и соответствующие им координаты СТП для групп по 3 (б) и 10 (в) выстрелов

 

На рис. 9а представлены размеры 100 групп по 3 выстрела с истинным средним D₃ = 2,37 и средним квадратическим отклонением Ϭ_D3 = 0,875, взятыми из табл. 1. Нужно отметить, что средний размер группы и среднее квадратическое отклонение групп при заданном числе выстрелов в группе связаны между собой, и их отношение не зависит от абсолютной величины среднего. Например, отношение Ϭ_D3/D₃ = 0,37 и Ϭ_R3/R₃ = 0,36 независимо от абсолютного размера или среднего радиуса группы. Это позволяет использовать среднее значение Ϭ_Dn и Ϭ_Rn в расчетах при малом числе групп.

На рис. 9б представлен средний радиус этих групп с истинным средним значением R₃ = 1,008 и средним квадратическим отклонением Ϭ_R3 = 0,367, также взятыми из табл. 1.

 

а)	б)

Рисунок 9. Средний размер (а) и средний радиус (б) групп по 3 выстрела в группе (красные точки) в зависимости от числа групп на фоне размеров и средних радиусов 100 групп (синие точки)

 

На этом же рисунке приведены графики значений среднего размера (а) и среднего радиуса (б) групп в зависимости от числа групп (красные точки). Видно, что группы по размеру сильно различаются между собой, внося большую неопределенность в точную оценку среднего значения при их малом числе. Их размер варьируется от 0,06 до 4,17, а среднее квадратическое отклонение Ϭ_D3 составляет около 40% от среднего размера группы D₃. Это очень большой разброс относительно среднего и поэтому для оценки среднего размера группы с требуемой точностью нужно несколько групп. Чем меньше число выстрелов в группе, тем больше отклонение от среднего размера групп, тем больше хаоса в размерах групп, как это видно на рис. 8б и рис. 8в, и тем больше нужно групп для оценки истинного (среднего, наиболее вероятного) размера группы с заданной точностью.

Средний размер D₃ по выборке из 100 групп получился D₃ =2,44, точность оценки среднего относительно истинного значения составила 3%. Но при малом числе групп отклонения выборочного среднего от истинного среднего могут быть значительные. Например, размер первой группы 3,17 отличается от среднего на 34%, среднее по двум группам на 29%, среднее по 3 группам тоже на 29% и т. д. С определенного числа групп средние значения размера групп начинают стабилизироваться, постепенно приближаясь к размеру генеральной совокупности. В нашем примере это произошло только после усреднения 20 групп (рис. 9а).

На рис. 9б видно, что средние радиусы групп также сильно различаются между собой и ведут себя аналогично размеру групп. Средний радиус R₃ по выборке из 100 групп получился R₃ = 1,02, ошибка составила 1%. Средний радиус первой группы 0,97, тоже случайно близко к генеральному значению, но после пятой группы он отклоняется до 0,8 и стабилизируется тоже примерно на двадцатой группе.  Отметим, что отношение размера D₃ и среднего радиуса групп R₃ при числе выстрелов в группе 3 велико, оно равно 2,35, в том числе потому, что экстремальный размер больше оценивает диаметр, а не радиус. Если умножить радиус на 2, различие уменьшится до 1,18. Но размер и средний радиус групп несопоставимые величины, хотя статистически отслеживают друг друга (рис. 10).

 

Рисунок 10. Статистическая связь размера (а) и среднего радиуса групп(б)

 

Глядя на 100 групп на рис. 9, трудно осознавать, что каждая группа является лишь изолированным фрагментом (рис. 11а) общей картины на мишени (рис.11б) из пробоин, составляющих эти же группы. Если бы все эти 100 групп по 3 стрелялись при одной точке прицеливания по одной мишени, то 300 пробоин, которые образовали эти 100 групп по 3 выстрела в группе, расположились бы на мишени так, как показано на рис. 11б. Их выборочное СТП₁₀₀ имело бы координаты х = 0,08 и у = 0,052 относительно центра попаданий, а стандартные отклонения Ϭ_х = 0,97 и Ϭ_у = 1,01. Это достаточно близко к истинным значениям генеральной совокупности с координатами ЦП  (х, у) = (0, 0) и дисперсией Ϭ_х² = Ϭ_у² = 1. Размер группы составил бы D₁₀₀ = 5,59, что в 2,36 раза больше размера группы по 3 выстрела, в то время как средний радиус составил бы R₁₀₀ = 1,269, что близко к истинному среднему радиусу R_cp = 1,253. Средний радиус отклонения СТП группы из 100 выстрелов от центра попаданий в данном случае составил бы 0,13 при стандартном отклонении 0,06.

 

а)	б)

Рисунок 11. Координаты пробоин по 3 выстрела на разных мишенях (а) и координаты пробоин 100 групп по 3 выстрела с общей точкой прицеливания на одной мишени (б)

 

Вывод из анализа случайных генераций координат пробоин на мишени состоит в том, что при малых размерах выборки возникают большие неопределенности в оценке параметров распределения пробоин и показателей кучности групп, которые требуют введения интервальных оценок с заданной доверительной вероятностью вместо точных значений размера или среднего радиуса групп [2]. Иными словами, размер или средний радиус групп при малом числе групп нужно представлять не в виде числа, например, 2,37, а в виде доверительного интервала, например, (1,19-3,6) с доверительной вероятностью, например, 0,8. Зная ряд полученных в опытах значений случайной величины (в данном случае размера или среднего радиуса группы) можно рассчитать его выборочное среднее, среднее квадратическое отклонение и доверительные интервалы, внутри которых находятся истинные значения среднего с заданной доверительной вероятностью. Известно [10], что если случайная величина х, определенная на множестве объектов генеральной совокупности, распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия Ϭ², то выборочное среднее а является тоже случайной величиной с математическим ожиданием, равным выборочному среднему х, стандартным отклонением Ϭ/√n и находится с доверительной вероятностью γ в доверительном интервале

или

,

где   – это критические точки полученного статистического распределения для различной формы их представления при уровне значимости .

Для распределения Рэлея, чтобы найти доверительный интервал (1 − α), в котором находится истинное значение параметра Ϭ, нужно найти границы [a, b], где:

тогда параметр Ϭ будет находиться в пределах

.

Наиболее подходящим распределением для экстремального размера d при заданном значении m оказалось обобщенное распределение экстремальных значений (GEV). Плотность распределения экстремальных значений будет равна [1, 9]:

0

где µ - параметр местоположения, Ϭ - параметр масштаба, с – параметр формы. То есть, это распределение зависит от трех параметров. Для оценки параметров распределения µ, Ϭ, с по выборке нами использовался метод максимального правдоподобия.

При других законах распределения доверительные интервалы можно определить методами статистического моделирования.

Рассмотрим, например, оценки кучности групп при нормальном законе распределения. Примем, что выборочное среднее значение размера 3 групп по 5 выстрелов равно D₅=0,35 МОА в угловых величинах. Можно с доверительной вероятностью 0,8 или любой другой определить интервал D_{5 мин} ≤ D₅ ≤ D_{5 макс}, в котором будет находиться истинное среднее значение размера группы. При заданном значении доверительной вероятности 0,8 значение критической точки равно , а при значении доверительной вероятности 0,9 критическая точка равна ,645 [10]. Таким образом при выполнении оценки левой и правой границ доверительного интервала находим, что размер группы находится диапазоне 0,28 МОА ≤ D₅ ≤ 0,42 МОА с доверительной вероятностью 0,8.

В приближении нормального закона распределения размера можно, используя данные табл.1 для среднего значения группы с заданным количеством выстрелов , стандартного отклонение размера группы или коэффициента вариации  вычислить смещение границ доверительного интервала относительно среднего значения размера группы по следующим формулам, приведенным в табл. 2.

Таблица 2

Формулы для расчёта

Единицы измерения	Расчетное выражение	Значение
Относительные отклонения от выборочного среднего
Абсолютные отклонения от выборочного среднего
Левая граница доверительного интервала		0,35-0,07=0,28
Правая граница доверительного интервала		0,35+0,07=0,42

 

В представленном примере расчета предполагалось, что в оценках доверительного интервала стандартное отклонение для i групп по n выстрелов находится более сложным образом, чем .  Это делает целесообразным переход к рассмотрению статистических распределений, обобщающих данные по нескольким однотипным группам. Методами статистического моделирования такие зависимости были определены для математического ожидания, стандартного отклонения и коэффициента вариации по группам с различным количеством выстрелов и обобщением данных по нескольким группам при совместной обработке результатов. Подобные расчеты выполняются для количества групп от 2 до 100. Для каждого варианта с заданным количеством групп выполнялось 10000 отдельных расчетов, что позволило получить статистически значимые результаты и упростить выполнение расчетов размера и среднего радиуса группs за счет применения в расчетах обобщенных данных по группам; например, для размера группы – это параметры его распределения , где  - средний размер и стандартное отклонение среднего размера для i групп по k выстрелов в каждой группе, коэффициент вариации размера для указанного количества групп.

Пример зависимостей коэффициента вариации размера и среднего радиуса группы от количества групп представлены на рис. 12.

В этом случае доверительный интервал размера группы находим по соотношениям вида

 

или

Использование последнего выражения предпочтительнее, т. к. в нем только один параметр б в размерных единицах, а коэффициент вариации - безразмерный параметр , для вычисления которого необходимо предварительно получить значения по большой выборке.

 

а)		б)

Рис.12. Зависимость коэффициентов вариации среднего размера группы (а) и среднего радиуса группы (б) от количества групп

 

Рассмотрим пример точности оценки кучности групп по полученным статистическим данным. В табл. 3. приведены результаты моделирования и статистических расчетов с общей выборкой для 10000 серий до 100 групп в каждой и с числом выстрелов от 2 до 14 в каждой группе. Указанные таблицы позволяют определить доверительный интервал в % от выборочного среднего, в котором находится среднее значение размера или среднего радиуса группы в зависимости от числа выстрелов в группе при доверительной вероятности 0,8.

Чтобы получить этот интервал, нужно войти в таблицу в столбец с заданным числом выстрелов в группе, опуститься по столбцу до общего количества выстрелов и в столбце слева в найденной строчке определить отклонение от выборочного среднего в процентах от него вниз и вверх.

Из этих таблиц 3 следует, что если мы получим одну группу из 5 выстрелов и примем ее как выборочный размер групп, то ошибка в определении истинного среднего размера групп с доверительной вероятностью 0,8 составит более 35% в обе стороны от среднего. Границы при точных расчетах не совсем симметричны, но чаще всего важнее точная верхняя граница, по которой мы и делали расчеты. То есть, при наблюдаемом угловом размере, например, 0,35 МОА одной группы из 5 выстрелов истинный средний размер групп винтовки с такой кучностью будет находиться в диапазоне (0,23–0,47) МОА с доверительной вероятностью 0,8. На этом примере видно, что одной группы из 5 выстрелов, а тем более из 3 выстрелов для точной оценки среднего значения размера групп слишком мало.

Для рассмотренного ранее примера 3 групп по 5 выстрелов получаем доверительный интервал отклонения среднего размера групп 20% в обе стороны от среднего, что соответствует возможному размеру группы в диапазоне 0,28 ≤ D₅ ≤ 0,42 МОА с доверительной вероятностью 0,8 и совпадает с ранее полученной оценкой.

Таблица 3

Значения

  

 

Таким образом, мы видим, что использование одной группы для оценки средней кучности групп приведет к большой ошибке. Ошибка в 50% при оценке среднего размера по одной группе из 3 выстрелов вряд ли устроит стрелков, им нужна точность хотя бы не хуже 30%, поэтому мы приходим к тому, что минимальное число выстрелов по оценке размера или среднего радиуса групп должно быть не менее 10.

С другой стороны, стрелки не могут оценивать среднюю кучность групп очень большим числом выстрелов. Для группы из 3 выстрелов оценка среднего размера групп с точностью 15% требует не менее 10 групп или 30 выстрелов, а точность в 10% с доверительной вероятностью 0,8 достигается лишь при 23 группах или 69 выстрелах. При 5 выстрелах в группе точность в 15% достигается 6 группами или 30 выстрелами, а точность в 10% достигается при 13 группах или 65 выстрелах. При 10 выстрелах в группе точность в 15% достигается 3 группами, а для достижения точности в 10% необходимы 7 групп. Сравнение точности оценки размера групп по 3, по 5 и по 10 выстрелов показывает, что одинаковая точность оценки среднего значения группы достигается примерно при равном общем числе выстрелов независимо от числа выстрелов в группе. Это связано с тем, что значения коэффициентов вариации при одном количестве выстрелов близки между собой для групп с различным числом выстрелов в группе, если не считать группы по 2 выстрела. На рис.  13 представлены зависимости коэффициентов вариации от количества выстрелов для разных групп как для размера группы, так и для среднего радиуса группы.

 

а)	б)

Рисунок 13. Зависимости коэффициентов вариации от количества выстрелов для разных групп: а) для размера группы; б) для среднего радиуса группы

 

Исходя из того, что в практике стрелкового спорта стрелки вряд ли будут тратить более 30 выстрелов на оценку кучности, мы получаем верхнее ограничение в 15% по точности определения среднего размера или среднего радиуса групп при доверительной вероятности 0,8. Тем самым определяются практические ограничения по точности оценки средних значений размера и среднего радиуса групп, в соответствии с которыми на практике средний размер и средний радиус групп будет скорее всего определяться по числу выстрелов 10-30 с точностью и не хуже 30%, и не лучше 15% при доверительной вероятности 0,8. Это означает, что  если мы получим, например, 2 группы по 5 выстрелов в группе, как в «методе Ганзы» и выборочный средний размер этой выборки будет 0,35 МОА, то истинный средний размер этих групп будет находиться в диапазоне 25% от среднего, то есть, в диапазоне (0,26–0,44) МОА с доверительной вероятностью 0,8. При этом в среднем 2 группы из 10 будут выходить за границы этого диапазона. Если брать более высокую доверительную вероятность 0,9 или 0,95, которая чаще всего применяется при обработке малых выборок, то доверительный интервал будет еще шире. Для 2 групп по 5 выстрелов с выборочным средним размером 0,35 МОА истинный средний размер групп будет лежать в диапазоне (0,23–0,47) МОА для доверительной вероятности 0,9 (табл. 4). При этом в среднем 1 группа из 10 будет выходить за пределы этого диапазона.

Таблица 4

Значения

 

 

На рис. 14 представлены диаграмма и графики, демонстрирующие повышение точности оценок среднего размера групп по 3 выстрела с ростом числа групп. Видно, что при малом числе групп идет резкое повышение точности, но затем для повышения точности на 1% требуется все больше групп.

 

а)	б)

Рисунок 14. Диаграмма доверительных интервалов при доверительной вероятности 0,8 и 0,9 (а) и график (б) повышения точности оценки размера групп по 3 выстрела с ростом числа групп

 

Точность в 10% достигается лишь при 23 группах или 69 выстрелах, а для точности в 7% требуется уже 61 группа или 183 выстрела. Конечно, никакой стрелок не будет тратить столько боеприпасов для оценки размера среднего размера групп с такой точностью.

При этом, если сравнить группы по 2, 3, 5, 10, 30, 50, 100, 250, 500 выстрелов, то видно, что, чем больше число выстрелов в группе, тем меньше группы отличаются между собой. Среднее квадратическое отклонение Ϭ_Dn их размеров от среднего значения уменьшается с ростом числа выстрелов в группе (рис. 15а) и для групп из 100 выстрелов уже составляет около 10% от среднего (рис. 15б).

 

а)	б)

Рисунок 15. Зависимость среднего квадратического отклонения Ϭ_D размеров групп от числа выстрелов в группе

 

Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем меньше хаоса в размерах групп, тем ближе значение размера группы находится к ее истинному среднему значению и тем меньше нужно групп для оценки среднего значения с требуемой точностью. 

Интересна информация, при каком числе выстрелов в группе выгоднее всего определять средний размер групп. Статистический анализ показывает, что минимальное количество выстрелов для достижения требуемой точности оценки среднего размера группы достигается при числе выстрелов в группе, равном 5–7. Однако при использовании полных групп не все так однозначно. В работе [12] приведен график эффективности оценки в зависимости от числа выстрелов в группе с добавкой нецелого числа групп (рис. 16а). Минимальное количество выстрелов получается в группах по 5 и 6 выстрелов, им немного уступает 7 выстрелов. Если же брать все целые группы без «довесков», эта оценка дает немного другие результаты (рис. 16б). Для оценки размера групп с точностью 50% требуется группа в 3 выстрела, с точностью до 35% - группа в 5 выстрелов, с точностью до 30% группа в 7 выстрелов, с точностью до 25% 2 группы по 5 или одна из 10 выстрелов, с точностью 15% 3 группы по 9, для оценки с точностью 10% 10 групп по 6.

 

а)	б)

Рисунок 16. Рейтинг размера групп (а) и зависимость точности определения значения среднего размера групп от общего количества выстрелов (б)

 

Средний радиус групп пробоин из 3, 5, 10, 30, 50, 100, 250 и 500 выстрелов, условно сделанных из винтовки с одной и той же кучностью, имеет практически такие же закономерности поведения, как и размер групп. Из табл. 2, 3 следует, что для достижения заданной точности оценки среднего радиуса групп нужно примерно такое же число выстрелов, как и для оценки среднего размера групп. Таким образом, можно считать, что если средний радиус группы определять как среднее значение по всем группам, то для практики число выстрелов будет также лежать в пределах от 10 до 30, а средний размер групп будет определяться также с точностью не выше 15–30%.

Таким образом, мы окончательно выяснили, что практический диапазон по оценке размера и среднего радиуса групп составит 10–30 выстрелов, что обеспечит оценку этих показателей с точностью 15–30%. Соответственно, в этом случае мы сможем оценить кучность винтовки через размер или средний радиус групп в этом диапазоне числа выстрелов также с точностью не выше 15% и не ниже 30%.

Но дело не только в точности оценки среднего размера или среднего радиуса групп, с которой мы разобрались. Проблему оценки кучности винтовки с помощью показателя экстремального размера групп создают его особенности. Первая состоит в том, что, экспоненциально увеличиваясь с ростом числа выстрелов в группе как любая экстремальная величина, размер групп не согласуется с показателями кучности винтовки, основанными на параметрах распределения Рэлея и имеющими иные статистические свойства. По этой логике он должен сопоставляться не с R₅₀ или средним радиусом точек попадания R_cp, а с другой эталонной экстремальной величиной. Например, с радиусом R_100% или точнее диаметром D_100%, рассчитанным из центра попаданий, которые также экспоненциально увеличиваются с ростом числа выстрелов в группе. На рис. 5-1, 5-2, 5-3 размер групп равен 3,04, 1,85, 2,1, а соответствующие диаметры, включающие эти группы, равны 3,68, 3,26 и 3,8. Средняя разница составляет около 2. Для сравнения, на рис. 5-16 и 5-17 размер больших групп равен 3,46 и 3,39, а диаметры 3,62 и 3,56, разница уже менее 5%. Видно, что при малом числе выстрелов в группе размер групп значительно меньше диаметра групп D_100%, но с ростом числа выстрелов в группе они асимптотически сближаются, экспоненциально увеличиваясь в зависимости от роста числа выстрелов в группе при одной и той же кучности винтовки (рис. 17а).  Эта зависимость, свойственная всем экстремальным величинам, создает нюансы в сопоставлении результатов оценки размеров групп с разным числом выстрелов как между собой, так и с показателями кучности винтовки.

 

 

Рисунок 17. Сравнение размера групп D_n с диаметром групп D_100%, рассчитанным из центра попаданий (а), и среднего радиуса групп R_n со средним радиусом R_cp, рассчитанным из центра попаданий (б) в зависимости от числа выстрелов в группе

 

Для обеспечения сравнения размеров групп с разным числом выстрелов между собой можно пользоваться следующими соотношениями (табл. 1). Если взять группу по 3 за 1, то группы по 2, 5, 10 приводятся к группе по 3 коэффициентами пересчета 0,73, 1,27, 1,58. Это означает, что, например, размер групп по 3 0,28 МОА, групп по 5 0,35 МОА и групп по 10 0,44 МОА означает одну и ту же кучность винтовки.

Что касается пересчета размера групп в такие показатели кучности винтовки, как R₅₀ или средний радиус точек попадания R_cp, то тут еще больше сложности.  Можно лишь формально поставить в соответствие эти величины при каких-то определенных значениях числа выстрелов в группе.  Разницу отношения размера групп с разным числом выстрелов в группе и R₅₀ или среднего радиуса точек попаданий R_cp следует учесть при оценке кучности винтовки. Размер групп как показатель кучности привычен для стрелков, и они об этой разнице даже не задумываются. Но эта разница очень важна для оценки R₅₀ или среднего радиуса точек попаданий R_cp по размеру малых групп, поскольку это разные по статистическим свойствам показатели.

В практике спортивной стрельбы центр попаданий как правило неизвестен, и поэтому размеры групп стрелками оцениваются не относительно центра попаданий, как D_100%, а по собственному взаимному расположению в группе как самое большое расстояние между пробоинами, и не важно, в каком месте мишени относительно центра попаданий они находятся. Поэтому размер групп никак не оценивает координаты центра попаданий, без которых невозможно определить вероятность попадания в цель.  

Таким образом, проблема в оценке кучности винтовки с использованием размера групп состоит в разной статистической природе экстремального размера групп с одной стороны, и параметра Ϭ, кругового вероятного отклонения R₅₀ или среднего радиуса точек попадания R_ср, с другой стороны, а также в том, что размер групп не оценивает координаты центра попадания, что необходимо для оценки вероятности попадания в цель. R₅₀ или средний радиус точек попадания R_ср относятся к другому классу величин, которые с ростом числа выстрелов в группе в пределе стремятся к определенному значению и при этом указывают на центр попаданий. Это приводит к несопоставимости размера групп и этих показателей и недостаточности размера групп для оценки вероятности попадания в цель. При этом, если координаты пробоин всех групп нанести на одну мишень с одной точкой прицеливания, размер объединенной группы естественно не будет равен среднему размеру групп, и кучность объединенной группы будет оцениваться другими показателями.

Поэтому вне связи с показателями кучности винтовки мы конечно можем получать длинные последовательности размеров групп из 3, 5 или 10  выстрелов, осредняя их и улучшая оценку среднего. Но при этом задачи приведения в соответствие среднего размера групп с R₅₀ или средним радиусом точек попаданий R_ср, а также оценки координат центра попаданий и вероятности попадания в цель останутся нерешенными.  

Теперь рассмотрим особенности среднего радиуса групп. Точно так же, как размер группы, средний радиус группы определяется не по среднему значению удаления центра каждой пробоины от неизвестного на практике центра попадания, как в распределении Рэлея, а как среднее расстояние между пробоинами группы относительно СТП группы.

В отличие от экстремального размера группы, средний радиус группы по своим статистическим свойствам является составной частью системы оценки кучности, основанной на использовании в качестве показателей кучности винтовки параметров в законе Рэлея. При очень больших группах СТП группы практически совпадает с центром попаданий и средний радиус большой группы напрямую связан с параметром Ϭ в распределении Рэлея, стремясь снизу к отношению R = 1,253 Ϭ, в пределе сам является средним радиусом в распределении Рэлея и одним из показателей кучности винтовки.

Однако при малых группах средний радиус, рассчитанный по СТП относительно координат пробоин в группе при неизвестном центре попаданий, значительно отличается от среднего радиуса группы относительно известного центра попадания (рис. 17б). Мы можем оценивать средний радиус каждой группы по СТП группы и потом находить среднее значение по нескольким группам. Но тогда этот показатель будет оторван от общей системы показателей оценки кучности винтовки, как и размер группы, поскольку не будет учитывать отсчет координат от центра попадания и тем самым будет завышать кучность винтовки. Он будет недооценен по размеру и будет меньше среднего радиуса этих же групп относительно центра попадания. Он также не будет завязан на центре попаданий. В результате кучность винтовки, определенная по такому среднему радиусу групп, будет завышена, и для оценки реальной кучности винтовки по нему также потребуется введение поправочных коэффициентов, как и в случае с размером групп.

Но схожий с размером группы по признаку расчета «самого по себе», без привязки пробоин к неизвестному центру попаданий, средний радиус групп отличается от размера групп тем, что не «зависает в воздухе» с координатой средней точки попадания, а опирается на СТП группы, которая дает статистическую оценку центра попаданий и в пределе совпадает с ней. Это принципиальное отличие. Также в отличие от экстремального размера группы, который постоянно растет с увеличением числа выстрелов, средний радиус группы в области больших значений практически все меньше зависит от числа выстрелов в группе, стремится к значению среднего радиуса большой группы, при этом координаты СТП группы стремятся к координатам центра попадания, и поэтому может уточняться не только путем осреднения отдельных групп, но и путем добавления все новых пробоин в одну группу при одной точке прицеливания. Даже желательно, чтобы при наличии такой возможности он определялся не по сумме средних радиусов отдельных малых групп с разных мишеней, а по одной большой группе пробоин на одной мишени с одной точкой прицеливания. Как мы видели, в области малых групп он недооценивается также, как и размер группы, и статистически всегда меньше среднего радиуса большой группы. Поэтому оценивать кучность винтовки по среднему радиусу группы желательно начиная минимум с 5 выстрелов в группе, а лучше с 6–7 и до 10. Это нужно не только для повышения совпадения R_n с R_cp , но главное, для более точного определения координат СТП, поскольку с ростом числа выстрелов в группе его СТП будет сближаться с общим центром попадания. Еще раз обратим внимание на то, что с ростом числа выстрелов в группе R_n постепенно приближается к значению R_cp, в то время как D_n продолжает экспоненциально увеличиваться до бесконечности.

После обсуждения особенностей размера и среднего радиуса групп приступим к расчетам согласующих коэффициентов между кучностью групп и кучностью винтовки. Поставим в соответствие значения размера D_n и среднего радиуса R_n группы при заданном числе выстрелов в группе n и значения показателей кучности винтовки Ϭ, R₅₀ и R_ср. Основой для пересчета значений Ϭ по значениям D_n  и R_n являются таблицы 1, 2 и 3. Генерация групп по 3, по 5 и по 10 выстрелов дает, например, выборочное среднее размера групп D₃ = 2,37 Ϭ, D₅ = 3,02 Ϭ и D₁₀ = 3,75 Ϭ,  D_∞ =  ∞ и среднего радиуса R₃ = 1,008 Ϭ, R₅ = 1,107 Ϭ, R₁₀ = 1,182 Ϭ,  R_∞ = 1,253 Ϭ (табл. 1). По этим соотношениям можно, например,  сказать, что размер группы D₅ формально равен радиусу R на мишени, охватывающему 99% попаданий.

Оценку координат центра попаданий точнее делать, нанеся все пробоины на одну мишень при одной точке прицеливания, но эта процедура трудоемкая и неоднозначная,  проще найти средние координаты СТП всех групп, что менее точно, но и менее трудоемко. Поэтому стрелок должен сам выбирать между точностью и трудоемкостью.

Вернемся к мысли, что сравнивать между собой по размеру или среднему радиусу группы и оценивать вероятность попадания в цель в зависимости от кучности винтовки – это две разные задачи. Если стрелок решает первую задачу, то достаточно определить средний размер и средний радиус групп с необходимой точностью. Если стрелок решает вторую задачу, то он должен иметь таблицы или алгоритм пересчета размера или среднего радиуса группы в кучность винтовки и в вероятность попадания в цель. Если винтовка правильно обнулена и центр попадания совмещен с центром прицеливания, а параметр Ϭ рассчитан по размеру или среднему радиусу групп, то вероятность попадания в цель можно определить по табл. 5. Можно также воспользоваться любым калькулятором из интернета.

Обнуление прицела является отдельной задачей, которая рассмотрена в другой нашей статье [4].

Таблица 5.

Расчет вероятности попадания в цель в зависимости от отношения R/Ϭ в предположении распределения координат пробоин по закону Рэлея при совмещенных центре попаданий и точке прицеливания.

R/Ϭ	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,00	0,0000	0,0000	0,0002	0,0004	0,0008	0,0012	0,0018	0,0024	0,0032	0,0040
0,1	0,0050	0,0060	0,0072	0,0084	0,0098	0,0112	0,0127	0,0143	0,0161	0,0179
0,2	0,0198	0,0218	0,0239	0,0261	0,0284	0,0308	0,0332	0,0358	0,0384	0,0412
0,3	0,0440	0,0469	0,0499	0,0530	0,0562	0,0594	0,0627	0,0662	0,0697	0,0732
0,4	0,0769	0,0806	0,0844	0,0883	0,0923	0,0963	0,1004	0,1046	0,1088	0,1131
0,5	0,1175	0,1219	0,1265	0,1310	0,1357	0,1404	0,1451	0,1499	0,1548	0,1597
0,6	0,1647	0,1698	0,1749	0,1800	0,1852	0,1904	0,1957	0,2010	0,2064	0,2118
0,7	0,2173	0,2228	0,2283	0,2339	0,2395	0,2452	0,2508	0,2565	0,2623	0,2681
0,8	0,2739	0,2797	0,2855	0,2914	0,2973	0,3032	0,3091	0,3151	0,3210	0,3270
0,9	0,3330	0,3390	0,3451	0,3511	0,3571	0,3632	0,3692	0,3753	0,3813	0,3874
1	0,3935	0,3995	0,4056	0,4117	0,4177	0,4238	0,4298	0,4359	0,4419	0,4479
1,1	0,4539	0,4599	0,4659	0,4719	0,4778	0,4838	0,4897	0,4956	0,5015	0,5074
1,2	0,5132	0,5191	0,5249	0,5307	0,5364	0,5422	0,5479	0,5536	0,5592	0,5648
1,3	0,5704	0,5760	0,5816	0,5871	0,5925	0,5980	0,6034	0,6088	0,6141	0,6194
1,4	0,6247	0,6299	0,6351	0,6403	0,6454	0,6505	0,6555	0,6606	0,6655	0,6705
1,5	0,6753	0,6802	0,6850	0,6898	0,6945	0,6992	0,7038	0,7084	0,7130	0,7175
1,6	0,7220	0,7264	0,7308	0,7351	0,7394	0,7437	0,7479	0,7520	0,7561	0,7602
1,7	0,7643	0,7682	0,7722	0,7761	0,7799	0,7837	0,7875	0,7912	0,7949	0,7985
1,8	0,8021	0,8056	0,8091	0,8126	0,8160	0,8194	0,8227	0,8260	0,8292	0,8324
1,9	0,8355	0,8386	0,8417	0,8447	0,8477	0,8506	0,8535	0,8564	0,8592	0,8619
2	0,8647	0,8674	0,8700	0,8726	0,8752	0,8777	0,8802	0,8826	0,8850	0,8874
2,2	0,9111	0,9130	0,9149	0,9168	0,9186	0,9204	0,9222	0,9240	0,9257	0,9273
2,3	0,929	0,9306	0,9322	0,9338	0,9353	0,9368	0,9383	0,9397	0,9411	0,9425
2,4	0,9439	0,9452	0,9465	0,9478	0,9490	0,9503	0,9515	0,9527	0,9538	0,9550
2,6	0,9660	0,9668	0,9677	0,9685	0,9693	0,9701	0,9709	0,9717	0,9724	0,9732
2,7	0,9739	0,9746	0,9753	0,976	0,9766	0,9772	0,9778	0,9784	0,979	0,9796
2,8	0,9802	0,9807	0,9812	0,9818	0,9823	0,9828	0,9833	0,9837	0,9842	0,9846
2,9	0,985	0,9855	0,986	0,9863	0,9867	0,9871	0,9875	0,9879	0,9882	0,9886
3	0,9889	0,9892	0,9895	0,9899	0,9902	0,9905	0,9907	0,9910	0,9913	0,9916
3,5	0,9978	0,9979	0,9980	0,9980	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984
4	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998	0,9998

 

В заключение опишем реальный тест по оценке кучности винтовки по размеру и среднему радиусу групп. Винтовка 6.5х47, настроенная на экстремальную кучность 0,15 МОА на скорости пули 890 м/с, порох vv150, пуля Berger VLD 130 гран. При стрельбе на дистанции 100 метров из такой винтовки со скоростью пули 890 м/с группа из 5 выстрелов сливается практически в одно пятно, что создает сложности расчета среднего радиуса группы. Однако на скорости ниже 855 м/с кучность резко ухудшается вплоть до 0,6 МОА, при этом точки попадания становятся различимы и можно определить средний радиус групп. На этой низкой скорости для оценки кучности групп было сделано 16 групп по 5 выстрелов в группе. Мишени представлены на рис.18. Средняя кучность групп составила 0,63 МОА. Минимальная группа 0,34 МОА, максимальная 1,15 МОА.

 

   

Рисунок 18. Контрольные мишени исследовательского теста на кучность

 

Результаты теста приведены в табл. 6.

Таблица 6

Результаты теста

№	Размер (эксперимент)	Радиус (эксперимент)	хСТП	уСТП	Размер (расчет)	Радиус (расчет)
1	0,61	0,27	-0,11	-0,49	0,95	0,1
2	0,51	0,21	-0,03	-0,2	0,38	0,17
3	0,91	0,36	-0,18	-0,38	0,94	0,26
4	1,15	0,49	-0,43	-0,28	0,18	0,2
5	0,63	0,19	-0,24	-0,33	0,69	0,22
6	0,46	0,21	-0,26	-0,34	0,29	0,35
7	0,58	0,16	-0,15	-0,39	0,64	0,28
8	0,43	0,18	-0,25	-0,73	0,78	0,22
9	0,8	0,24	0,02	-0,36	0,72	0,50
10	0,44	0,19	-0,26	-0,69	0,98	0,14
11	0,44	0,13	-0,14	-0,6	0,49	0,21
12	0,99	0,33	-0,3	-0,37	0,62	0,18
13	0,51	0,16	0	-0,32	0,54	0,46
14	0,78	0,32	-0,13	-0,21	0,38	0,41
15	0,34	0,11	-0,42	-0,51	0,64	0,27
16	0,48	0,2	-0,31	-0,65	0,96	0,23
среднее	0,629	0,243	-0,199	-0,428	0,636	0,262
СКО	0,232	0,099	0,135	0,135	0,249	0,114

 

На рис. 19 представлены текущие и средние значения размеров и среднего радиуса групп в МОА в зависимости от числа групп. Видно, что среднее значение стабилизируется на 7–8 группе.

 

а)	б)

Рисунок 19. Текущие и средние значения размеров (а) и среднего радиуса (б) групп

 

Средний размер групп по 5 выстрелам в соответствии с табл. 1 соответствует значению D₅ = 3,02 Ϭ. Зная размер групп в угловых величинах (0,629 МОА) по результатам теста, а также дистанцию стрельбы, определим значения показателей кучности винтовки: параметр Ϭ, круговое вероятное отклонение R₅₀ и средний радиус точек попадания R_cp также в угловых величинах: D5 = 0,629 = 3,02 Ϭ, откуда Ϭ = 0,21 МОА. Соответственно, средний радиус R_cp будет равен 0,26 МОА, R₅₀ будет равно 0,25 МОА. Учитывая, что на дистанции 100 метров кучность в 1 МОА равна размеру в 2,9089 см, линейный размер Ϭ на дистанции 100 метров в нашем случае равен 0,611 см или 0,24 дюйма, соответственно, средний радиус будет равен R_cp = 0,765 см, а R₅₀ = 0,72 см. Координаты СТП₈₀ определим по общему количеству 80 выстрелов, перенеся координаты пробоин со всех мишеней на одну мишень при одной точке прицеливания (рис. 19а).  Они равны х_СТП = 0,18, у_СТП = 0,42. Точка прицеливания была на 12 часов внутреннего круга. В соответствии с табл. 1 истинные координаты центра попадания отстоят от выборочного СТП не более чем на 0,1 Ϭ, или на 0,02 дюйма, поэтому выборочная оценка будет достаточно точной для замены оценки центра попадания его выборочным СТП₈₀. Есть нюанс, который заключается в том, что при передвижении ствола винтовки с одной мишени на другую центр попадания может изменяться относительно точки прицеливания, но мы его не можем учесть.  В этом смысле, конечно, лучше делать все выстрелы по одной мишени с одной точкой прицеливания.

 

а)	б)

Рисунок 19. Картина реальных (а) и смоделированных (б) пробоин. Желтым цветом обозначена СТП группы, красным цветом выделены координаты первой группы

 

Используя полученные данные как точные значения, рассчитаем вероятность попадания во внутренний круг мишени (рис. 18) диаметром 21 мм (0,8268 дюйма) на дистанции 100 метров при среднем размере групп 0,629 МОА и при условии полного совмещения выборочного центра попаданий и точки прицеливания. Для этого перемещаем точку прицеливания в выборочную СТП с координатами (х, у) = (-0,199, -0,428). Отношение радиуса внутреннего круга мишени к Ϭ равно R/Ϭ = 10,5/0,611 = 0,413/0,24 = 1,72. Соответствующая этому значению вероятность равна 77% (табл. 5). То есть, 70 из 80 выстрелов должны попасть внутрь малого круга мишени. Накладываем круг диаметром 21 мм на мишень с совмещением центра круга с центром пробоин и считаем количество пробоин за пределами круга. Получаем, что за пределами внутреннего круга мишени у нас осталось бы 23 реальных пробоины, или 71% попаданий (рис. 21а). Достаточно хорошее совпадение.

Имея столь представительную выборку реальных выстрелов по мишени, оценим заодно и достоверность компьютерного моделирования подобных тестов. Для моделирования картины пробоин примем в качестве исходных данных параметры распределения реальных пробоин с координатами СТП (х, у) = (-0,199, -0,428) и выборочным значением Ϭ = 0,21 дюйма. Моделирование размеров и средних радиусов групп показывает их достаточно хорошую схожесть с реальными размерами и средними радиусами групп (табл. 6).

 

а)	б)

Рисунок 21. Число выстрелов, попавших во внутренний круг мишени D = 21 мм по результатам реального и модельного тестов при условии полного совмещения центра попаданий и точки прицеливания

 

Нанесение реальных и модельных пробоин на одну мишень с одной точкой прицеливания показывает достаточно хорошую схожесть реальной и модельной картин выстрелов на мишени (рис. 21а, 21б). В круг диаметром 21 мм попало 17 модельных пробоин или 79% попаданий (рис. 21б).

По полученным картинкам можно сказать, что для оценки кучности винтовки лучше стрелять в одну мишень с одной точкой прицеливания, не разделяя выстрелы на группы.

Средний радиус точек попаданий по 80 выстрелам равен R_cp = 0,3 МОА. Разница в 13% между рассчитанным как среднее арифметическое среднего радиуса 16 групп R₅ и по координатам 80 выстрелов средним радиусом R_cp укладывается в теорию, по которой R₅ = 1,107 Ϭ, а R₈₀ = 1,230 Ϭ.  Его расчетное значение по смоделированным пробоинам равно 0,27 МОА, что находится также в пределах интервальных оценок.

Теперь, после того, как по 16 группам и 80 пробоинам на мишени мы с высокой точностью определили выборочные координаты СТП и параметр Ϭ,  примем их за точную оценку параметров генеральной совокупности и представим, что мы не знаем результатов, полученных при отстреле 16 групп по 5 выстрелов. Поскольку большинство стрелков при оценке кучности групп ограничиваются максимум 10 выстрелами (2х5), возьмем первые две группы, как если бы мы сделали только их, оценим по ним доверительный интервал и сравним с данными по 16 группам, а также оценим кучность винтовки. Для этого делаем следующие шаги. Определяем средний размер двух групп: D₅ = (0,61+0,51)/2 = 0,56 МОА. По табл. 3 и 4 оцениваем интервал, в котором находится средний размер групп:  D₅ = (0,42–0,7) МОА с доверительной вероятностью 0,8 и D₅ = (0,36–0,76) МОА с доверительной вероятностью 0,9.

Выборочное значение среднего размера по 16 группам, как мы помним, составило 0,629 МОА и это значение укладывается в оба рассчитанных доверительных интервала. Далее определяем доверительный интервал параметра Ϭ: Ϭ = (0,14–0,23) МОА с доверительной вероятностью 0,8 и Ϭ = (0,12–0,25) МОА с доверительной вероятностью 0,9. Доверительные интервалы R₅₀ и среднего радиуса для доверительной вероятности 0,9 равны: R₅₀ = (0,14-0,29) МОА, R_cp = (0,15–0,31) МОА. Сравниваем полученный результат по 16 группам R₅ = 0,26 МОА и убеждаемся, что он находится внутри доверительного интервала R_cp = (0,15–0,31) MOA. В миллиметрах на дистанции 100 метров диапазон параметра Ϭ равен Ϭ = (3,5–7,3). Отношение радиуса R внутреннего круга к параметру Ϭ для этого диапазона Ϭ равно R/Ϭ = (3–1,43). Входим в таблицу 5 с этим значением и получаем диапазон вероятности попадания с первого выстрела в круг диаметром 21 мм Р = (64–99) %. Вычисленная ранее вероятность 77% по 80 выстрелам укладывается в этот интервал. Читатель сам может провести аналогичные расчеты для среднего радиуса групп.

Часто важен не средний, а гарантированный результат. Вероятность попадания в цель с первого выстрела при худших вероятных значениях кучности винтовки равна 64% или 6–7  попаданий из 10. Разумеется, эта вероятность не включает ошибок стрелка, действия ветра, миража и других возмущающих факторов, с учетом которых она будет меньше. Но это уже другая тема. Таким образом, методика расчета кучности винтовки по размеру групп подтверждена на практике.

ВЫВОДЫ

1. Кучность комплекса «винтовка + патрон», которую для краткости называют кучностью винтовки, часто путают с размером или средним радиусом групп. Под кучностью винтовки понимают свойство винтовки группировать пробоины вокруг общего СТП при одной точке прицеливания. Кучность винтовки постоянна для текущего состояния ствола и патрона. Размер или средний радиус групп определяют по нескольким случайным пробоинам, в силу чего они не постоянны и при малых группах имеют большой разброс. Эти определения показывают разницу между кучностью винтовки и размером или средним радиусом отдельных групп.
2. Показателями кучности винтовки при круговом распределении пробоин на мишени принято считать круговое вероятное отклонение КВО, средний радиус точек попадания R_cp и параметр Ϭ, точность определения которых зависит от числа выстрелов. Статистически достоверная картина кучности винтовки начинает проявляться только при достаточно большом числе однотипных выстрелов, намного большем, чем это делается на практике. Для точной оценки показателей кучности винтовки требуется большое количество выстрелов, не менее 100. При малом количестве выстрелов оценка кучности винтовки может быть сделана только с большой ошибкой.
3. Показатели кучности винтовки (круговое вероятное отклонение КВО, средний радиус точек попадания R_cp и параметр Ϭ) можно оценивать по размеру или среднему радиусу групп при известных координатах центра попадания, вводя поправочные коэффициенты и доверительные интервалы с заданной доверительной вероятностью. Можно, например, сказать, что средний размер групп по 5 выстрелам соответствует 3,02 Ϭ в распределении Рэлея. Это означает, что 99 выстрелов из 100 попадут внутрь круга, радиус которого будет равен среднему размеру групп по 5 выстрелов.
4. Размер группы не вполне согласуется с такими показателями кучности, как КВО, R₅₀ и Ϭ, но связан с показателем R₁₀₀ или D_100. В отличие от экстремального размера группы, средний радиус группы является составной частью системы оценки кучности, основанной на использовании в качестве показателей кучности винтовки параметров в законе Рэлея.
5. Точность определения среднего размера или среднего радиуса групп сильно зависит от числа групп и числа выстрелов в группе, а по сути, от общего числа выстрелов. Для оценки среднего размера группы или среднего радиуса групп с точностью 15% и доверительной вероятностью 80% для обоих показателей нужно не менее 30 выстрелов. Точность в 30% достигается 10 выстрелами. Для большинства не очень ответственных задач для оценки кучности достаточно 10–15 выстрелов, что соответствует ошибке в 25-30%. Если требуется точность не менее 15%, нужно сделать 30 выстрелов. Для еще более высокой точности нужно делать еще больше выстрелов.
6. Чтобы знать, ограничивает ли кучность вашей винтовки на соревнованиях, нужно научиться мыслить не только в размерах или средних радиусах групп, но и в показателях кучности винтовки. Это разное мышление. Когда вы размышляете в размерах или среднем радиусе групп, вы не думаете о кучности винтовки, а замыкаетесь на сравнении размеров групп между собой. Когда вы мыслите в категории кучности винтовки, вы размышляете совсем по-другому, а именно, рассчитываете, какова вероятность попадания в круг с заданным радиусом. Нужно сказать, что в большинстве случаев практичнее второе, поскольку большинство соревнований идут на точность попадания.
7. Чтобы понять, лучше или хуже ваша винтовка, чем другая, или лучше или хуже стала кучность вашей винтовки, часто достаточно контролировать средний размер или средний радиус групп. Но чтобы понять, достаточная ли кучность винтовки для того, чтобы произвести точный выстрел на соревнованиях или на охоте, нужно знать радиус цели и вероятность попасть внутрь этого радиуса. Размер группы не позволяет ответить прямо на этот вопрос, поскольку не дает оценку координат центра попадания.  Средний радиус группы позволяет оценить не только кучность винтовки, но и координаты центра попаданий, и таким образом позволяет оценить вероятность попадания в круг заданного радиуса. То есть, оба показателя по-своему могут ответить на вопрос, способна ли винтовка поразить заданную цель с высокой вероятностью, но рассчитать координаты центра попадания и вероятность попадания в цель напрямую можно только по среднему радиусу группы.
8. Предложенные подход к оценке кучности винтовки, согласующие соотношения и коэффициенты позволяют оценивать среднее значение, точность расчета среднего значения (доверительный интервал) и стандартное отклонение от среднего значения размера групп и среднего радиуса групп, по ним делать интервальные оценки показателей кучности групп, и с помощью поправочных коэффициентов проводить интервальную оценку кучности винтовки и вероятности попадания в цель.

 

Список литературы:

1. Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И. Г. Математические модели, описывающие закономерности рассеивания пробоин и показатели кучности при спортивной стрельбе по мишеням. Аналитический обзор. // Universum: технические науки. – 2024. № 4(121). Часть 3. С. 45-62.
2. Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. Оценка кучности при стрельбе по мишеням из спортивной винтовки. Применение статистических методов в практике стрелкового спорта. // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. -2024. 4(121). Часть 3. С.4-28.
3. Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. Показатели кучности спортитвной и охотничьей винтовки.  Аналитический обзор. // Universum: технические науки. - 2024.-4(121). Часть 3.  с. 29–44.
4. Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. Статистический анализ техники обнуления прицела.
5. Двумерный закон распределения случайной величины //Wikipedia [Электронный ресурс] URL www.wikipedia.org . (Дата обращения 23.10.2024).
6. Двухмерное нормальное распределение // Bstudy.net [Электронный ресурс] URL www.bstudy.net. (Дата обращения 23.10.2024).
7. Игорь Жуков. «Идеальный выстрел – это просто!» - Москва. Издание «Издательство книг ком». 2023, 416 с
8. Нормальное распределение. [Электронный ресурс] URL https://ru.wikipedia.org/wiki (Дата обращения 23.10.2024).
9. Обобщенное распределение экстремальных значений [Электронный ресурс] URL https://wikipedia.ru (Дата обращения 23.10.2024).
10. Математическая статистика [Электронный ресурс] URL https://ru.wikipedia.org/wiki (Дата обращения 23.10.2024).
11. Статистические оценки параметров генеральной совокупности //Высшая математика для заочников и не только. [Электронный ресурс] URL http://mathprofi.ru/matematicheskaya_statistika.html. (Дата обращения: 23.10.2024).
12. Ballistipedia.com [Электронный ресурс] URL https://ballistipedia.com (Дата обращения 23.10.2024).
13. Ballistic Accuracy Classification [Электронный ресурс] URL https://ballistipedia.com (Дата обращения 23.10.2024).
14. Bryan Litz. Accuracy and Precision for Long Range Shooting: A Practical Guide for Riflemen. Applied Ballistics LLC, 2011.-578 p.