МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ МНОГОСЛОЙНОЙ (ТРЕХСЛОЙНОЙ) ПЛАСТИНЫ

АННОТАЦИЯ

В данной статье приведены вынужденные колебания вязкоупругой трехслойной пластины определенного типа и некоторые задачи с применением численных решений(Maple). С целью работы является реализация методов, алгоритмов и программ для получения резонансных частот и анализа вибраций для прямоугольной вязкоупругой трехслойной пластины. Изучаются колебания пластины и некоторые характерные особенности. Поэтому при решении частотного уравнения методом Фурье определяются комплексные корни. Было обнаружено, что с увеличением модуля упругости пластины действительная и абстрактная части собственных частот соответственно увеличиваются. Также приведены граничные условия на краях трехслойной пластины в отношении перемещений и напряжений.

ABSTRACT

This article presents forced vibrations of a viscoelastic three-layer plate of a certain type and some problems using numerical solutions (Maple). The purpose of the work is to implement methods, algorithms and programs for obtaining resonant frequencies and analyzing vibrations for a rectangular viscoelastic three-layer plate. The vibrations of the plate and some characteristic features are studied. Therefore, when solving a frequency equation using the Fourier method, complex roots are determined. It was found that as the elastic modulus of the plate increases, the real and abstract parts of the natural frequencies increase correspondingly. Boundary conditions at the edges of the three-layer plate in relation to displacements and stresses are also given.

Ключевые слова: трехслойные пластины, колебания, уравнения колебаний, вязкоупругость, методы расчета, динамический расчет, математические модели, реологическое поведение, прикладные задачи, частотные уравнения

Keywords: three-layer plates, vibrations, vibration equations, viscoelasticity, calculation methods, dynamic calculation, mathematical models, rheological behavior, applied problems, frequency equations

Введение. Исходя из точной трехмерной постановки задачи и ее решения в преобразованиях, выводятся общие уравнения колебаний трехслойных пластин, из которых можно получить тип классических уравнений колебаний. Композитные материалы в виде плиты нашли широкое применение в различных областях техники и строительства. Это связано с тем, что легкость и рациональность формы, присущие тонкостенным конструкциям, сочетаются с их высокой несущей способностью, эффективностью и хорошей технологичностью. На основе полученных уточненных уравнений колебаний решена задача о гармонических колебаниях трехслойной пластины. Для сведения трехмерной в пространственных координатах задачи теории пластин к двумерной используются различные методы и подходы. Основные требования научно-технического прогресса в области строительства, особенно в сейсмоопасных регионах страны, направлены на повышение долговечности и надежности зданий и сооружений.

Динамический расчет многослойных(трехслойных) пластин основаны на гипотезах Кирхгофа или уточненных теориях типа Тимошенко и в качестве основных неизвестных функций берутся смещения средней поверхности пластины[1] и изотропный материал. Уравнения используются для получения уточненных уравнений колебаний. Предложенный алгоритм позволяет определить напряженно-деформированное состояние точек вязкоупругой системы. При построении теории используемые гипотезы и допущения в теории оболочек Кирхгофа-Лява приводят к существенным недостаткам и ошибкам[2].

В них при выводе уравнений колебаний в качестве неизвестных берутся основные части составляющих перемещений точек срединной поверхности наполнителя, число которых в общем случае равно шести. Если граничные условия будут сформулированы точно, то число неизвестных увеличится, по словам самих авторов, до двенадцати [3]. Также была разработана модель n-го порядка [4] для расчета сдвиговой деформации функционально градуированной многослойной пластины из композиционного материала.

В настоящее время композиционные материалы широко используются в ка честве материалов наружных слоев и наполнителя многослойных плит. В данной работе представлены результаты численного исследования вязкоупругих многослойных плит. На основе метода Бубнова-Галеркина рассмотрена зависимость критической скорости флаттера от наполнителя жесткости, от поперечного сдвига, а также других геометрических и механических параметров задачи. Основное внимание уделяется анализу флаттера колебаний пластин с учетом вязкоупругих характеристик материалов [5-6]. Многослойные пластины широко используются в различных областях техники. Сфера применения трехслойных пластин чрезвычайно широка. Она включает в себя такие области, как строительство, авиастроение, приборостроение и т.д. Поэтому расчет таких плит на действие различных динамических нагрузок широко применяется при проектировании и эксплуатации инженерных сооружений, часто работающих в экстремальных условиях воздействия взрывных, сейсмических и других нагрузок [7]. Условия интенсивного использования трехслойных и многослойных конструкций обусловили необходимость разработки эффективных методов расчета таких элементов[8-9]. Предложены новые математические модели стационарных колебаний пластин и оболочек, основанные на точном решении соответствующих трехмерных вязкоупругих задач. Изучение неоднородностей представляет большой интерес для прогнозирования важного тектонофизического явления, то есть поведения очага предстоящего землетрясения[10]. Количество опубликованных исследований, посвященных разработке новых моделей и теорий нестационарных колебаний однородных и многослойных пластин и оболочек, подверженных внешним динамическим нагрузкам, невелико по сравнению со случаем статики[10-11]. Пути к основным резервам повышения эффективности строительных конструкций отсутствуют, поскольку эти резервы обнаруживаются только при учете волнового характера динамических нагрузок (сейсмических) и связаны с необходимостью допущения необратимых деформаций в конструкции” [12-17]. Разработка методов расчета конструктивных элементов сооружений в рамках теории пластин остается одной из актуальных и сложных проблем механики деформируемого твердого тела. При построении теории пластин очень важно учитывать реологические нелинейные свойства конструкционного материала. При моделировании динамического поведе ния элементов зданий и сооружений, а также трехслойных конструктивных элемен тов успешно развивается и используется теория толстых плит, учитывающая силы, моменты и бимоменты. Расчет тонких пластин с учетом реологических и нелинейных свойств конструкционного материала имеет большое значение на современном этапе развития теории тонких пластин и оболочек. [18-21].

Методы. В постановке задачи рассмотрено симметричное колебание упругой трехслойной пластины длиной  и трехслойная, бесконечная в плане упругая пластина. Мы предполагаем, что пластина состоит из двух несущих слоев толщиной  и , среднего слоя толщиной . В том случае, когда пространство между несущими слоями заполнено более легким, то есть менее жестким материалом, средний слой называется заполнителем. При выводе уравнений вибрации мы предполагаем, что как пластина в целом, так и каждый из ее слоев в отдельности строго подчиняются математической линейной теории упругости и в точных формулировках описываются ее трехмерными уравнениями (рис. 1). Поле смещения слоя описывается относительно прямоугольной декартовой системы координат  с началом координат в средней плоскости заполнителя. Смещение и натяжение пластинчатого слоя задаются в соответствии с гипотезой Кирхгофа Лява. Мы основываемся на гипотезах Кирхгофа или усовершенствованных теориях типа Тимошенко. За последние несколько десятилетий была разработана теория колебаний пластин, основанная на методе точных решений Г.М. Петрашеня.

Результаты и обсуждение. В декартовой системе координат рассмотрена бесконечная изотропная трехслойная пластина   Предположим, что верхние слои являются вязкоупругими, а внутренний слой эластичным. Также допускается, что контакты между несущими слоями и сердечником являются жесткими. Принимая во внимание неограниченный размер пластины, в дальнейшем мы предполагаем, что она находится в состоянии плоской деформации, т.е. относим ее к системе прямоугольных координат Oxz (рис. 1). В этом случае ось Ox направлена вдоль поперечного сечения Oxz по его средней линии, а ось Oz вверх. Давайте пронумеруем слои пластины, как показано на рис. 1, т.е. верхний несущий слой будет называться первым слоем, нижний несущий слой вторым, а слой наполнителя нулевым. Пусть ,  и  толщины первого, нулевого и второго слоев. В этом случае операторы вязкоупругости для внутренних слоев заменяются коэффициентами упругости Ламе  соответственно.

Рисунок 1. Объект исследования трехслойной пластины

Эта трехслойная пластина будет считаться слоистой средой, при этом параметры материала среднего слоя обозначаются индексом а параметры верхнего и нижнего слоев индексом

Зависимости напряжений от деформаций представлены в виде:

                             (1)

где  и  вязкоупругие операторы:

                          (2)

-ядра вязкостных операторов,-упругие постоянные или коэффициенты Ламе

Вводя потенциалы  и  в соответствии с формулой

                          (3)

с условием  уравнения движения материала слоев сводятся к виду

                   (4)

Граничные условия на поверхности трехслойной пластины следующие:

при  (на поверхностях пластин)

                    (5)

при  (плоскость контакта):

                                 (6)

Начальные условия равны нулю. Решение уравнений в виде

                                          (7)

где  безразмерная комплексная частота трехслойной пластины.

Подставляя выражение (7) в уравнение комплексной частоты  получаем алгебраическое уравнение четвертого порядка:

                                           (8)

Чтобы решить уравнение (8), мы вводим безразмерные параметры: как и в предыдущем параграфе, коэффициенты  принимают вид:

          (9)

Уравнение (8) было решено численно с использованием программного обеспечения Maple. При этом расчеты проводились для различных материалов пластины со следующими значениями их физико-механических параметров:

сталь:медь:алюминий: .Например:Пусть будет видна форма трехслойной пластины.Верхняя часть(1) изготовлена из стального материала с модулем Юнга  Коэффициент Пуассона  и плотность Нижняя часть(2) изготовлена из меди с модулем Юнга Коэффициент Пуассона  и плотность  

Результаты расчетов показаны на рис.2 в виде зависимостей наименьшей частоты  от волнового числа  На рис.2 приведены графики зависимостей частоты от волнового числа для различных значений толщины пластины:

Приведенные графики (рис. 2) показывают, что для значений волнового числа  зависимости частоты  от волнового числа  являются нелинейными, а затем, с увеличением , эти зависимости становятся линейными. Значения частоты тонкой пластины при  резко отличаются от других, где коэффициенты  постоянны, в зависимости от геометрических параметров и механических свойств слоев пластины. Частотные уравнения были решены с использованием программ Maple со следующими данными задачи для несущих слоев: сталь   Где в

Рисунок 2. Кривые изменения  в зависимости от

Алгебраическое уравнение (8) решается численно на Maple точно так же, как и в случае с первой задачей.

В результате расчета коэффициентов затухания для значений параметров  ,

Здесь коэффициент Пуассона материала слоев пластины. Рассмотрена трехслойной пластины как трехмерного тела и решение задачи в точной трехмерной постановке позволяет без использования каких-либо гипотез вывести общие и приближенные уравнения колебаний для трехслойных пластин определенного типа. Из полученных ранее общих уравнений мы можем вывести приближенные уравнения колебаний конечного порядка в производных для решения конкретных прикладных задач. Решены задачи о свободных и вынужденных колебаниях прямоугольных трехслойных пластин, опирающихся на шарниры, а также задача о воздействии нормальной нагрузки на бесконечную трехслойную пластину.

Вывод. Рассмотрение трехслойной пластины как трехмерного тела позволяет вывести общие и приближенные уравнения трехслойных пластин определенного типа Теория нестационарных поперечных колебаний трехслойной пластины разработана на основе общих решений в преобразованиях уравнений теории упругости в плоской постановке. В статье предлагаются теория и методы расчета с высокой точностью трехслойных пластин со сжимающимся пространственным наполнителем. Из общих уравнений можно вывести приближенные уравнения колебаний любого конечного порядка в производных, пригодные для решения конкретных прикладных задач. Полученные общие уравнения вибрации позволяют получить уточненные уравнения типа Тимошенко и приближенные уравнения типа Кирхгофа, которые могут быть применены для решения прикладных задач инженерного проектирования. Описанный подход позволил не только получить уравнения колебаний трехслойной пластины, но и формулы для расчета всех перемещений и напряжений в точках трехслойной пластины через искомые функции. Полученные общие и приближенные уравнения явно содержат вязкоупругие операторы, описывающие реологическое поведение материала трехслойной пластины. Конкретные прикладные задачи, представленные в работе для трехслойной пластины, позволили оценить влияние различных параметров на напряженно-деформированное состояние пластины. Получены частотные уравнения для продольных и поперечных колебаний трехслойной пластины с учетом дисперсии.

Список литературы:

1. Benerjee S, Kundu T 2006 Journal of Acoustical Society of America 119(4) 2006-2017.
2. Kh. Kh. Khudoynazarov, R. I. Khalmuradov, B. F. Yalgashev, “Longitudinal-radial vibrations of a elastic cylindrical shell filled with a viscous compressible liquid”, Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh., 2021, no. 69, 139–154
3. Safarov, I.I., Teshayev, M.K., Boltayev, Z.I. and Akhmedov, M.S, International Journal of Theoretical and Applied Mathematics,3, pp. 191-198 (2017)
4. Xiang S, Jin Ya, Bi Z, Jiang Sh, Yang M 2011 Composite Structures 93(11) 2826-2832.
5. Khudayarov B.A. 2005 Flutter Analysis of Viscoelastic Sandwich Plate in Supersonic Flow pp 11–17
6. Khudayarov B.A, Ruzmetov K, Turaev F, Vakhobov V, Khidoyatova M, Mirzaev SS, Abdikarimov R 2020 Engineering Solid Mechanics 8(3) 199-204.
7. Khudoynazarov Kh, Skripnyak VA, Yakhshiboyev ShR 2018 Uzbek journal Problems of Mechanics 2 27-32.
8. Kh Khudoynazarov, Sh R Yaxshiboyev 2020 IOP Conf. Ser.: Earth Environ. Sci. 614 012062
9. Sayyad S, Ghugal YM 2015 Composite Structures 129 177–201.
10. Safarov I.I., Teshaev M., Toshmatov E., Boltaev Z. and Homidov.F.F, Torsional vibrations of a cylindrical shell in a linear viscoelastic medium. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 883 (1), 012190. 2020.
11. Abdikarimov RA, Khudayarov BA 2019 International Applied Mechanics 50(4) 389-398.
12. Popa C, Anghelina F V, Despa V 2018 IOP Conf.Series: Materials Science and Engineering 444 062019.
13. Lychev, S.A.: Non-stationary vibration of viscoelastic rod / S.A. Lychev, Y. N. Sayfutdinov. In: XXXII Summer School Conference “Advanced problems in mechanics”: Book of Abstracts, SPb., June 24-July1. p. 89 (2004).
14. Teshaev M. K., Safarov I. I., Mirsaidov M., “Oscillations of multilayer viscoelastic composite toroidal pipes”, Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics, 13:2 (2019), 104–115
15. Karpov VV 2018 International Journal of Solids and Structures 146(1) 117-135.
16. Toshmatov E, Usarov M, Ayubov G, and Usarov D 2019 Dynamic methods of spatial calculation of structures based on a plate model E3S Web Conf 97 04072 doi: 10.1051/e3sconf/20199704072
17. Kh. Khudoynazarov, Z.B. Khudoyberdiyev, IOP Conf. Ser.: Earth Environ. Sci.614, 012061 (2020)
18. R Abdikarimov, D Usarov, S Khamidov, O Koraboshev, I Nasirov, A Nosirov, IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 883 012058 (2020)
19. Waki, Y., Mace, B.R., Brennan, M.J.: Free and forced vibrations of a tyre using a wave/finite element approach. J. Sound Vib. 323, 737–756 (2009).
20. I.I Safarov, M.Kh Teshaev, Sh.R Akhmedov, S.A Boltayev, Sh.N Almuratov, IOP Conf. Ser.: Earth Environ. Sci. 2388, 012002 (2022)
21. Timoshenko S and Woinowsky-Krieger S 1959 Theory of plates and shells 2 (New York: McGraw-hill)