ФРАКТАЛЫ В АРХИТЕКТУРЕ

АННОТАЦИЯ

Исторически сложилось, что в различных культурах в искусстве и архитектуре применялись принципы самоподобия, или же фрактальные принципы. Использование фракталов в искусстве, дизайне и архитектуре началось задолго до того, как фракталы начали рассматривать с точки зрения математики. В эпоху современных технологий доступность цифровых фракталов и соответствующего программного обеспечения для их создания значительно возросла, что открыло новые возможности для исследования и применения фрактальных концепций. Фракталы используются в различных сферах искусства, включая мандалы, мозаики и многое другое. В данной статье рассматриваются разнообразные подходы к интеграции фрактальной геометрии в архитектурное проектирование а также демонстрируется инновационный подход фрактальных принципов в формировании современной архитектуры.

ABSTRACT

Historically, different cultures have applied principles of self-similarity or fractal principles in art and architecture. The use of fractals in art, design, and architecture began long before fractals were considered mathematically. In the age of modern technology, the availability of digital fractals and related software for their creation has increased significantly, opening up new possibilities for research and application of fractal concepts. Fractals are used in various arts, including mandalas, mosaics, and more. This article considers various approaches to the integration of fractal geometry into architectural design and also demonstrates the innovative approach of fractal principles in the formation of modern architecture.

Ключевые слова: Фрактал, архитектура, геометрия, самоподобие, модуль, ордер, масштаб, размерность

Keywords: Fractal, architecture, geometry, self-similarity, module, order, scale, dimensionality

Архитектурная польза фрактальной геометрии

Фрактальная геометрия используется в архитектуре по двум основным причинам. Во-первых, некоторые ученые пропагандируют фрактальную геометрию как творческий инструмент. Например, Карл Бовилл использует фрактальные ритмы, созданные смещением средней точки, для создания широкого спектра архитектурных композиций, таких как планировочные сетки, полосатые окна и так далее. Никос Салингарос делает акцент на трехмерном применении фракталов в архитектуре и горячо отстаивает необходимость повторения самоподобных архитектурных элементов в различных масштабах формы зданий. На основе изучения природных объектов он приходит к выводу, что для эстетической привлекательности масштабные отношения между этими элементами должны подчиняться соотношению 2,7. Наконец, отметим, что интуитивное понимание творческой ценности фрактальной геометрии уже присутствовало в классической архитектурной композиции, что привело к некоторым поразительным сходствам с хорошо известными фракталами (рис. 1). Эндрю Кромптон утверждает, что это происходит потому, что некоторые правила классической композиции благоприятствуют фрактальным формам.

Рисунок 1. Классический дорический антаблемент (слева) имеет удивительное сходство с лестницей Дьявола (справа)

Второй способ, с помощью которого фрактальная геометрия может быть связана с архитектурой, - это использование некоторых из ее типичных методов измерения для анализа структуры зданий. Карл Бовилл применил  метод повторяемости деталей здания во все более мелких масштабах к их различным стилям. Он обнаружил, что органическая архитектура Райта демонстрирует "каскад деталей" в разных масштабах, в то время как в модернистской архитектуре Ле Корбюзье размерность Минковского быстро снижается до 1 для меньших масштабов. Этот вывод согласуется с тем, что "органическая архитектура Райта призывала использовать материалы таким образом, чтобы передать сложность и порядок природы, в то время как пуризм Ле Корбюзье призывал использовать материалы более индустриальным способом, всегда стремясь к эффективности и практичности использования. Как и Бовилл, Даниэле Капо применил метод размерности Минковского к классическим ордерам и обнаружил, что в них присутствуют детали, составляющие до 1/256 высоты всего ордера. Буркле-Элизондо и Вальдес-Сепеда также использовали методы фрактального измерения для определения сложности тридцати пяти мезоамериканских пирамид и обнаружили, что фрактальная размерность этих памятников составляет около 1,3.

Двумерные фракталы в архитектуре

Теперь рассмотрим, как фрактальные формы интегрируются в архитектуру. На первый взгляд, нет какого-то всеобъемлющего фактора, который бы связывал какие-либо здания воедино. Иногда фрактальная форма является выражением мировоззрения или социальной идеи, а в других случаях архитектор просто нашел ее привлекательной. Тем не менее, в последних разделах данной статьи предполагается, что, возможно, существует более глубокая причина, по которой такие узоры интегрированы в архитектуру во все века и культуры.

Начнем с обзора двумерных фрактальных форм в архитектуре, которые в основном присутствуют в планах зданий. Такое применение можно найти в широком спектре архитектурных сооружений, начиная от планов фортификационных сооружений и заканчивая организацией традиционных деревень Замбии. Глобальная форма этих поселений повторяется в кольце, состоящем из отдельных домов, которые, опять же, повторяют общую форму деревни.

Интересно, что масштабные иерархии, управляющие этим целым, являются отражением социальной иерархии в этих сообществах. Как отмечал Джордж Херси, фрактальная организация характерна и для плана проекта Браманте для собора Святого Петра в Риме: Во внутренних углах симметрично сгруппированы четыре миниатюрных греческих креста, которые вместе составляют основную кубическую форму церкви. Горизонтальные части этих меньших крестов состоят из еще более миниатюрных. А их углы, в свою очередь, заполнены небольшими капеллами и нишами. Иными словами, план Браманте можно назвать фрактальным: он повторяется как единицы некоторых элементов в разных масштабах. Фрактальный план, который, возможно, получил наибольшее теоретическое внимание, - это дом Райта "Палмер" (Анн-Арбор, штат Мичиган). Чтобы понять его фрактальный характер, важно отметить, что архитекторы иногда используют "модуль" в качестве основного организационного элемента. В некотором смысле такой элемент можно понимать как концептуальный "строительный блок" дома. Например нижеприведенный план, также спроектированный Райтом, повторяется не менее чем в 7 разных масштабах (рис. 2). Еще одно здание Райта, фрактальная природа которого видна, но в высоту, это ратуша в округе Марин (Сан-Франциско). В этом сооружении над каждой аркой расположено окно или арка, которая несколько меньше предыдущей.

Рисунок 2. План основания дома Райта "Палмер Хаус"

Трехмерные фракталы в архитектуре

Очевидным недостатком фрактальных планов является то, что фрактальная составляющая едва заметна для зрителя. В этом смысле можно утверждать, что применение фракталов при проектировании здания теряет часть своей значимости, и что применение трехмерных фракталов более убедительно и явно. Трехмерный метод, который некоторые связывают с фракталами, - это тесселяция архитектурного фасада. На первый взгляд, связь с фрактальной геометрией может показаться очевидной: такие узоры богаты деталями, что является неотъемлемой характеристикой фракталов.

Современная архитектурная группа «Эштон Раггатт МакДугалл», возможно, одна из первых применила фрактальную плитку в архитектуре. Они покрыли фасад и интерьер «Стори-холла» (Мельбурн) многоугольной плиткой, созданной по мотивам плитки Пенроуза. Мозаика Пенроуза была открыта британским физиком-математиком Роджером Пенроузом. Она состоит из небольшого числа простых плиток, которые могут покрывать плоскость неповторяющимся образом. Такие тесселяции можно отнести к фрактальной геометрии, поскольку они могут быть порождены системами итерированных функций и L-системами. Подход с использованием тесселяций был также использован архитектурной студией «Lab» при создании площади Федерации в Мельбурне и прилегающих к ней зданий. Основными элементами этой "фрактально-инкрементальной системы" являются треугольники, вставленные по 5 штук в каждую панель, а эти же пять панелей образуют основной конструктивный модуль (рис. 3).

О связи изразцовых фасадов с фрактальной геометрией тяжело судить. Хотя некоторые ученые, например Чарльз Дженкс, однозначно связывают подобные творения с фракталами. Можно также заметить, что в таких конструкциях,  нет деталей внутри деталей, как и, к примеру, нет плиток внутри других плиток. В каком-то смысле эти узоры не более фрактальны, чем фрактальна сетка квадратов. Они содержат множество деталей, но увеличение масштаба структуры не открывает новых деталей. С другой стороны, в случае со Стори-холлом и площадью Федерации плитки организованы более целостно, с помощью текстуры, цвета и линий. Это придает им более глубокое ощущение самоподобия. Наконец, некоторые могут возразить, что такая интеграция фракталов - всего лишь обработка поверхности: по сути, это не архитектурные, а декоративные добавления. Действительно, если не использовать узоры, то фрактальный характер здания будет полностью уничтожен.

Рисунок 3. Площадь Федерации, Мельбурн

Но существуют ли примеры современной архитектуры, где фрактальная составляющая является исключительно трехмерной - где она относится к архитектурной форме и/или конструкции? Такие случаи, похоже, редки. Существует сайт "Фрактальная архитектура", где представлены проекты зданий, являющиеся результатом соединения фрактальных принципов и модернистских форм. В двадцатом веке Казимир Малевич создал серию архитектурных проектов (Архитектоны), некоторые из которых имеют замечательную фрактальную составляющую. В одном из примеров основная архитектурная форма окружена уменьшенными версиями всего здания, которые снова окружены еще более мелкими фрагментами. Утверждается, что соотношение между их количеством и размером подчиняется соотношению 1/f.

Чтобы найти другие выдающиеся примеры трехмерной фрактальной архитектуры, нужно заглянуть в прошлое. Иногда отмечают, что некоторые проекты соборов Леонардо да Винчи являются фрактальными, поскольку купола повторяются в разных масштабах. Однако этот пример (как и предыдущие) не может сравниться с ярко выраженным фрактальным характером некоторых индуистских храмов. Фрактальный характер индуистских храмов тесно переплетается с индуистской космологией (рис. 4)

Рисунок 4. Фрактальная генерация центрального купола индуистского храма

На самом деле эти сооружения следует понимать как модели индуистского космоса. В индуистской философии космос (в большей или меньшей степени) представляется как голограмма, где каждая часть целого является самим целым и содержит всю информацию о нем. Некоторые школы индуистской мысли придерживаются (связанного с этим) мнения, что макрокосмос "заключен" в микрокосмосе:

С помощью концепции тонких элементов, называемых "танматрами", можно представить, что весь космос заключен в микрокосмической капсуле. Весь космический принцип повторяется снова и снова во все более мелких масштабах. В индуистской культуре считается, что человек содержит в себе весь космос.

Интересно, что обе космологические концепции могут быть прямо связаны с фрактальным самоподобием. Здесь также глобальная структура повторяется - снова и снова - в микроструктуре.

Для поддержания гармоничного мировоззрения рукотворные объекты и художественные произведения создавались в соответствии с центральными принципами, управляющими индуистским космосом, - в результате получилась глубокая трехмерная фрактальная архитектура. Фрактальность индуистских храмов можно проследить по ряду типичных архитектурных приемов. Обзор этих методов не только интересен с теоретической точки зрения, но и предлагает ряд конкретных рекомендаций по усилению фрактального характера архитектуры.

1. Разделение или разрыв формы и ее повторение по горизонтали, вертикали или радиусу.
2. Замена на плане здания простых сторон теми сторонами, которые бы содержали внутренние и внешние выступы или более подробные детали.
3. Трехмерное самоподобное повторение центрального шпиля индуистского храма.
4. Повторение похожих фигур по горизонтали и/или вертикали.
5. Трехмерное наложение архитектурных элементов ("...мотивы вписываются в различные виды других мотивов, а несколько различных видов композиций и мотивов сгущаются и соединяются в одно сложное и новое образование"

Рисунок 5. Собор Нотр-Дам, Париж

Рисунок 6. Готическая архитектура (Ратуша, Брюгге). Арочная форма повторяется по всему фасаду здания в разных иерархических масштабах

На Западе фрактальный индуистский храм, похоже, имеет свой аналог в готической архитектуре (рис. 5 и 6). Из иллюстраций легко понять, какие именно методы лежат в основе фрактальности готики. На самом деле эти приемы весьма схожи с теми, что используются в индуистской архитектуре. Например, форма главного портала на рис. 5 повторяется в меньшем масштабе в двух боковых порталах. Еще более мелкие варианты этой формы можно найти в различных арочных окнах или проемах. В некоторых готических зданиях окна разделены на составные части, где витражи с их яркими и красочными узорами придают фасаду еще больше деталей. Сложность готических фасадов еще больше усиливается за счет простого повторения форм. Например, на рис. 5 контуры главного и боковых порталов повторяются внутри и обведены множеством скульптурных фигур. Фрактальная составляющая готических соборов проявляется и в окнах-розах. Они часто содержат похожие на цветы узоры разного размера, а витражи часто еще больше усиливают фрактальность.

Чем привлекает фрактальная архитектура

Возможно, последние примеры фрактальной архитектуры наиболее привлекательны для математиков, поскольку фрактальная составляющая в них четко прослеживается. Эти здания обладают сильной эстетической "притягательностью". Особенно выделяются здания фрактального средневекового типа в городе Брюгге (рис. 8). Множество туристов очарованы готическими зданиями и так и норовят сделать несколько снимков, рискуя быть сбитыми типичными для этих мест конными повозками. Конечно, здесь имеет место взаимодействие различных факторов: люди едут посмотреть на эти памятники еще и потому, что туристическая индустрия считает, что они достойны внимания. Однако математическая, то есть фрактальная, структура зданий тоже играет свою роль.

Как бы странно это ни звучало, есть основания полагать, что мы в некотором смысле настроены на фракталы, а значит, и на фрактальную архитектуру.

Для объяснения эстетической привлекательности фрактальной архитектуры нам придется обратиться к некоторым выводам из области психологии окружающей среды. Люди проявляют положительную эмоциональную привязанность к определенному набору природных элементов и условий, а именно к растительности (деревьям, растениям и цветам). Если быть более конкретным, исследователи обнаружили, что эти элементы (а) вызывают положительную эстетическую реакцию и (б) снижают психологический и физиологический стресс у людей. Утверждается, что эти эмоциональные привязанности "фундаментально заложены" в человеческом мозге, и иногда их формулируют в терминах "биофилии" (буквально "любви к жизни". Они являются пережитками нашей общей человеческой эволюции в восточно-африканских саваннах. Наличие этих врожденных "биофильных" реакций было выгодно, поскольку они мотивировали наших предков исследовать и приближаться к природной среде и содержащимся в ней элементам. Это повышало шансы на выживание: растительность служила источником пищи и могла обеспечить защиту. Люди также чувствуют себя более расслабленными в местах, благоприятных для жизни, поэтому такие места и входящие в них растительные элементы оказывают снижающее стресс воздействие.

В этот момент читатель, интересующийся математикой, может спросить, какое отношение все это имеет к фракталам. Давайте поясним. Фрактальность природы уже достаточно продемонстрирована, и теперь есть основания полагать, что наличие фрактальной геометрии (в некотором смысле) лежит в основе этих биофильных реакций. Грубо говоря, не дерево вызывает эти эмоциональные реакции, а фрактальная математика дерева. Предварительные исследования, подтверждающие эту гипотезу, были проведены Каролиной Хегерхелл и ее коллегами в 2004 году. Они обнаружили, что эмоциональные состояния по отношению к растительным/природным ландшафтам можно предсказать по типичным фрактальным характеристикам (т. е. по фрактальной размерности). Это и другие исследования также показывают, что эстетическая реакция достигает максимума, когда природные условия или фрактальный паттерн, лежащий в их основе, имеют промежуточную фрактальную размерность (около 1,3-1,5). Что еще более удивительно, так это то, что изображения с таким диапазоном фрактальной размерности также снижают стресс у людей. На самом деле, считается, что мозг постоянно оценивает обстановку на предмет ее пригодности для жизни.

Какова же связь с архитектурой? По сути, предыдущий аргумент указывает на то, что в результате эволюции мозг отдает предпочтение фрактальным структурам и чувствует себя расслабленным, когда окружен ими. Это означает, что одна из причин, по которой нам нравятся фракталы в готической и индуистской архитектуре, заключается в том, что они напоминают нам о нашей древней, естественной среде обитания. Поскольку наш мозг не претерпел кардинальных изменений с доисторических времен, эти биофильные реакции все еще работают. Однако в современном мире фрактальные формы (например, деревья), к которым мы так стремимся, все больше вытесняются из нашей нынешней среды обитания и часто заменяются простыми евклидовыми формами. Некоторые ученые утверждают, что это несоответствие может привести к повышенному выбросу гормонов, связанных со стрессом, что в долгосрочной перспективе может иметь пагубные последствия для здоровья человека. При всем этом в данной статье не утверждается, что евклидовы построения изначально неправильны или нездоровы, однако доминирование евклидовых форм может оказаться вредным и, похоже, противоречит некоторым математическим предпочтениям нашего мозга. Так что в следующий раз, когда вы почувствуете стресс после тяжелого рабочего дня, простимулируйте свой мозг фракталами - пусть природными или архитектурными.

Список литературы:

1. АКС, Д. Дж. и Дж. К. Спротт. 1996. Количественная оценка эстетического предпочтения хаотических паттернов. Эмпирические исследования искусств.
2. Андерсон, К.М. и А.Дж. Мэнделл. 1996. Фрактальное время и основы сознания: вертикальная конвергенция 1/f-феноменов от ионных каналов до поведенческих состояний с. 75-126.
3. Бовилл, К. 1996. Фрактальная геометрия в архитектуре и дизайне.
4. Баркл-Элизондо и  Вальдез-Цереда, 2006. Фрактальный анализ мезоамериканских пирамид.
5. Капо, Д. 2004. Фрактальная природа архитектурных ордеров.
6. Кромптон, А. 2002. Фракталы и живописная композиция.
7. Фрактальная геометрия в поздних работах Фрэнка Ллойда Райта. с. 23-38 журнала Нексус.
8. Голдбергер, А.Л. 1996. Фракталы и рождение готики: размышления о биологической основе творчества. Молекулярная психиатрия с. 99-104.
9. Гуллоне, Э. 2000. Гипотеза биофилии и жизнь в XXI веке: рост психического здоровья или рост патологии, с. 293-321.
10. Хэгерхолл С., 2004. Фрактальная размерность контуров ландшафтных силуэтов как предиктор ландшафтных предпочтений.
11. Журнал экологической психологии 24: 247-255.
12. Парсонс, Р. 1991. Потенциальное влияние восприятия окружающей среды на здоровье человека. Журнал экологической психологии
13. Портогези, П. 2000. Природа и архитектура
14. Спехар, Б., и др. 2003. Универсальная эстетика фракталов
15. Триведи, К. 1988. Индуистские храмы: модели фрактальной вселенной
16. Ульрих, Р.С. 1993. Биофилия, биофобия и природные ландшафты, с. 73-137
17. Вайс. Дж.А. . и Р. Тейлор, 2002. Стратегии фрактального дизайна для улучшения рабочей среды, с. 854-859