МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАССЕИВАНИЯ ПРОБОИН И ПОКАЗАТЕЛИ КУЧНОСТИ ПРИ СПОРТИВНОЙ СТРЕЛЬБЕ ПО МИШЕНЯМ. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР

 

АННОТАЦИЯ

В статье приведены математические модели распределений случайных величин, адаптированные для применения в стрелковом спорте. Статья написана для спортсменов, хорошо знакомых со статистическими методами исследований случайных событий. Основные модели приведены без множества деталей и нюансов, которые доступны только специалистам по теории вероятности и математической статистике, но в достаточном, на наш взгляд, объеме для их применения в практике спортивной стрельбы. Для желающих углубиться в эти вопросы даны ссылки на литературные источники.

Статья полезна спортсменам, занимающимся стрелковым спортом, специалистам по оценке распределений величин, используемых в стрелковом спорте, а также всем любителям высокоточной стрельбы из нарезного оружия.

Работа выполнена в интересах спортивного стрелкового сообщества по инициативе и на собственные средства авторов на основе открытых источников информации.

ABSTRACT

The article presents mathematical models of random variable distributions adapted for use in shooting sports. The article is written for athletes who are familiar with statistical methods of random event research, as well as for specialists. The basic models are given without many details and nuances that are available only to specialists in probability theory and mathematical statistics, but they are, in our opinion, sufficient for their application in the practice of sports shooting. References to literary sources are provided for those who wish to delve into these issues.

The article is useful for athletes involved in shooting sports, specialists in evaluating the distributions of quantities used in shooting sports, as well as for all fans of high-precision shooting from rifled weapons.

The work was carried out in the interests of the sports shooting community on the initiative and at the authors' own expense on the basis of open sources of information.

 

Ключевые слова: Теория вероятности, случайные события, законы распределения случайных величин, показатели кучности спортивной винтовки.

Keywords: Probability theory, random events, laws of distribution of random variables, accuracy indicators

 

Применяя показатели кучности к оценке результатов стрельбы по мишеням или делая статистическую обработку данных по начальной скорости пули, разбросу массы и размеров компонентов патрона, стрелки обычно не углубляются в теоретическую основу своих действий. Однако во многих случаях применение методов теории вероятности и математической статистики «вслепую» может быть неэффективно и даже приведет к ошибочным результатам и ложному пониманию полученных результатов. Поэтому для самых продвинутых спортсменов, хорошо знакомых с теорией вероятности и математической статистикой, мы сделали аналитический обзор математических моделей распределений случайных величин, которые лежат в основе показателей кучности, а также методов обработки и моделирования результатов спортивной стрельбы. Практически все эти модели описаны в специальной литературе, но мы их собрали в одном месте и адаптировали для применения в стрелковом спорте, что, на наш взгляд, облегчит усвоение материала. Начнем с терминов и определений.

Координаты точек попадания – место расположения на мишени центров пробоин, записанные в прямоугольных (х, у) или полярных (r, φ) координатах относительно выбранного центра, которым может быть центр мишени, центр прицеливания или средняя точка попаданий.

Кучность – это то, насколько плотно выстрелы по мишени группируются друг к другу в какой-то точке мишени [1, 6]. По сути кучность — это повторяемость точек попадания выстрелов, разброс между ними без привязки к точке прицеливания. Кучность нарезного оружия является важнейшим показателем, определяющим успех как в спортивных соревнованиях, так и на охоте. Полное описание кучности характеризует степень и характер рассеяния точек попадания.

Для описания рассеяния случайных величин существуют разделы математики, названные теорией вероятности и математической статистикой. Введем несколько понятий из теории вероятности.

Событие, которое уже произошло или обязательно произойдет, называется достоверным [3]. После того, как сделан выстрел по мишени, можно быть точно уверенным в некотором исходе: центр пробоины на мишени можно описать координатами по высоте и горизонтали.

Событие, которое может произойти, а может и не произойти, например, попадание пули в мишень радиусом r, называется случайным [3]. Количественной мерой случайного события является вероятность этого события.

До момента выстрела при известном законе распределения точек попадания мы можем говорить только о том, какие координаты каждого попадания в мишень возможны с той или иной вероятностью, потому что мы не можем заранее точно знать, в какую точку мишени попадет конкретная пуля. Однако зная статистические параметры закона распределения уже сделанных выстрелов, можно предсказать вероятностные координаты пробоин, точность и кучность следующих выстрелов.

Вероятность события описывается законом распределения [3]. Закон распределения позволяет компактно описать множество вероятных событий. Без знания закона распределения мы вынуждены были бы описывать каждую точку попадания, создавая большой массив данных, общие закономерности которого были бы скрыты для нас. Законы распределения описывают то, как мы видим вероятность каждого выстрела и расположение пробоин на мишени при многих выстрелах. Аналитическим выражением законов распределения служат функции распределения вероятностей.

Функцией распределения вероятностей случайной величины называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее чем х [3]. Чтобы показать изменение вероятности случайной величины, используют функцию плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины f(x) [3]. Плотность распределения — это производная от функции распределения непрерывной случайной величины:

.                                                                         (1)

Закон распределения может быть также представлен в виде диаграммы частоты событий в зависимости от значения случайного фактора.

Координаты пробоин на мишени являются случайными событиями. Вероятность того, что пуля попадет в круг радиусом r или что размер группы d будет не более заданного, также является результатом случайных событий. Распределение пробоин на мишени (рис. 1) можно описать законом распределения, подобрав соответствующие функции распределения и плотности распределения и рассчитав по экспериментальным данным их параметры распределения, которые и используются в качестве показателей кучности в практике спортивной стрельбы.

 

Рисунок 1. Картина пробоин на мишени. Реальная мишень и смоделированная по ней картина точек попадания

 

Кучность стрельбы достаточно полно можно охарактеризовать законом распределения и его параметрами.

В работе [9] записано, что «при большом количестве выстрелов рассеивание пуль подчиняется определенному закону рассеивания, сущность которого заключается в следующем:

— пробоины располагаются на площади рассеивания неравномерно, наиболее густо группируясь вокруг СТП;

— пробоины располагаются относительно СТП симметрично, так как вероятность отклонения пули в любую сторону от СТП одинакова;

— площадь рассеивания всегда ограничена некоторым пределом и имеет форму эллипса (овала)».

В силу этого закона в целом пробоины располагаются на мишени закономерно. При этом для мишеней больше характерно круговое рассеивание. Это позволяет определить закон рассеивания пробоин, рассчитать его параметры, оценить точность полученных цифр и значит, дать полную характеристику кучности.

Экстремальный размер группы d, средний радиус точек попаданий R_ср и другие показатели кучности, как правило, входят в число параметров, которые описывают закон распределения пробоин на мишени, и мы это покажем ниже. Можно обратить внимание на то, что любой из этих параметров отражает лишь небольшую часть информации о том случайном событии, которое мы называем кучностью винтовки. При известном законе распределения наиболее полно кучность характеризуется такими параметрами распределения, как среднее, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, коэффициент корреляции, интервал нахождения истинного значения средней кучности с заданной доверительной вероятностью и другие. То есть, когда мы приводим значение кучности по выбранному показателю кучности, записанное одним числом, например, экстремальный размер группы d = 0,5 МОА, то мы приводим лишь один из параметров соответствующего распределения, к которому для более полного описания кучности нужно добавить указанные выше. Например, для полного описания кучности нужны исходный массив координат 25 пробоин {x, y}, по 5 пробоин на 5 мишенях относительно выбранного центра отсчета координат, размер пяти отдельных групп d₁-d₅ по пять выстрелов в группе,  координаты СТП каждой группы, средний размер группы D, среднее квадратическое отклонение групп Ϭ_d , доверительный интервал нахождения истинного значения среднего размера группы (D_min– D_max) с доверительной вероятностью p. Тогда мы можем уже с достаточной уверенностью говорить о кучности винтовки и предсказывать вероятный размер ее будущих групп.

Чаще всего для описания рассеяния случайных величин применяют нормальный закон распределения (рис. 2). И не потому, что он самый правильный и больше всего подходит, а в том числе потому, что он является одним из самых изученных из подходящих для описания закономерностей рассеяния случайной величины вокруг среднего значения.  Функция распределения обладает свойством стремиться к нормальному закону, если на нее действует большое число случайных факторов. Поскольку существует много независимых факторов, влияющих на характеристики винтовки и патронов, это может быть идеальным практическим приложением для нормального распределения. Сила нормального распределения заключается в том факте, что мы знаем, как будут распределены данные относительно среднего значения, имея значения только двух величин: среднее и стандартное отклонение.

Математические модели рассеяния в предположении нормального закона распределения одной случайной величины.

Нормальный закон распределения одной случайной величины х описывается двумя параметрами – математическим ожиданием m и стандартным отклонением σ (рис. 2, 3). Используя стандартное отклонение σ, равное 1, 2, 3, удобно определять относительное отклонение от среднего m. Это означает, что, если разброс случайной величины имеет такое распределение, в 68,3% случаев ее значение будет находиться между -1 и +1, в 95,4% случаев между –2 и +2 и в 99,7% случаев между –3 и +3.

 

 

Рисунок. 2.  Вид плотности вероятности нормального закона распределения одной случайной величины

 

Применяя статистические методы к обработке группы случайных величин в предположении нормального закона распределения, например группы скорости пули, мы можем определить статистические оценки математического ожидания m, дисперсии σ² и стандартного отклонения σ по выборке экспериментальных данных по формулам [13]: 

   ,                                                                           

 ,                                                                 (2)

 ,                                                                                  

где x_j – случайные числа, n – количество случайных чисел, X – среднее значение в выборке, σ² - дисперсия, σ – среднеквадратическое отклонение. Подробнее о статистических оценках и их точности будет сказано в статье о применении статистических методов в стрелковом спорте.

Нормальный закон распределения с одной случайной переменной применяется, например, при обработке рассеивания скоростей пули, при оценке распределений массы и размеров гильз, пуль, капсюлей, массы и размеров зерен пороха, размеров патронника и ствола, усилий спуска и ударника, и в некоторых случаях может быть применен при обработке рассеивания кучности винтовки по одной из координат. Функция нормального распределения и плотность нормального распределения имеют вид:

  ;               (3)

 

-
а)	б)

Рисунок 3.  Функция (а) и плотность распределения (б) по нормальному закону

 

Соответствие группы экспериментальных данных нормальному или иному закону распределения проверяется по известным критериям, например, по критерию Пирсона [13]. На рис. 4 в качестве примера приведены диаграмма распределения экспериментальных значений массы пуль, которую можно приближенно описать нормальным законом распределения.

 

Рисунок 4. Диаграмма распределения 100 значений массы пуль

 

В теории нормальный закон распределения предполагает возможность нахождения случайных чисел в интервале от - ∞ до +∞. Образно говоря, в соответствии с таким распределением масса пули может лежать в диапазоне от - ∞ до +∞, а пули могут лететь в любом направлении по отношению к оси ствола от 90 до минус 90 градусов и с любой скоростью от - ∞ до +∞, включая отрицательную. В реальности масса пули не может быть меньше нуля, вероятный угол отклонения пули ограничивается защитными приспособлениями в тире, доступная выборка ограничивается размером мишени, так как мы ничего не знаем о распределении пуль, пролетевших мимо мишени, физически скорость пули никак не может быть меньше нуля и даже меньше определенной величины. В результате на практике мы имеем дело с распределениями, как минимум усеченными положительными значениями физических величин, размером мишени, поведением ствола и предельной ошибкой в прицеливании. В простейших случаях можно усеченный закон распределения пробоин в прямоугольных координатах формировать прямоугольником размером с мишень, а в полярных координатах кругом. В более сложных случаях усечение задается системой неравенств. Однако часто «хвосты» распределения, выходящие за пределы физических ограничений, составляют ничтожно малую часть от всего распределения. Это позволяет упростить задачу, применять нормальный закон распределения без ограничений и не обращать внимания на «нефизические хвосты».

Также на практике мы часто встречаемся с разными группами, являющимися неоднородными распределениями, все элементы которых нельзя отнести к одной статистической группе. Например, пули двух разных партий разной средней массы, группы, получаемые при настройке винтовки при разной навеске и глубине посадки пули, капсюли, имеющие разную массу колпачка и наковаленки и т. д. Нужно хорошо понимать, что неоднородные группы нельзя объединять в одну, иначе мы получим неправильную статистику и будем введены в заблуждение. Проверка на соответствие разных групп одной генеральной совокупности делается с помощью инструмента, который называется дисперсионный анализ. О нем мы также расскажем в следующей статье по статистике.

Математические модели рассеяния в предположении нормального закона распределения двух случайных величин.

Двумерное распределение точек попадания на мишени так же, как и одномерное распределение скорости или кучности, подчиняется определенным закономерностям. Установление этой закономерности позволяет описать это распределение более сжато и на его основе предсказывать вероятные результаты в будущем. В случае с пробоинами на мишени мы имеем дело с двумя случайными величинами, поскольку положение пробоины на плоскости в прямоугольных координатах выражается через две случайные координаты ее центра - (х, у). Каждая точка попадания на мишени может быть представлена ее координатами по горизонтальной х и вертикальной у оси относительно точки прицеливания, центра мишени или СТП. Это позволяет провести математическую обработку пробоин и рассчитать их обобщенные параметры. Поэтому нормальный закон распределения двух случайных величин применяется для описания распределения центров пробоин на мишени и расчета показателей кучности. При оценке только кучности, например, в бенчресте, привязка центров пробоин к началу координат не требуется, измеряется только размер группы или другой показатель кучности, например, средний радиус группы. Но если нужно кроме кучности оценить еще и точность или исследовать дрейф СТП, то без привязки центров пробоин к началу координат (точке прицеливания, ожидаемой точке попадания или СТП) не обойтись. 

Представим, что мы произвели по мишени большое количество выстрелов (рис. 5а) и хотим понять, как они распределены.

Важное предположение, которое мы делаем, заключается в том, что вышеупомянутое рассеивание выстрелов вокруг СТП или точки прицеливания распределено на плоскости каким-то известным образом. Если стрельба происходит в одинаковых условиях и при неизменной точке прицеливания, в большинстве своем мы встречаемся с группами, когда максимальное количество пробоин сосредоточено в окружности вблизи СТП и все реже по мере удаления от нее (рис. 5). В теории стрельбы такое распределение пробоин на мишенях принято описывать двумерным нормальным законом [4, 5]. И опять же не столько потому, что это истина (оставим этот вопрос за бортом нашей статьи), сколько потому, что это распределение из наиболее подходящих для описания распределения пробоин на мишени исследовано наилучшим образом.

 

а)	б)

Рисунок 5. а – Смоделированное двумерное нормальное распределение выстрелов на мишени; б – трехмерное изображение распределения плотности вероятностей точек попадания пуль. Единицы измерения по оси кратны σ

 

Очевидно, что очень затратно определить, будет ли какая-либо винтовка или патрон для этой винтовки иметь истинно двумерное нормальное распределение выстрелов вокруг выборочного СТП. Для этого нужно сделать очень много выстрелов с жестким соблюдением условий. Тем не менее, благодаря множеству наблюдений, считается, что эта модель довольно точно описывает групповые распределения для большинства спортивных винтовок и патронов при стрельбе по мишеням. Таким образом, примем, что двумерное нормальное распределение – простая модель того, как рассредоточены выстрелы на нашей мишени с центром координат, проходящем через выборочную СТП, и будем использовать эту модель распределения в наших дальнейших рассуждениях. Есть, конечно, нюанс, заключающийся в том, что выборочная СТП не будет совпадать с истинным центром рассеивания пробоин на мишени. При ограниченности экспериментальных данных возникают ошибки в определении истинных значений параметров распределения, которые можно оценить с использованием аппарата математической статистики. В этой статье применение статистических методов для оценки доверительных интервалов параметров распределения не рассматривается.

Двумерный нормальный закон может описать картину распределения пробоин на мишени во многих случаях через соответствующие статистические параметры распределения. Чтобы поставить в соответствие этому распределению какие-то конкретные цифры, мы должны уметь рассчитывать его параметры. Формулы для расчета параметров распределения по экспериментальным данным аналогичны приведенным выше (2, 3), но их расчет идет по двум осям с учетом корреляции между ними и добавляется расчет коэффициента корреляции.

Можно считать, что закон распределения пробоин на мишени и все его параметры наиболее полно в компактном виде описывают то, что мы называем кучностью и точностью винтовки. Отдельные параметры распределения представляют лишь какую-то часть описания кучности. На практике мы чаще всего имеем дело с очень ограниченными выборками, по которым сложно установить закон распределения. Из-за ограниченности данных распределения при проверке по критерию Пирсона они часто не противоречат сразу нескольким законам. В этих случаях как правило распределение принимается нормальным, даже если вид на мишени визуально отличается от него.  На рис. 6а представлены результаты стрельбы группами по 3 по разным мишеням (на двух мишенях наложились четвертые загрязняющие выстрелы). Если мы будем пытаться найти закон распределения отдельно по каждой группе из 3 выстрелов, то это будет безнадежная затея. Мы видим и вертикальные, и горизонтальные, и симметричные группы, с высокой и низкой кучностью, создается впечатление, что все они разные. Закономерность распределения пробоин может оформиться только при большом количестве выстрелов. На рис. 6б все группы из рис. 6а объединены в одну большую группу по общей точке прицеливания. С высокой вероятностью можно предположить, что они рассеяны по нормальному закону относительно СТП.

 

    

а)                                                                                    б)

Рисунок  6. (а) 16 групп по 3 выстрела каждая на дистанции 300 метров и (б) объединенные группы на одной мишени (вторая слева во втором ряду) в общем количестве 48 выстрелов

 

Приведем известные формулы нормального закона распределения пробоин на мишени для двумерной математической модели рассеяния в декартовых координатах [3, 4, 5]. Случайные величины (х, у), распределенные по нормальному закону и описывающие случайное распределение центров пробоин на мишени, имеют совместную плотность распределения:

,   (4)

где х, у – случайные координаты центров пробоин, m_x, m_y – математические ожидания случайных величин х, у, σ_х, σ_у – стандартные отклонения,  r_xy – коэффициент корреляции,   f(x, y) – плотность распределения величин х, у. Эта плотность распределения описывает случайные распределения коррелированных величин с разной вертикальной и горизонтальной дисперсией, например, эллипс рассеивания пробоин при одной точке прицеливания и разном боковом ветре, который стремится распределить пробоины по направлению с 10 до 4 часов.

Функция совместного распределения двух случайных величин имеет вид:

  (5)

В геометрической интерпретации совместная двумерная нормальная плотность распределения пробоин на мишени в координатах (х, у) представляет собой поверхность с одним экстремумом (рис. 7а), вершина которого находится над точкой (т_х, т_у) плоскости (х 0 у).  Оси симметрии эллипса, центр которого находится в точке (т_х, т_у), образуют с осью (0  х) углы α и α + π/2 (рис. 7б) определяемые из условия:

                                                 (6)

 где  r_xy – коэффициент корреляции.

 

а)	б)

Рисунок 7. (a) Геометрическая интерпретация двухмерного распределения случайных величин (х, у) и (б) представление их эллипса рассеивания на плоскости (х 0 у)

 

Корреляция – cor (x, y) - мера взаимозависимости между двумя переменными с коэффициентом от -1 до 1, нормализованная версия ковариантности cov (x, y). Формулы для вычисления коэффициентов ковариации и корреляции имеют следующий вид:

                                                                                 

                                                                                  (7)

Иллюстрация возможных корреляционных связей приведена на рис. 8.

 

a)	б)	в)

Рисунок 8. Виды корреляционных зависимостей между случайными величинами без смещения СТП: a) положительная связь; б) связь между параметрами отсутствует; в) отрицательная связь

 

Оси симметрии эллипса (рис. 7б) называются главными осями рассеивания, сам эллипс — эллипсом рассеивания (эллипсом равной плотности), а центр эллипса — точка (m_x, m_y) — центром рассеивания. Аппликата его вершины равна

.                                                               (8)

Эллипс рассеивания в стрельбе встречается не так уж редко, когда по каким-то причинам винтовка разбрасывает пули преимущественно в вертикальном или горизонтальном направлении, или отклонения пуль идут под действием ветра, или когда стреляют по наклонной или горизонтально расположенной цели. То же самое можно сказать о корреляции, которая проявляется наиболее ярко, например, при стрельбе в разный боковой ветер при одной точке прицеливания, когда пробоины преимущественно располагаются на мишени по линии с 10 на 4 часа. Поэтому, перед тем как принимать гипотезу о круговом рассеивании, нужно проверить вертикальную и горизонтальную дисперсии и коэффициент корреляции.

Если координатные оси совпадают с осями симметрии эллипса рассеивания, то уравнение эллипса рассеивания будет иметь простейший (канонический) вид. В соответствии с рис. 7, для приведения уравнения эллипса к каноническому виду достаточно перенести начало координат в точку (т_х, т_у), а координатные оси повернуть на угол α. В преобразованной системе координат (x' 0' y')  система случайных величин (х', у') будет выражаться через исходную систему случайных величин (х, у) формулами:

                                              (9)

  

В новых осях (x' 0' у') каноническая форма нормального закона системы случайных величин (х', у’) имеет вид:

                                            (10)

где  σ'_х и σ_y' называются главными средними квадратическими отклонениями:

                              (11)

        

Найдем вероятность попадания случайной пробоины (х, у) , распределенной по нормальному закону с параметрами т_х = т_у = 0; σ_х; σ_у  в эллипс рассеивания, центр которого совпадает с началом координат, а полуоси а_х и а_у пропорциональны средним квадратическим отклонениям σ_х и σ_у (а_х — к σ_х; а_у — к σ_у) и направлены по координатным осям. Уравнение эллипса В_к будет иметь вид:

                                                                           (12)

Вероятность попадания случайной пробоины (х, у) в эллипс рассеивания будет равна:

 .       (13)

Если случайные величины х и у изначально некоррелированы, а значит независимы (r_ху = 0), при этом вертикальное рассеивание σ_у, например, из-за вертикальной вибрации ствола, будет отличаться от горизонтального σ_х, то плотность вероятности будет иметь вид:

         ,                   (14)

 где: f(х,у) = f(х)∙f(у),  f(х) — нормальный закон распределения случайных величин х с параметрами т_х, σ_x, и f (у) — нормальный закон распределения случайных величин у с параметрами т_у, σ_y.

Вероятность попадания случайной пробоины {X, Y} в какую-либо область G на плоскости (х О у) определяется равенством

                                          (15)

т. е., численно равна объему под поверхностью f (x, у) над этой областью (рис. 9). Если при этом стандартные отклонения (или дисперсии) одинаковы, σ_x = σ_y = σ, то нормальный закон распределения называют круговым с центром в точке (т_х, т_у). Эллипс рассеивания принимает форму круга, что характерно для стрельбы по мишени при одинаковых условиях, и случайные величины остаются независимыми при любом выборе системы декартовых координат, т. е. при любом повороте координатных осей. В круговом рассеивании все направления главные. В этом случае плотность нормального закона распределения имеет вид:

                                   (16)

Вероятность попадания в круг, центр которого совпадает с центром кругового нормального распределения, вычисляется аналитически. Для этого частного случая расчетная формула может быть получена следующим образом. Подставив (16) в (15), получим

                 (17)

где область G— круг радиуса R с центром в точке (т_х, т_у) (рис. 10б).

 

Рисунок 9. Вероятность попадания случайной точки {X, Y} в область G  

 

Перенос начала координат в точку (т_х, т_у) позволяет записать это выражение в виде

                                  (18)

В зависимости от конкретной картины на мишени по соотношению точки прицеливания, средней точки попадания и формы (рис. 10) нормальное распределение может быть преобразовано в другие распределения.

 

Рисунок 11. Различные виды двумерного нормального распределения с отклонениями точки прицеливания и точки попадания [15]. 

 

Для желающих погрузиться в тему глубже есть много источников [8]. Коротко можно сказать следующее. Если координаты пробоин x и y соответствуют двумерному нормальному распределению, радиальная ошибка может соответствовать одному из нескольких распределений, в зависимости от ситуации [15]. Когда центр координат и СТП совпадают, а дисперсии по обоим координатам равны, радиальная ошибка соответствует распределению Рэлея (см. ниже). Распределение Рэлея — это непрерывное распределение вероятностей, используемое для моделирования случайных величин, которые могут принимать только значения, равные или большие нуля.

В свою очередь, распределение Рэлея имеет связь с другими распределениями вероятностей. Когда параметр масштаба (σ) равен 1, распределение Рэлея равно распределению хи-квадрат с 2 степенями свободы. Распределение Рэлея является частным случаем распределения Вейбулла с параметром формы k = 2. Когда центр координат и СТП не совпадают, радиальная ошибка в двумерной некоррелированной нормальной случайной величине с равными отклонениями соответствует распределению Райса, которое является обобщением распределения Рэлея.

Когда центр координат и СТП совпадают, радиальная ошибка двумерной коррелированной нормальной случайной величины с неравными дисперсиями соответствует распределению Накагами или Хойта. Распределение Хойта сводится к распределению Рэлея, если корреляция равна 0 и отклонения равны.

Общий случай имеет место, если центр координат и СТП не совпадают, а точки попадания имеют двумерное коррелированное нормальное распределение с неравными отклонениями.

Таким образом, указанные законы позволяют описать практически все встречающиеся на практике закономерные распределения пробоин на мишени.

С математической точки зрения, в каких исходных координатах представлять пробоины на мишени – это вопрос чисто математических операций, поскольку декартова система координат легко преобразуется в полярную систему координат и наоборот. Мы это покажем ниже. Однако, представляя физическую картину выстрела, мы понимаем, что рассеяние пуль в разных направлениях идет относительно оси ствола. Поэтому привязка центра рассеивания пуль к оси ствола и к средневзвешенной точке попадания пули более естественная, более близкая к физической сути реального процесса, чем представление их рассеивания в прямоугольных координатах. Описание рассеяния точек попадания в таких координатах при одинаковых дисперсиях по осям и совмещенных центрах прицеливания и попадания дает распределение Рэлея.

Математическая модель рассеяния точек попадания на мишени в предположении распределения Рэлея.

Если выборочная статистика однородных пробоин на мишени проявляет себя как нормально распределенная с одинаковыми дисперсиями по осям и нулевым коэффициентом корреляции, то есть, рассеивание по всем направлениям имеет одинаковую частоту, в этом случае ее можно описать распределением Рэлея [12], перейдя от координат (х, у) к вектору r и углу φ (рис. 11). Приняв равномерное распределение параметра направления вектора случайной величины φ, можно перейти к распределению только одного параметра - расстояния r от случайной точки до центра рассеивания. Однако мы должны понимать, что при переходе от нормального закона распределения к распределению Рэлея мы теряем информацию о координатах пробоин на мишени в виде двух величин (х, у) или (r, φ), о расстоянии между пробоинами и экстремальном размере групп, то есть, таким образом теряем возможность расчета показателя экстремального размера групп d через параметры распределения Рэлея. В распределении Рэлея величина r задает отклонение точки попадания от истинного центра попаданий. Отметим, что истинный центр попаданий не совпадает с выборочным СТП из-за ограниченного объема выборки и случайности точек попадания. В отличие от распределения Рэлея, где истинный центр попадания предполагается известным, при стрельбе из реального оружия мы никогда не узнаем истинный центр попадания и вместо него вынуждены всегда использовать центр выборки (СТП), что вносит некоторую ошибку в расчеты.

 

Рисунок 11. Прямоугольная система координат (а) и соответствующая ей полярная система координат (б)

Рисунок 12. Координата случайной точки в прямоугольной (х, у) и полярной (r, φ) системах координат

 

Преобразуем прямоугольные координаты (х, у) в полярные координаты (r, φ) с помощью уравнений связи [12]:

                      (19)

Рассмотрим модель, описывающую закономерность рассеивания пуль по закону Рэлея, зависящего от одного параметра r, который называют промахом. На рис. 13 показаны вид функции и плотности распределения Рэлея при различных значениях параметра σ. Этот параметр (мода) отличается от дисперсии σ в прямоугольной системе координат, что будет показано ниже. Но мы не стали обозначать его другим символом.

 

а)	б)

Рисунок 13. Функция и плотность распределения Рэлея при разных значениях σ; х –расстояние пробоины от центра попадания.

 

Плотность вероятности распределения величины r для закона Рэлея имеет вид:

                                                                (20)

где σ – параметр распределения Рэлея. Функция распределения Рэлея определяется выражением:

                                 (21)

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и медиана определяются через параметр σ формулами:

                             (22)

= 0,655

Средний промах или математическое ожидание M(r) случайной величины r, таким образом, равно 1,253 σ, дисперсия равна 0.429 σ², стандартное отклонение равно 0,655 σ, а медиана равна Ме = 1,177 σ.

В законе Рэлея параметр σ включает квадрат радиуса r_i и его выборочное значение приближенно определяется по формулам [11]:

 ;            ,                             (23)

где N – число выстрелов, r_i – радиус от СТП до центра отверстия. СТП в данном случае определяется как выборочный центр рассеяния. Уточнение расчета параметра σ может быть сделано поправкой с помощью формулы:

 ,

Чтобы найти доверительный интервал (1 − α), в котором находится истинное значение параметра Ϭ, нужно найти границы [a, b], где:

;                ,

тогда параметр Ϭ будет находиться в пределах

 .

Генерация случайных величин распределения Рэлея может производиться следующим образом. Берется случайная величина U, полученная из равномерного распределения в интервале (0, 1), и тогда величина Х, вычисляемая по формуле

 ,

имеет распределение Рэлея с параметром Ϭ. То есть, текущие значения Х получаются путем применения метода выборки с обратным преобразованием.

Наиболее точно параметр σ может быть определен по гистограмме распределения с использованием критерия Пирсона, но для этого нужно достаточно большое количество выстрелов.

Зависимость поправочного коэффициента k от числа выстрелов приведена на рис. 14. Из графика следует, для числа выстрелов более 5 поправка составляет менее 2.5% и в этом случае ей можно пренебречь. 

Расчет среднего радиуса точек попадания R и математического ожидания промаха по формулам  и  при малой выборке естественно будет давать несовпадения, но при увеличении выборки значения R и M (r) будут сходиться к одной цифре.

 

Рисунок 14. Зависимость поправочного коэффициента k от числа выстрелов

 

На рис. 15 вместе с плотностью распределения Рэлея показаны единичный круг рассеивания радиусом σ и круг радиуса КВО, в который попадает половина всех реализаций промаха r.

 

Рисунок 15. Распределение Рэлея. Синий - единичный круг рассеивания радиусом σ, красный - круг радиуса КВО, в который попадает половина всех реализаций промаха r.

 

В законе Рэлея отношение стандартного отклонения к матожиданию является постоянной величиной ε: ε = σ(r)/М(r) = σ_r / m_r = 0,655 σ/1,253 σ = 0,522. Это очень важная константа при оценке точности измерения кучности. При наличии нескольких групп распределение m_r в зависимости от числа выстрелов в группе имеет свой закон со своим средним квадратическим отклонением σ_mr, но пропорции сохраняются, и это важное свойство можно использовать при оценке отклонения показателей кучности от среднего значения, при оценках доверительных интервалов кучности по ограниченному числу данных и при составлении таблиц кучности.

Теперь настал момент связать кучность и распределения случайных величин. Используя параметры распределения Рэлея, мы можем вычислить наиболее полезные показатели кучности винтовки - средний радиус точек попадания (R, MR), круговое вероятное отклонение (КВО, СЕР), радиус охватывающей окружности R₁₀₀, поскольку они сформированы из параметров распределения Рэлея и являются функцией параметра σ. Средний радиус точек попадания R (Mean Radius, MR) примерно равен математическому ожиданию (среднему промаху M(r)) случайной величины r, которое в свою очередь равно M (r) = 1,253 σ. Круговое вероятное отклонение (КВО) – один из показателей кучности, применяемых в профессиональной деятельности [2],  КВО или Circular Error Probable (CEP) по сути является медианой в распределении Рэлея, равной Me =1,177 σ, это радиус круга, в который попадает половина всех случайных точек при круговом нормальном рассеивании. Это также наивероятнейший промах σ, применяемый в системе классификации баллистической кучности [16] и совпадающий с радиусом единичного круга рассеивания σ, вероятность попадания в который равна р = 1 – exp (–0.5) = 0,393.

Почти все показатели кучности, учитывающие информацию обо всех выстрелах, являются функцией от параметра σ в распределении Рэлея, поэтому все они передают одну и ту же базовую информацию.

Экстремальный размер группы d, как и другие показатели кучности, основанные на измерении крайних значений, не является параметром распределения Рэлея и сам имеет другое распределение, которое приведено ниже.

Найдем интеграл (8), перейдя от декартовой системы координат (х, у) к полярным координатам (r, φ), которые логически больше подходят для описания физики процесса выстрела в случае некоррелированных и независимых случайных величин с одинаковыми дисперсиями и нулевыми математическими ожиданиями.

Рассмотрим случайную величину с координатами (х, у), распределенную вокруг начала координат (0, 0) по круговому нормальному закону: т_х = т_у = 0, σ_х = σ_у = σ. Введем в рассмотрение величину r — расстояние от случайной точки (х, у) до центра рассеивания. Вероятность того, что случайная точка (х, у) попадает внутрь круга с радиусом r определяется по формуле (24) при k = r/σ. Перейдя от прямоугольных координат (х, у) к полярным координатам (r, φ), т. е. полагая х = r∙cos φ, у = r∙sin φ и учитывая, что sin² φ + cos² φ = 1, получим вероятность того, что пуля попадет в круг с радиусом r, в центре которого находится точка прицеливания (попадания):

).                                                   (24)

Соответственно, вероятность того, что из n независимых выстрелов хотя бы одна пуля попадет в круг радиусом r будет равна:

                          (25)

Формулы (24–25) определяют вероятность попадания нормально распределенной случайной точки в круг радиуса r, центр которого совмещен с центром кругового нормального распределения. Соответствующая кумулятивная функция распределения дает нам вероятность того, что выстрел попадет в пределах заданного радиуса от центра. Например, мы ожидаем, что 39% выстрелов попадут в круг радиусом σ, 86% - в пределах 2σ и 99% - в пределах 3σ (рис. 16).

С помощью распределения Рэлея можно описать группу пробоин, приведенную на рис. 5а и 6б, поскольку по виду это круговое нормальное распределение, вычислить средний радиус пробоин и другие параметры рассеивания. Вероятность попадания в круг радиусом r удобно вычислять в полярных координатах (r, j) с началом в центре круга (r – промах, j – направление промаха).

 

 

Рисунок 16. Рэлеевское распределение вероятности попадания выстрелов в круг радиусом σ, 2σ и 3σ. Синяя окружность – радиус, соответствующий КВО

 

Обратим внимание, что функции (20, 21, 24, 25) в нашем примере зависят только от параметра k = r²/σ². Поскольку на практике часто наблюдается смещение центра круга (точки прицеливания) от центра рассеивания (СТП), приведем формулы оценки вероятности попадания в круг также и для этого случая.  При круговом рассеивании все направления главные, декартову систему координат можно ориентировать так, чтобы центр рассеивания находился на оси Ox. Тогда параметрами рассеивания декартовых координат (X, Y) будут m_x= –h, m_y=0, s_x=s_y =s, где h– смещение центра круга от центра рассеивания. При смещенном СТП вероятность попадания в круг диаметром r можно определить из формулы плотности распределения промахов, которую можно получить интегрированием совместной плотности по всем возможным значениям:

 (26)

Имеются таблицы функции нецентрального распределения Рэлея с помощью которых вычисляют вероятность попадания в смещенный круг

                          (27)

Если стрельба корректируется, то есть, вероятность попадания следующего выстрела ставится в зависимость от поправки относительно точки попадания предыдущего выстрела, то такие выстрелы нельзя считать независимыми. Поскольку выстрелы станут зависимыми, то формула (26) будет описывать худший случай. Для зависимых выстрелов может быть представлена схема корректировки и соответствующая ей формула оценки вероятности поражения цели (мишени, гонга) радиусом r.

Математическая модель распределения экстремального размера группы d

Функция распределения координат случайных пробоин (x, y) на мишени может подчиняться нормальному закону, однако функция распределения случайных размеров между пробоинами а_i и функция распределения экстремального размера группы d (d=max{а₁…а_p}, где а₁…а_p –расстояния между пробоинами, p – количество расстояний между пробоинами в группе, p  = m∙(m – 1)/2,  m – число пробоин) в этом случае будут иметь другой закон распределения. От вида закона распределения величины d зависят его параметры распределения, интервальные оценки среднего D и оценки разброса случайных значений d_i относительно среднего D.

Случайная величина d является экстремальным размером в группе из всех   возможных размеров между пробоинами. Если исходные пробоины на мишени распределены по нормальному закону, то для этого случая распределения экстремальных размеров групп хорошо изучены.

Наиболее подходящим распределением для экстремального размера d при заданном значении m оказалось обобщенное распределение экстремальных значений (GEV). Плотность распределения экстремальных значений будет равна [11]:

          (28)

и      

 - параметр местоположения,  - параметр масштаба, с – параметр формы. То есть, это распределение зависит от трех параметров.

Для оценки параметров распределения  по выборке нами использовался метод максимального правдоподобия. Для проверки гипотезы о соответствии распределения обобщенному распределению экстремальных значений использовался критерий хи-квадрат. Статистика критерия:

где k –число интервалов группировки,  - наблюдаемые частоты попадания в интервалы,  - ожидаемые частоты попадания в интервалы, вычисленные в предположении GEV распределения, параметры которого оценены по выборке. В предположении, что гипотеза о GEV распределении верна, Х имеет хи-квадрат распределение с k - 1–3 степенями свободы (3 параметра распределения оценивались по выборке). Также вычислены основные характеристики распределения: среднее, дисперсия, стандартное отклонение, медиана, асимметрия, эксцесс, мода.

Закон распределения экстремальных размеров (28) имеет несимметричный вид, поэтому важно оценить степень несимметричности для расчета доверительных интервалов. Исследование вида закона распределения экстремальных значений при разном количестве групп показывает, что с увеличением количества групп он достаточно быстро приближается к нормальному закону (рис. 17).

 

 

Рисунок 17. Вид распределения экстремального размера групп d при различном числе групп

 

Для очень малого числа групп он является несимметричным и для сокращения числа параметров при оценке точности среднего значения можно использовать только его верхнюю оценку.

В GEV распределении отношение параметров местоположения и масштаба близко к постоянной величине, как и в законе распределения Рэлея, и это позволяет использовать ее точное значение при ограниченном числе данных. Отметим, что дисперсия размеров групп вокруг среднего значения d очень большая, что создает проблему практического применения только среднего значения d при прогнозировании результатов стрельбы. Для моделирования возможных значений кучности кроме среднего значения необходимо как минимум использовать стандартное отклонение σ_d.

 

a)	б)

Рисунок 18. (а) - Реальные 14 групп со средней кучностью 0,54 МОА

(б) - Моделирование последовательности экстремальных размеров групп d (n = 100) со средней кучностью 0.54 МОА в интервалах доверительной вероятности 0,8 и 0,9 (штриховые линии).

 

На рис. 18б с помощью генератора случайных чисел с использованием формулы (28) получены 100 размеров групп при средней кучности 0.54 МОА. Для этого моделировалась группа из m двумерных точек . При этом предполагается, что точки двумерного нормального распределения независимы при .

Вычислялась матрица D расстояний между точками

,

Вычислялся максимум расстояния. Для оценки распределения величины max d эксперимент повторялся n раз. По полученной выборке  строились гистограммы распределения.  Для сравнения на рис. 18а приведен экстремальный размер 14 реальных групп.

На рис. 18 видно, что только среднего значения показателя экстремального размера d явно не хватает для описания кучности винтовки. Нужен по крайней мере еще показатель среднего квадратического отклонения Ϭ_d, который приблизительно можно вычислить по формулам для нормального распределения:

           

 где x_j – случайные числа, n – количество случайных чисел, X – среднее значение в выборке, σ²  - дисперсия,   σ – среднеквадратическое отклонение.

Однако надо учитывать, что из-за того, что распределение экстремального размера d несимметрично, относительно среднего «плохих» групп на самом деле будет больше, чем «хороших» (рис. 19а). Более точно параметры распределения экстремального размера групп вычисляются с использованием критерия хи-квадрат.

 

Рисунок 19. а - Диаграммы частоты экстремального размера d реальных 14 групп со средней кучностью 0,54 МОА и б - 20 групп со средней кучностью 0,6 МОА

 

Распределение экстремального размера d, так же, как и распределение Рэлея, обладает удивительным свойством, заключающимся в связи среднего D и среднего квадратического отклонения σ_d, а именно, отношение σ_d/D является постоянным при заданном числе выстрелов в группе, независимо от абсолютного значения D. Это свойство позволяет не вычислять каждый раз параметр σ_d, а просто, зная среднее значение D при заданном числе выстрелов в группе, рассчитывать его, умножая на известный коэффициент вариации, который для числа выстрелов в группе m = 3 примерно равен 0,4, для числа выстрелов в группе m = 5 равен 0,3, для числа выстрелов в группе m = 10 равен 0,2 и т. д.

Формулы (1–28) могут быть использованы для описания и моделирования распределений пробоин на мишени, для обоснования и расчета показателей оценки кучности, оценки вероятности попадания в круг мишени радиусом r при СТП, расположенном в центре мишени или смещенном относительно него, а также для статистического моделирования результатов стрельбы.

Наиболее полно кучность спортивной винтовки может быть описана законом распределения пробоин и всеми его параметрами. При ограниченном объеме экспериментальных данных добавляются еще интервальные оценки.

В ряде случаев для оценки параметров распределения требуется композиция законов распределения или функции распределения случайных аргументов [7, 14]. Скажем о них буквально несколько слов.

Композиции законов распределения.

Есть несколько независимых величин, распределенные по нормальному закону. Например, масса колпачка, масса наковаленки и масса ударного состава в капсюле. Требуется найти закон распределения массы капсюля. Композиция этих законов также подчиняется нормальному закону распределения величины: M = X + Y +Z.

Функции от нормально распределенных аргументов

Пусть дана система случайных величин (Х₁, Х₂,…., Х_n), подчиненная нормальному закону распределения. Случайная величина Y, представляющая линейную функцию этих величин, также подчиняющуюся нормальному закону: Y = ∑a_iX_i + b. Например, случайная величина Y это скорость пули, а аргументы функции масса навески Х₁ и масса пули Х₂.

Использование математических моделей, описывающих закономерности рассеивания координат точек попадания на мишени, позволяет глубже понять теоретические основы картины пробоин на мишени и физический смысл применяемых показателей кучности, обеспечить их осознанный выбор и управление кучностью.

ВЫВОДЫ

1. Дан аналитический обзор математических моделей, адаптированных для описания рассеивания точек попадания на мишени, рассеивания начальной скорости пули и других параметров в спортивной стрельбе.
2. Показаны источники формирования показателей кучности и связь показателей кучности с параметрами статистических распределений.

 

Список литературы:

1. Богословский В.Н., Кадомкин В.В. Метод оценки кучности нарезного гражданского оружия. // Universum: технические науки. - 2022.-№11(104_1). с. 34–46.
2. Богословский В.Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. Показатели кучности спортивной и охотничьей винтовки. Аналитический обзор. // Universum: технические науки. .-№ 4(121_3). С. 29-44
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей; Учебник для вузов. - 6-ое изд. - М.: «Наука», 1999 – 576 с.
4. Двумерный закон распределения случайной величины //Wikipedia [Электронный ресурс] URL www.wikipedia.org . (Дата обращения 14.03.2024).
5. Двухмерное нормальное распределение // Bstudy.net [Электронный ресурс] URL www.bstudy.net. (Дата обращения 14.03.2024).
6. Игорь Жуков. «Идеальный выстрел – это просто!» - Москва. Издание «Издательство книг ком». 2023, 416 с
7. Композиция законов распределения. / [Электронный ресурс] URL https://studfile.net (Дата обращения 14.03.2024).
8. Математическая статистика [Электронный ресурс] URL https://ru.wikipedia.org/wiki (Дата обращения 14.03.2024).
9. Наставление по стрелковому делу. Основы стрельбы из стрелкового оружия. -М.: Военное издательство, 1984–177 с. 11.
10. Нормальное распределение. [Электронный ресурс] URL https://ru.wikipedia.org/wiki (Дата обращения 14.03.2024).
11. Обобщенное распределение экстремальных значений [Электронный ресурс] URL https://wikipedia.ru (Дата обращения 14.03.2024).
12. Связь полярных координат с прямоугольными // Matematicus.ru. [Электронный ресурс] URL www.matematicus.ru . (Дата обращения: 14.03.2024).
13. Статистические оценки параметров генеральной совокупности //Высшая математика для заочников и не только. [Электронный ресурс] URL http://mathprofi.ru/matematicheskaya_statistika.html. (Дата обращения: 14.03.2024).
14. Функция случайных величин. [Электронный ресурс] URL https://studme.org (Дата обращения 14.03.2024).
15. Ballistipedia.com [Электронный ресурс] URL https://ballistipedia.com (Дата обращения 14.03.2024).
16. Ballistic Accuracy Classification [Электронный ресурс] URL https://ballistipedia.com (Дата обращения 14.03.2024).