ВЕРОЯТНОСТНО-СТОИМОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ ИЗМЕНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ И ВОЗМОЖНОСТЕЙ ИХ СИМУЛЬТАННО-ДОСТОВЕРНОГО ДИАГНОСТИРОВАНИЯ

АННОТАЦИЯ

С единых экономических позиций рассматривается возможность оптимизации по стоимостному критерию времени проведения процедуры диагностического обследования состояния технически сложных систем. Приведен алгоритм поиска рациональных соотношений между затратностью и функционально-вероятностными параметрами таких систем. Намечены перспективы развития предлагаемого подхода к вероятностно-экономическому анализу и моделированию кинетики изменений в сложных системах и возможностями идентификации этих изменений в различных сферах жизнедеятельности людей, в частности при скрининговых обследованиях состояния здоровья населения.

Большое число факторов влияния на состояние технически сложных систем и не всегда исчерпывающая функциональная формализация их реакции на природоразличные изменения в уровне внешних воздействий, а также, как правило, частичная неопределённость результирующей совокупности внутренних взаимодействий между структурными элементами таких систем предопределяют необходимость использования аппарата вероятностного моделирования [1-3]. В качестве типового варианта такого вида моделирования рассмотрим принципиальную возможность определения физически рационального времени реализации процедуры информационно-диагностического обеспечения надёжной эксплуатации потенциально опасных технически сложных объектов, например, объектов атомной энергетики.

ABSTRACT

From a single economic point of view, the possibility of optimizing the cost criterion of the time for conducting a diagnostic examination of the condition of technically complex systems is considered. An algorithm for finding rational relationships between the cost and functional probabilistic parameters of such systems is presented. The prospects for the development of the proposed approach to probabilistic and economic analysis and modeling of the kinetics of changes in complex systems and the possibilities of identifying these changes in various spheres of human activity, in particular during screening examinations of the health status of the population, are outlined.

A large number of factors influencing the state of technically complex systems and the not always exhaustive functional formalization of their response to natural changes in the level of external influences, as well as, as a rule, the partial uncertainty of the resulting set of internal interactions between the structural elements of such systems determine the need to use probabilistic modeling apparatus [1-3]. As a typical variant of this type of modeling, we consider the fundamental possibility of determining the physically rational time for the implementation of the procedure for information and diagnostic support for reliable operation of potentially dangerous technically complex facilities, for example, nuclear power facilities.

Ключевые слова: ключевые слова, ключевые слова, ключевые слова, ключевые слова.

Keywords: keywords, keywords, keywords, keywords.

Из рассмотрения функциональных особенностей процесса постепенного увеличения эксплуатационной повреждённости какого-либо объекта, анализа (ОА), например, структурного элемента технически сложной системы и потенциальной результативности операций по диагностике текущего состояния такого ОА следует наличие характерной симультанности (одновременности) двух «взаимонаправленных» тенденций, взаимодействие которых позволяет обосновать наличие рациональной соотносительности между ними.

1. По мере увеличения времени  функционирования ОА растет вероятность возникновения в его структуре протенциально негативной   в эксплуатационном отношении аномалии. Наличие такой аномалии способно нарушить функционирование ОА как единого целого и, как правило, не позволяет осуществить в требуемом объёме полное восстановление его эксплуатационных характеристик. Поэтому вероятность наличия устранимой аномалии  в процессе функционирования ОА будет снижаться, а данные события, т.е. возможность устранения аномалии и отсутствие такой возможности, образуют полную группу событий:

  +                                                                                   (1)

2. При наличии в ОА крайне малой, и поэтому легко устранимой аномалии, т.е. при большой величине  вероятность её обнаружения и, как следствие, осуществления последующих «реабилитационных» мероприятий типа ремонтно-восстановительных работ будет не велика. Это объясняется, как правило,  весьма латентным характером таких исходно незначительных аномалий, т.е. вероятность их обнаружения при диагностическом обследовании  также будет весьма малой. Очевидно, что при снижении , т.е. при возможном формировании достаточно крупной функциональной аномалии в структуре ОА, вероятность её обнаружения будет существенно возрастать. Как следствие, при этом информационно-диагностически обеспечивается высокая достоверность возможности её последующего технологического устранения.

Таким образом, для обеспечения условий успешного устранения потенциально опасной аномалии необходима реализация двух вероятностно-доминантных событий:

• Самого факта появления такой устранимой аномалии с вероятностью . Это обстоятельство является очевидным необходимым условием восстановления функциональности рассматриваемой технически сложной системы.
• Вероятностной достоверности диагностирования  наличия возможной функциональной аномалии в состоянии ОА, что представляет собой достаточное условие для её последующего устранения.

Поэтому, по правилу сложения вероятностей [4] итоговая возможность возникновения аномалии и её обнаружения будет определяться функционально простым соотношением вида:

                                                                        (2)

Очевидно, что в конечном счёте значение  определяет вероятностную эффективность выполнения ремонтно-восстановительных работ, а её вполне возможное максимальное значение означает время формирования вполне устранимой и достаточно надёжно диагностируемой аномалии. Действительно при большом значении  имеет место малая величина   и, как следствие, согласно (2) невелика итоговая вероятность . И наоборот, при весьма малых  велика вероятность обнаружения аномалий , но весьма  сложна процедура их устранения, т.е.  также мало. Поэтому общая вероятностная модель (2) должна характеризоваться физически обусловленным максимумом, количественная оценка которого крайне важна в прикладном отношении:

                                                       (3)

Однако, как показал анализ, на практике необходимо также полномасштабное определение оптимального времени оценки состояния ОА, исходя их технико-экономических соображений. Поэтому обобщённая модель (2) должна быть по-существу трансформирована в соотношение, позволяющее формализовать затратность в стоимостном выражении, которое будет характеризовать взаимодействие основных факторов, ответственных за технико-экономическое качество (ТЭК) рассматриваемого ОА на ключевых этапах его жизненного цикла.  Применительно к взаимообусловленных этапам эксплуатации ОА, его диагностирования и восстановления, в случае необходимости, полной работоспособности, реалистичный вариант такого соотношения, определяющего ТЭК, имеет вид:

                                             (4)

где  – общие затраты на обеспечение функциональности ОА с учётом его текущего состояния, определяемого, как и ранее) уровнем  – значением вероятности наличия устранимой структурно-эксплуатационной аномалии и вероятностью её обнаружения  ;  – функция, которая характеризует затратность восстановления работоспособности  ОА в случае наступления его внеплановой дефункциональности, т.е. при возникновении отказа  и/или ликвидации последствий этого события;  – соответственно функции, характеризующие стоимость процедуры диагностирования с эффективностью   и затратность восстановления работоспособности ОА в случае возникновения устранимой и достаточно полно диагностированной аномалии в его функционировании, которая зависит от величины ;  – затраты, связанные с определённым парированием возникающих ложных срабатываний системы диагностики, т.е. её функциональных отказов  .

Используя известное понятие полноты группы событий [4] общий отказ  системы восстановления функциональности ОА с учетом (2) можно представить в виде:

                                                           (5)

При этом отказ только системы диагностики    определяется как:

  = 1                                                                   (6)

Таким образом, вероятностно-стоимостная модель в виде  соотношения (4) с учётом (2), (5) и (6) по сути представляет собой целевую функцию, позволяющую определить минимум затратности рассматриваемых этапов жизненного цикла ОА, и как следствие – оптимальное время  проведения процедуры диагностирования по определению критерия ТЭК данной системы. Как известно, это время определяется из соотношений:

                                                       (7)

Таким образом, оптимизационный анализ зависимости (2) позволяет конкретизировать физически рациональное время проведения диагностирования по критерию безусловно максимальной вероятности устранения диагностически идентифицированных функциональных аномалий ОА, согласно соотношениям (3).  Более структурно полное соотношение типа (4) в сочетании с (7) обеспечивает численную конкретизацию экономически эффективного времени проведения этой комплексной процедуры. Заметим, что из предположения о доминирующей роли затратности отказов в функционировании ОА, что характерно для целого ряда потенциально опасных технически сложных объектов, в первом приближении физически и экономически оптимальные значения времени диагностирования практически совпадают, т.е. результаты решения (3) и (7) близки между собой.

Рассмотрим достаточно общий, но вполне реалистичный вариант функциональной конкретизации вышепредложенных моделей. Такой подход позволяет с физических и/или экономических позиций анализировать рациональность кинетики изменения соответствующих вероятностных параметров ОА, в частности определять оптимальное время проведения процедуры его диагностирования по определенным информационно-достаточным параметрам, в частности по критерию ТЭК. Для этого сделаем некоторые логически обоснованные допущения и проведем следующие рассуждения.

Пусть в пространстве природоразличных событий, характерных для структурно-сложной системы, вероятность формирования её функционально значимого негативного состояния к моменту времени наблюдения   составляет вероятность наступления этого события - . Причём данная, как правило, латентная оценка определяет принципиальную возможность эффективного устранения этого потенциально опасного состояния, возникающего в процессе функционирования   ОА.

Пусть  означает аналогичную вероятность, но для произвольного промежутка времени (). Тогда по известному правилу сложения вероятностей независимых событий без предыстории [4] будет справедливо соотношение вида:

) =                                                       (8)

где ) – означает вероятность появления к моменту наблюдения  за ОА  принципиально устранимого аномального состояния, т.е. отсутствие аварийно-недопустимого изменения его функциональных параметров. Вполне очевидно, что эта вероятность с течением времени функционирования ОА будет снижаться, в частности по мере роста .

Найдем интенсивность изменения во времени вероятности возникновения устранимого аномального состояния ОА. Для этого про дифференцируем (8) по  и получим:

) =                                                           (9)

Выполнив квазинормировку последней зависимости, т.е. разделив уравнение (9) на исходное соотношение (8) будем иметь:

                                                          (10)

Учитывая свойства логарифмической производной, получим из последнего выражения уравнение вида:

                                             (11)

где:  – постоянная величина, имеющая размерность .

Такая структура (11) объясняется тем, что данное соотношение, исходя из логики выполненных рассуждений, должно быть справедливым при любом значении . Тогда после стандартного интегрирования (11) получим:

                                                        (12)

где:  – постоянная интегрирования.

Очевидно, что при  вероятность  возникновения полностью устраняемой в анализируемой системе аномалии максимальна, т.е. последующая данная подстановка в (12)  позволяет определить  значение:  Кроме того, при   что также полностью соответствует внутренней логике рассуждений, так как при неограниченном увеличении времени наблюдения за ПА вероятность возникновения полностью устраняемой аномалии в функционировании системы будет стремиться к нулю, что означает неизбежное наступление её необратимого отказа.

Таким образом (12) следует представить в виде:

                                                        (13)

Необходимо подчеркнуть, что вероятности отсутствия и наличия устраняемой и неустраняемой аномалии в функционировании анализируемой системы во время наблюдения за ней  фактически образуют полную группу событий, т.е. их суммарная вероятность всегда равна единице. Исходя из этого вероятность возникновения неустранимой функциональной аномалии  в рассматриваемой системе с учетом (13) будет определяться из следующего соотношения:

                                      (14)

где:  – означает вероятность наличия  неустранимой  аномалии (отказа) в функционировании ОА.

Не сложно заметить, что фактически выше представленные соотношения характеризуют известный в теории прикладной надежности закон внезапных отказов [5]. Причём параметр «с» в их структуре означает интенсивность отказов: их среднее количество для представительной совокупности нескольких ОА, отнесённое ко времени наблюдения за ними . Причём логика получения соотношения (14) сущностно во многом идентична выводу базовой экспоненциальной зависимости, характеризующей проявление так называемого «масштабного фактора», как фундаментальной функциональной связи вполне реалистичной вероятностной трансформации количественных показателей состояния системы в возможность формирования в ней количественный изменений [6].

Далее положим, что вероятность необнаружения (Н) аномалии к моменту времени  диагностического наблюдения за ПА составляет , а ко времени , где  – произвольный, временной интервал, эта вероятность будет определяться как:  Тогда, проведя рассуждения, аналогичные  вышеизложенному алгоритму получим:

                                               (15)

где  – вероятность обнаружения диагностирования устранимой аномалии в функционировании ОА;  -  средняя величина обнаружения таких аномалий конкретной системой их диагностирования.

Использование данных экспоненциальных соотношений конкретизирует структуру вспомогательных зависимостей типа (5) и (6), а также фактически является необходимым условием оптимизационно-вероятностного анализа обобщенной модели ТЭК вида (4) по критериальным соотношениям (7).

Таким образом, в рамках принятых допущений, соотношение (13) описывает обобщённо-вероятностную кинетику формирования в структуре ОА устранимых, после их диагностической идентификации, функциональных аномалий, интенсивность возникновения которых составляет: . При этом зависимость (15) функционально описывает экспоненциально-асимптотическое возрастание достоверности идентификации данных аномалий по мере увеличения значимости их физических, технически диагностируемых проявлений.

Заключение

Представленный выше общий подход к вероятностно-стоимостному моделированию затратности этапов функционирования определённых видов ОА и симультанной одновременной диагностики их состояния позволяет наметить пути полномасштабного решения комплекса важных научно-прикладных задач, в первую очередь в сфере обеспечения надежности потенциально-опасных объектов с экономических позиций. Данный подход может быть конкретизирован с использованием сущностно различных, но структурно подобных весьма функционально гибких экспоненциальных моделей, описывающих использование соответствующих вероятностных параметров ОА во время их эксплуатации. Отмеченное обстоятельство даёт возможность оптимизации условий эксплуатации по стоимостным критериям, в частности позволяет при этом определить степень ожидаемого взаимовлияния рассматриваемых функциональных параметров путём использования соответствующих аналитических моделей. Необходимо подчеркнуть, что по мере функционального совершенствования предлагаемого подхода в сфере вероятностно-экономической надёжности сложных технических систем, этот фактически феноменологический подход, после соответствующей сущностной адаптации, может найти целевое использование в других сферах науки и технологиях. В частности, несомненный интерес для лечебно-диагностической медицины будет представлять аналитически полученная оптимизационная модель, описывающая кинетику взаимовлияния вероятности возможного восстановления здоровья пациента при условии постановки ему достоверного диагноза, в первую очередь для обеспечения ремиссии опасных заболеваний.

Кроме того, после соответствующей статистической верификации модели такого типа позволят с экономически-вероятностных позиций определять рациональное время и интервал между скрининговыми обследования населения. Заметим, что аналогичный подход в принципе может быть реализован в маркетологических исследованиях спроса и предложения новой продукции, в политологии и других не технических областях жизнеобеспечения людей, климотологии и т.д., в частности в прикладной экологии.

Таким образом, вероятностно-экономическая формализация как минимум двух доминантных противоречивых тенденций, обусловленных значимым изменением состояния системы и возможностями достоверной идентификации этого изменения, вполне функционально адекватно описываются в рамках единого методического подхода. Причем, варианты конкретизации формализованных взаимосвязей взаимосвязи изменений системы и потенциала их необходимого диагностирования функционального состояния могут составить предмет подробного рассмотрения в рамках тематически соответствующих профильных научно-квалификационных и научно-прикладных исследованиях, выполняемых в самых различных отраслях знаний.

Список литературы:

1. Мятлев В. Д., Панченко Л. А., Ризниченко Г. Ю., Терехин А. Т. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели: учебник для вузов /— 2-е изд., испр. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2024. — 321 с.
2. Пытьев Ю. П. Вероятность, возможность и субъективное моделирование в научных исследованиях. Математические и эмпирические основы, приложения: [монография] - М.: Физматлит, 2018. - 267 с. - Библиогр.: с. 257-267. 
3. Буре В. М., Парилина Е. М., Седаков А. А. Теория вероятностей и вероятностные модели: учебник / — Санкт-Петербург: Лань, 2020. — 296 с. 
4. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов вузов / - 9. изд., стер. - Москва: Высш. шк., 2003. – 478
5. Половко А. М., Гуров С. В.  Основы теории надежности: учеб. пособие для вузов / Половко А. М., Гуров С. В. - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 702 с.
6. Барзов А.А., Денчик А.И., Прохорова М.А., Сысоев Н.Н.  Масштабный фактор (феноменология и физико-технологические приложения). М: МГУ имени М.В. Ломоносова. Физический факультет, 2021. – 194 с.: илл.