СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ МАССЫ ДЕТАЛИ ПО МАССЕ ИЗДЕЛИЯ

АННОТАЦИЯ

 В статье описана методика статистической отбраковки изделий с целью контроля диапазона неизвестной массы детали, входящей в изделие.  Статья полезна специалистам, занимающимся разработкой статистического приемочного контроля.

ABSTRACT

The article describes the method of statistical rejection of products in order to control the range of unknown mass of the part included in the product. The article is useful for specialists involved in the development of statistical acceptance control.

Ключевые слова: масса изделия и масса входящих в него деталей, статистический приемочный контроль, статистические характеристики рассеяния массы изделия и входящих в него деталей.

Keywords: the mass of the product and its parts, statistical acceptance control, statistical characteristics of the dispersion of the mass of the product and its parts.

Представим изделие, которое состоит из двух или больше деталей, при этом масса деталей в каждом изделии до их использования неизвестна, известна лишь общая масса изделия. Масса деталей, кроме одной, становится известна только после использования изделия. Можно определить массу изделия в целом до применения, массу оставшихся деталей после применения и как разницу между ними неизвестную массу расходованной детали. Можно определить массу многих изделий до и после применения и вычислить среднюю массу изделия и оставшихся после применения изделия деталей и по разнице определить среднюю массу расходованной детали. Испытав достаточное количество таких изделий, можно построить функцию распределения массы изделия и входящих в него деталей и определить параметры этого распределения. Зная статистические характеристики рассеивания массы изделия и его деталей, на их основе можно по массе изделия до его применения проводить статистический приемочный контроль неизвестной массы детали. Для этого нужна соответствующая методика контроля.

Таких изделий в инженерной практике встречается достаточно много. Примером может служить капсюль для спортивных и охотничьих патронов, который состоит из колпачка с запрессованым в него ударным составом, мембраны и наковаленки [1]. Прямыми измерениями определить  массу ударного состава до срабатывания капсюля сложно и трудоемко из-за особенностей применяемой технологии, кроме того, это может нарушить его целостность и работоспособность.

Можно определить его массу в сборе до срабатывания, можно определить массу металлических деталей до сборки в заводских условиях или после его срабатывания при использовании потребителями и путем вычета одной массы из другой косвенно определить массу ударного состава. Определив статистические характеристики массы капсюля и массы металлических деталей, а также вычислив по ним статистические характеристики массы ударного состава, можно определить допустимые пределы и организовать статистический приемочный контроль массы ударного состава по общей массе капсюля.

Этот и другие примеры определяют актуальность задачи контроля массы неизвестной детали по массе изделия и статистическим характеристикам остальных деталей. Для обоснования целесообразности и эффективности отбраковки изделий по массе в целях ограничения разброса массы неизвестной детали необходимо подтвердить статистически значимую связь массы изделия с неизвестной массой детали.

Рассмотрим возможную схему отбраковки изделий А по массе с целью ограничения разброса массы детали Y. Учитывая вероятностный характер связи массы изделия и детали, нужно решить задачу: какие пределы А_min – А_max нужно установить на массу изделия А, чтобы масса детали Y находилась в установленных пределах Y_min – Y_max с вероятностью не ниже Р, например, 95%. Задача может формулироваться и по другому, например, как выбрать оптимальное соотношение диапазонов (А_min – А_max)/(Y_min – Y_max) или ∆_А/∆_Y, чтобы по пределам А_min – А_max не забраковать слишком большой процент изделий А, которые на самом деле укладываются в установленный диапазон Y_min – Y_max по массе детали Y, или наоборот не допустить слишком большого процента изделий, в которых масса детали выходит за установленный диапазон. 

Определим статистические параметры изделий в предположении нормального закона распределения их компонентов, что позволяет провести качественный анализ задачи сортировки изделий и сделать необходимые выводы. Запишем систему уравнений, статистически связывающую массы деталей и изделия, и проведем расчеты.

Задача установления статистической связи массы изделия А и детали  Y в принятых допущениях математически формулируется следующим образом. Пусть изделие А состоит из двух деталей Х и Y. Обозначим массу изделия А, массу первой детали Х, искомую массу детали Y.

Примем, что X, Y имеют нормальное распределение:

,

Примем также, что X, Y независимы. Масса изделия A=X+Y имеет нормальное распределение как линейная комбинация нормально распределенных величин X и Y, поэтому математическое ожидание массы изделия М(А) равно сумме математических ожиданий величин Х и Y:

Так как Х и Y независимы, то дисперсия величины А является суммой дисперсий величин X и Y:

, где , ^.

Рассмотрим случай, когда дисперсия массы детали Х не равна нулю: ^.

Найдем для этого случая плотность распределение случайного вектора (Y, A):

^,

 - плотность условного распределения А при фиксированном Y=y^,

^.

Так как X, Y независимы, то ^.

X+y имеет нормальное распределение ^,

^,

Таким образом, плотность распределения случайного вектора (Y, A) равна:

^.

Найдем ковариацию и корреляцию Y и А

^,

^.

Пусть заданы интервал  изменения величины Y и вероятность нахождения величины Y в этом интервале:

.

Вычислим интервал для А вида  , так чтобы выполнялось условие: если , то .

Иными словами,

^. 

 -  функция распределения А, т. е. функция нормального распределения . Для ее вычисления могут быть использованы любые стандартные функции из пакетов статистического анализа.

Преобразуем числитель

F_X – функция распределения величины X, т. е. функция  распределения.

Для вычисления, приведенного выше интеграла может быть использована любая стандартная функция.

В частном случае, если дисперсия величины Х равна нулю, , тогда

^,

^,

A=X+Y ,

, где , ^,

Cor (A,Y)=1.

Если , то с вероятностью 1

А так как ,  ^,

^.

Отсюда следует, что .

Если разброс массы детали Х равен нулю, тогда очевидно, что при ∆_А = ∆_Y = ∆ после сплошной отбраковки изделия А вероятность (Y ≤ Y_min и Y  ≥ Y_max) становится равной нулю и сортировка изделий не требуется.

Таким образом, применение вероятностного метода позволяет решить поставленную задачу отбраковки изделий с целью удержания массы детали в заданном диапазоне с заданной вероятностью. Аналитических решений, удобных для проведения анализа взаимосвязи статистических параметров распределений и допустимых границ массы изделия А и детали Y не существует.

Другой подход к решению подобных задач заключается в применении статистических методов расчетов, когда исходные данные Х и Y формируются случайным образом с помощью генераторов случайных чисел в соответствии с принятыми законами распределения. На основе этих исходных данных формируются параметры распределения изделия. Для исключения необходимости оценки доверительных интервалов и уменьшения статистической неопределенности объем выборки для наших статистических исследований принят равным 10000.

Для проверки корректности расчетов по статистическим и вероятностным методам было выполнено как их сравнение между собой, так и каждого из них с экспериментальными данными. Математическое ожидание, стандартное отклонение и коэффициент корреляции, вычисленные по приведенным выше теоретическим формулам, а также статистическими методами практически совпали с экспериментально полученными данными, что подтверждает правильность теоретических расчетов по обоим методам.

Из представленной выше системы уравнений и результатов статистического моделирования и расчетов следуют все выводы по возможности и эффективности сортировки изделий в зависимости от соотношения контрольных диапазонов [А_min – А_max]/[Y_min – Y_max] или ∆_А/∆_Y, математических ожиданий m_А, m_х, m_Y и стандартных отклонений деталей изделия Ϭ_x и Ϭ_Y. В частности, вывод о том, что целесообразность и эффективность отбраковки изделий по массе с целью удержания массы детали Y в заданном диапазоне зависит от отношения интервала [Y_min - Y_max]/2 к стандартному отклонению массы детали Y или ∆_Y/Ϭ_Y и отношения Ϭ_х/Ϭ_Y стандартного отклонения массы детали Х и детали Y. То есть, смысл отбраковки появляется, когда 1) дисперсия массы детали Y большая в сравнении с контрольным диапазоном ∆_Y и 2) когда дисперсия массы детали Х некритически доминирует над дисперсией массы детали Y. Поясним это логическими рассуждениями.

В случае Ϭ_x = 0 контрольный диапазон ∆_А изменения величины А должен быть равен диапазону ∆_Y изменения величины Y: . Если разброс массы детали Х равен нулю, тогда очевидно, что при ∆_А = ∆_Y = ∆ после сплошной отбраковки изделия А по условиям А ≤ A_min или А ≥ A_max вероятность выхода массы детали Y за установленные пределы Р(Y ≤ Y_min и Y ≥ Y_max) становится равной нулю. При Ϭ_х = 0 распределения массы изделия и детали Y одинаковые и просто сдвинуты относительно друг друга на величину m_х. При одинаковом диапазоне  вероятность выхода величин А и Y за установленные пределы без отбраковки одна и та же, а после отбраковки она и там и там равна нулю. Поэтому, на практике, установив пределы по А со сплошной отбраковкой изделий с массой А ≤ A_min или А ≥ A_max при Ϭ_х намного меньше Ϭ_Y (условно Ϭ_х = 0) мы автоматически решаем задачу невыхода величины Y за установленные пределы Y_min  ≤  Y ≤ Y_max. Но на практике это будет довольно редкий случай.

Если наоборот в другой крайности дисперсия массы детали Y равна нулю, Ϭ_Y = 0, то из представленных выше уравнений следует, что диапазон ∆_А может быть любым. Другими словами, при Ϭ_Y = 0 отбраковки изделий по массе детали Y не требуется при любом разбросе их массы, поскольку он обусловлен только разбросом массы детали Х.

При Ϭ_х ≠ 0 и Ϭ_Y ≠ 0 даже если мы подберем все изделия одинаковой массы, то масса детали Y будет распределена вокруг этого значения с параметром Ϭ_х и возникнет определенная вероятность попадания дефектного изделия в выборку после отбраковки, так же, как и вероятность отбраковки годного изделия. Поэтому для случая Ϭ_х ≠ 0 и Ϭ_Y ≠ 0 введем следующие понятия. Изделие считается формально годным при его сплошном контроле по массе А, если она находится в пределах A_min – A_max и негодным, если А ≤ A_min или А ≥ A_max. Изделие считается фактически годным при его контроле по массе, если заключенная в нем масса детали Y находится в пределах Y_min - Y_max, и негодным, если масса детали Y ≤ Y_min или Y ≥ Y_max. Пределы A_min – A_max на массу изделия будем считать установленными правильно, если после сплошной отбраковки изделий масса детали Y находится в диапазоне [Y_min - Y_max] с вероятностью не менее заданной, например, Р ≥ 0,95.

В строгой постановке задача установления диапазона массы изделий [A_min – A_max] для контроля диапазона [Y_min - Y_max] массы детали Y с вероятностью Р ≥ Р_зад решается численно на основе представленных выше уравнений. Но численное решение также будет не вполне точным, потому что оно исходит из  допущения о нормальном неусеченном распределении всех масс, тогда как на практике мы часто встречаем усеченные снизу и сверху произвольные распределения (рис. 1).

Рисунок 1. Пример частоты распределения изделия по массе (сплошная линия) и ее сглаживание скользящей средней (пунктир)

Поэтому для исследования задачи мы выбрали другой путь – моделирование отбраковки изделий на основе статистических методов и заданных законов распределения с использованием генераторов случайных чисел [2-5].

Опишем решение задачи. Берем изделия, например, 100-250 штук в выборке, или другое количество. Необходимый объем выборки определяется заданной точностью расчета статистических характеристик. По результатам взвешивания определяем их статистические характеристики в предположении нормального N(m_А, Ϭ_А) или любого другого заданного распределения f(A); отбираем представительную выборку от них; после использования изделий по назначению определяем статистические характеристики: массы детали Х - m_х, Ϭ_х или f(Х); определяем по ним статистические характеристики массы детали Y : m_Y, Ϭ_Y или f(Y). Далее генерируем полученные распределения с выборками, например, по 10000, отсеиваем значения за пределами производственного контроля, приводя их в состояние как на рис. 1 (в данном случае это диапазон 231-244) и далее исследуем процесс отбраковки. Нам нужно, зная исходные распределения массы изделий и массы деталей Х в партии изделий, определить границы А_min – А_max отбраковки изделия А по массе, исходя из требования нахождения массы детали Y в границах Y_min – Y_max с заданной вероятностью Р или из других условий. Для этого в программе расчетов применены фильтры, которые при отбраковке удаляют изделия с массой меньше А_min и больше А_max, а также связанные с ними детали Х и Y. Оставшийся массив анализируется в расчетных точках на соответствие требованиям Y_min ≤ Y ≤ Y_max по вероятности не ниже Р = Р_зад (например, Р = 0,95) и с помощью методов численного поиска экстремума [5] находится такой диапазон А_min – А_max в котором выполняется условие Y_min ≤ Y ≤ Y_max  с вероятностью Р.

Когда мы пытаемся отбраковать массу детали Y по массе изделия А, то после отбраковки по производственному диапазону из первичного усеченного распределения возникает новое усеченное распределение массы капсюля А по новому заданному диапазону A_min – A_max, а в отношении детали Y образуются три события: 1) отбракованные по массе изделия А содержат отбракованные по массе детали Y; 2) в отбракованных по массе изделиях А содержится часть отбракованных изделий А, на самом деле годных по массе детали Y; 3) в принятых по массе изделиях А на самом деле содержатся часть изделий А, не соответствующих требованиям  по массе детали Y.

Если Ϭ_х ≠ 0 и Ϭ_Y ≠ 0 то при удалении изделий с массой А ≤  А_min  и А  ≥  А_max определенная часть изделий ошибочно бракуется, т. е., среди удаленных есть часть изделий с массой деталей Y в допустимых пределах [Y_min - Y_max], но с массой изделия вне допустимого диапазона [А_min - А_max]. Определенная часть изделий ошибочно принимается как годные с массой в диапазоне [А_min - А_max], но c массой детали Y , выходящий за разрешенные пределы для детали Y: Y ≤ Y_min или Y ≥ Y_max. Это естественные издержки статистических связей. Если мы не хотим отбраковывать слишком много изделий, то для оценки оптимального диапазона [А_min - А_max] тестируем разные пределы на массу изделия при его сплошной отбраковке. Смотрим, какой процент изделий будет отбракован по массе, при этом смотрим сколько при этом будет отбракованных по массе изделия, но годных по массе детали Y; сколько принятых по массе изделия, но негодных по массе детали Y. Решение о выборе границ диапазона [А_min - А_max] принимаем, исходя из полученных результатов расчета.

По результатам исследований оказалось, что соотношение диапазонов [А_min - А_max] [Y_min - Y_max] или ∆_А/∆_Y, а также величин  m_x/m_Y , Ϭ_х/Ϭ_Y и ∆_Y/Ϭ_Y имеет большое значение для принятия решения по итогам отбраковки изделий. При увеличении диапазона [А_min - А_max] и фиксированном диапазоне [Y_min - Y_max] уменьшается количество обракованных изделий, но растет количество принятых изделий с массой за пределами установленного диапазона, а при уменьшении диапазона [А_min - А_max] уменьшается количество изделий с массой детали Y за пределами установленного диапазона, но при этом растет количество отбракованных изделий. При разных соотношениях ∆_А/∆_Y и значениях m_x, m_Y, Ϭ_х и Ϭ_Y условие невыхода массы детали Y за установленные пределы выполняется разной с вероятностью, с разными долями брака и разной эффективностью отбраковки.

При Ϭ_х ≥ 0 дисперсии массы изделия А и детали Y различаются на величину суммарной дисперсии Ϭ_х массы детали Х. Если масса изделия распределена в диапазоне [А_min - А_max], вероятность выхода величины Y за пределы [Y_min - Y_max] приближенно рассчитывается по приведенным выше формулам или точно в программном комплексе с помощью генераторов случайных чисел путем исключения значений массы изделий А ≤ A_min или А ≥ A_max вместе с компонентами и подсчета оставшихся изделий с массой детали Y ≤ Y_min и Y ≥ Y_max.

Поскольку мы рассматриваем случай с условием Ϭ_х ≥ 0, то при сплошной отбраковке изделий в интервале [А_min - А_max]А_max – А_min мы можем говорить только о какой-то вероятности нахождения массы детали Y в диапазоне [Y_min - Y_max]. При каждом конкретном значении массы изделия А мы имеем вероятные значения массы детали Y, которые распределены относительно значения А пропорционально распределению массы детали Х.  При увеличении Ϭ_х растет процент как ошибочно забракованных, так и ошибочно принятых изделий, а для сохранения постоянной вероятности нахождения массы детали Y в диапазоне [Y_min - Y_max] с увеличением Ϭ_х необходимо сужать диапазон [А_min - А_max], и с какого-то значения отношения Ϭ_х/Ϭ_Y процент отбраковки станет столь высоким, что процедура потеряет смысл.

Нами установлено, что эффективная сортировка изделий имеет смысл при Ϭ_х/Ϭ_Y ≤ 1,6, ее эффективность уменьшается в диапазоне 1,6 ≤ Ϭ_х/Ϭ_Y ≤ 2,5, а при отношении разброса массы деталей  Х и Y больше Ϭ_х/Ϭ_Y ≥ 2,5 сортировка изделий теряет смысл из-за недопустимо большого процента брака и маленького процента изделий, формально считающихся годными. Также установлено, что для большинства случаев отбраковка не актуальна при отношении ∆_Y/ Ϭ_Y ≥ 3.

Для наглядности и облегчения анализа мы моделировали статистические связи массы изделия А и детали Y  с помощью генератора случайных чисел по рассчитанным на основе экспериментальных данных статистическим параметрам и строили диаграммы статистической связи массы изделия А и массы детали  Y, а также карты отбраковки (рис. 2). Они позволяют видеть, в каких пределах изменяется в исследованных партиях масса изделия А и масса детали Y, как они связаны между собой и для каких из исследованных изделий задача их сортировки по массе детали Y решается, а для каких теряет смысл.

Рассмотрим решение задачи сортировки изделий на примере распределения, приведенного на рис. 1. Примем следующие исходные данные:  m_А = 238,  Ϭ_А= 2,46; m_х = 215, Ϭ_х = 1,39;  m_Y = 23,  Ϭ_Y = 2,03, ∆_Y = 2, рабочий диапазон по массе изделий 231-244. Поскольку Ϭ_х/Ϭ_Y ≤ 0,7, то эффективная отбраковка возможна. Определим границы [A_min - A_max] для этого случая, соответствующие границам [Y_min  - Y_max] с вероятностью Р ≥ 0,95.

Графическая иллюстрация решения задачи приведена на рис. 2, где точками на плоскости «масса изделия А – масса детали Y» показаны случайные комбинации массы изделия А и детали Y при формировании исходной выборки (рис. 2a). Каждая из точек соответствует одной из возможных реализаций изделий со своей массой изделия A и детали Y. Сортировка изделий по массе эквивалентна выделению на плоскости «масса изделия А – масса детали Y» прямоугольной области [A_min - A_max] -  [Y_min - Y_max] с заданным диапазоном ограничений по массе изделия. То есть, после отбраковки остаются только изделия, которым на плоскости «масса изделия А – масса детали Y» соответствуют точки в выделенной “вертикальной полосе” [A_min - A_max] со значениями минимальной и максимальной массы изделия. Учитывая, что конечной целью сортировки является получение изделий с заданным диапазоном изменения массы деталей Y, то должна быть выполнена проверка полученных после сортировки значений массы деталей Y в изделиях А. Данная процедура эквивалентна выделению на плоскости «масса изделия А – масса детали Y» прямоугольной области с заданным диапазоном ограничений [Y_min - Y_max] по массе детали Y в оставшихся после отбраковки изделиях. После проведения такой процедуры изделия с необходимой массой детали Y попадают в прямоугольник, выделенный вертикальной полосой [A_min - A_max] = [235 - 241] и горизонтальной полосой [Y_min - Y_max] = [21 - 25] (рис. 2б).

Конечные результаты сортировки изделий с условиями проверки их работоспособности по рассмотренным критериям представлены на карте отбраковки на рис. 2в. При искомом диапазоне массы изделия 235 ≤ A ≤ 241 на карте отбраковки можно видеть 4 вида зон, определяемых перекрестьем диапазонов [A_min - A_max] и [Y_min - Y_max]:

1) синие ромбы – изделия находятся в диапазоне [A_min - A_max] и одновременно отвечают требованиям по массе детали Y, которая также находится в диапазоне [Y_min - Y_max];

2) красные кружки – изделия находятся в пределах диапазона [A_min - A_max], но не отвечают требованиям по массе детали Y;

3) серые треугольники – изделия отбракованы по диапазону [A_min - A_max] , но при этом отвечают требованиям по массе деталей Y;

4) зеленые квадраты – изделия не отвечают требованиям как по массе изделия A, так и по массе деталей Y.

а)

б)

в)

Рисунок 2. Диаграммы статистической связи массы изделия А и массы детали  Y (а, б) и карта отбраковки (в) по диапазону массы изделия 235 ≤ А ≤ 241.

Исследуем закономерности отбраковки изделий на двух группах исходных данных:

1) m_А = 238,  Ϭ_А= 2,46; m_х = 215, Ϭ_х = 1,39;  m_Y = 23,  Ϭ_Y = 2,03, ∆_Y = 2,

(Y_max – Y_min) = 2∆_Y = 4; (A_max – A_min) = 2∆_х  = (2–8);

2) m_А = 354,  Ϭ_А= 2,57; m_х = 318, Ϭ_х = 2,13;  m_Y = 36, Ϭ_Y = 1,43, ∆_Y = 2;

(Y_max – Y_min ) = 2∆_Y  = 4; (A_max – A_min) = 2∆_х  = (2–8).

Эти группы отличаются следующими значениями отношений параметров распределения: в группе 1 отношение Ϭ_х/Ϭ_Y = 0,68, в группе 2 оно соответственно равно Ϭ_х/Ϭ_Y = 1,49, то есть в 2 раза больше, чем в группе 1. Сравним, в чем будет разница между этими группами в параметрах сортировки изделий. 

На рис. 3 приведены зависимости доли брака в исходной партии без сортировки и после сортировки с разными данными для ширины диапазона 2∆_А. В группе 1 исходная доля брака без сортировки составляла 16%, а в группе 2 – 15,5%. По мере сужения диапазона сортировки [A_max – A_min] с 8 до 2 доля брака в первой группе уменьшилась до 5%, а во второй всего лишь до 9%.

а)                                                               б)

Рисунок 3. Доля брака без сортировки (синие линии) и с сортировкой в зависимости от ширины диапазона [A_min - A_max]. а) группа 1, б) группа 2

а)                                                               б)

Рисунок 4. Синяя линия с ромбами – доля годных изделий после сортировки, красная линия с квадратами – доля бракованных изделий после сортировки,  зеленая линия с треугольниками – доля годных капсюлей от первоначальной выборки после сортировки в зависимости от ширины диапазона [A_min - A_max]. а) группа 1, б) группа 2

На рис. 4 представлены данные об изменении доли годных и бракованных изделий в партии для группы 1 (рис. 4а) и для группы 2 (рис. 4б) в зависимости от допустимого диапазона 2∆_А изменения массы изделия. Синяя линия с ромбами – это доля годных изделий после сортировки в отобранных изделиях; красная линия с квадратами – доля бракованных изделий после сортировки в отобранных изделиях (то есть, сумма значений данных для синей и красной линии равна 100% при любого диапазона ∆_А); зеленая линия с треугольниками – доля годных капсюлей от первоначальной выборки после сортировки. До отбраковки в группе 1 мы имеем около 84% годных изделий по массе детали Y, которые вместе с 16% бракованных изделиями дают 100% исходной партии. При установлении диапазона 2∆_А = 8 в первой группе в отбраковку уходит около 10% партии, а оставшиеся 90% изделий считаются принятыми. При этом доля годных изделий в партии после такой сортировки увеличивается до 88%, а доля бракованных изделий снижается до 12% вместо 16%, при этом уменьшается вероятность появления деталей с крайними значениями массы. С уменьшением ширины диапазона отбраковки до 2∆_А = 2 в первой группе доля годных изделий повышается до 95%, но при этом подлежит отбраковке почти 68% начальной партии изделий. Оптимальным может быть диапазон 2∆_А = 4, в котором доля брака в принятых изделиях уменьшается более чем в два раза, при этом обьем отбраковки составляет около 40%.

Для второй группы доля годных изделий в исходной партии без отбраковки составляет 84,5%, а после отбраковки в диапазоне 2∆_А = 2 доля годных изделий повышается всего лишь до 91%. При этом, конечно, вероятность появления в принятых изделиях деталей с крайней массой существенно падает, что может быть важно, но в брак уходит также 70% исходной партии, что вряд ли может быть приемлимо. При 30% потерь доля брака снижается незначительно. В этом состоит разница между выборками с разным соотношением Ϭ_х/Ϭ_Y. А именно, при соотношении Ϭ_х/Ϭ_Y ≤ 0,7 можно найти компромисс между снижением доли брака в принятой годной выборке и потерями изделий в сравнении с исходной выборкой.  Видно, что отбраковка позволяет существенно уменьшить долю изделий в партии не соответствующих диапазону [Y_min - Y_max], хотя при этом и снижается выход годных изделий. Однако чем выше отношение Ϭ_х/Ϭ_Y, тем больше потери в партии при сортировке. При соотношении Ϭ_х/Ϭ_Y ≥ 1,5 сортировка изделий становится малоэффективной, так как приводит к большой доле брака без существенного улучшения структуры принятых изделий, а при Ϭ_х/Ϭ_Y ≥ 2,5 она вообще теряет всякий смысл.

В случае оптимизации границ диапазона массы изделия и вероятности выхода годных изделий при сортировке выход годных изделий в процессе сортировки можно увеличить.

Разработанная методика позволяет установить диапазон [A_min - A_max] отбраковки  по массе изделия А при сплошном контроле в целях удержания массы детали Y в установленном диапазоне [Y_min – Y_max] с вероятностью не менее заданной, Р ≥  Р_зад. Для применения методики на практике необходимо знать статистические характеристики рассеяния Ϭ_х и Ϭ_Y массы детали Х и детали Y, входящих в изделие, и также массы изделия, которые могут быть получены экспериментальным путем.

Выводы

1. Разработана методика и программный комплекс, позволяющие осуществлять статистический контроль неизвестной массы детали Y по массе изделия A при его сплошном контроле.
2. Необходимым условием эффективного контроля является наличие статистической связи массы изделия с массой детали. То есть, в основе методики отбраковки изделий по массе должна лежать статистическая связь разброса массы детали и массы изделия. Эта зависимость должна быть статистически значимой.
3. Установлено, что при отношении стандартных отклонений Ϭ_x и Ϭ_Y деталей Х и Y Ϭ_x/ Ϭ_Y ≤ 1,6 статистический контроль массы детали Y эффективен, при отношении 1,6 ≤ Ϭ_x/ Ϭ_Y ≤ 2,5 эффективность отбраковки изделий падает, поскольку критически увеличивается число ложно отбракованных и ложно принятых изделий, но при этом уменьшается вероятность появления изделий с массой деталей меньше или больше требуемой, при  Ϭ_x/ Ϭ_Y≥ 2,5 отбраковка теряет смысл.
4. Для точного определения границ отбраковки в конкретных случаях нужны эксперименты по установлению статистических параметров распределений и статистической связи между массой изделия А и детали Y.
5. Для наглядности предложены карты отбраковки, позволяющие определить все возможные области вероятного сочетания массы изделия А и детали Y по результатам контроля и соотношения годных и бракованных изделий.
6. Разработанная методика и программный комплекс могут быть использованы для установления контрольных диапазонов по массе изделий с целью статистического контроля неизвестной массы детали. 

Список литературы:

1. Капсюль. Википедия. [Электронный ресурс] URL https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BF%D1%81%D1%8E%D0%BB%D1%8C (Дата обращения: 30.01.2024).
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей; Учебник для вузов. - 6-ое изд. - М.: «Наука», 1999 - 576с.
3. Дроздова И.И., Жилин В.В. Генераторы случайных и псевдослучайных чисел // Технические науки в России и за рубежом: материалы VII Междунар. науч. конф. (г. Москва, ноябрь 2017 г.). — Москва: Буки-Веди, 2017. — С. 13–16. — URL: https://moluch.ru/conf/tech/archive/286/13233. (Дата обращения: 30.01.2024).
4. Кадомкин В.В. Применение численных методов в теории надежности систем защиты: Учебно-методическое пособие / Кадомкин В.В., Журавлев, С.И., Трубиенко О.В. - М.: МИРЭА – Российский технологический уни верситет, 2020 -144с.
5. Слеповичев И.И. Генераторы псевдослучайных чисел //Studylib. [Электронный ресурс] URL https://studylib.ru/doc/6222742/slepovichev-i.i.-generatory-psevdosluchaynyh-chisel-2017-1. (Дата обращения: 30.01.2024).