МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ПРОЦЕССА ПЕЧАТИ НА КРАФТ БУМАГЕ

АННОТАЦИЯ

Данная научная работа посвящена изучению требований к покрытиям крафт бумаги для офсетной печати с использованием вязкой печатной краски. Целью данной работы является изучение крафт бумаги, влияния структуры и пористости покрытия на впитываемость, высыхание и качество печати. Проведение математического планирования эксперимента при исследовании процесса печати на крафт бумаге служит определению режимов, обеспечивающих качество оттисков.

ABSTRACT

This scientific work is devoted to the study of the requirements for kraft paper coatings for offset printing using viscous printing ink. The purpose of this work is to study kraft paper, the influence of the structure and porosity of the coating on absorbency, drying and print quality. Carrying out mathematical planning of an experiment when studying the printing process on kraft paper serves to determine the modes that ensure the quality of prints.

Ключевые слова: бумажная масса, впитываемость бумаги, пористость бумаги, оптическая плотность, математическое моделирование, параметр оптимизации.

Keywords: paper pulp, paper absorbency, paper porosity, optical density, mathematical modeling, optimization parameter.

Введение. Впитываемость бумаги является мерой того, сколько воздуха может пройти через бумагу. Это влияет на то, насколько хорошо бумага впитывает печатную краску и насколько быстро они высыхают. Более пористая бумага быстрее впитывает краску, но и быстрее высыхает. Это может быть полезно, если вы печатаете на высокоскоростном печатной машине, но может быть и недостатком, если вы хотите, чтобы печатная краска высыхали медленно, чтобы у вас было время исправить ошибки. Менее пористая бумага впитывает чернила дольше, но и высыхает медленнее. Это может быть полезно, если вы хотите уделять больше времени работе с красками, но это также может быть и недостатком, если вы печатаете на высокоскоростной печатной машине [1].

Одним из преимуществ высокопористой бумаги является то, что она лучше впитывает печатную краску. Это означает, что краски будут высыхать быстрее и равномернее, в результате чего внешний вид будет более гладким и однородным. Кроме того, высокопористая бумага с меньшей вероятностью будет растекаться или размазываться, что делает ее идеальной для использования в высококачественной печати.

Еще одним преимуществом пористости является то, что она помогает предотвратить растекание красок. Это связано с тем, что поры бумаги действуют как барьер, предотвраща-ющий сильное перемещение чернил. Это может быть полезно при печати на глянцевой бумаге или крафт бумаге с покрытием, которая более склонна к смазыванию и растеканию [2-3].

Экспериментальная часть. Данная научная работа посвящена исследованию параметров крафт бумаги для офсетной печати. Целью работы является изучение крафт бумаге, влияния структуры и пористости покрытия на впитываемость, высыхание и качества печати. В целом, проведение математического планирования эксперимента при исследовании процесса печати на крафт бумаге служит определению режимов, обеспечивающих качества оттисков.

Задача планирования эксперимента состоит в установлении минимально необходимого числа опытов и условий их проведения, в выборе методов математической обработки результатов опытов и в принятии решений. Результаты эксперимента используют для получения математической модели исследуемого процесса, представляемой в виде математических соотношений. При планировании эксперимента под математической моделью часто понимают уравнение (функция отклика), связывающее параметр оптимизации с факторами [4-6].

В общем виде функция отклика, являющаяся и параметром оптимизации ɳ, может быть представлена выражением

где х₁, х₂, …, х_k- независимые переменные факторы.

Наиболее простой математической модельно является полином. Полином линеен относительно неизвестных коэффициентов, это упрощает обработку наблюдений. Полином может быть первой, второй и более высокой степени. Коэффициенты полинома вычисляют по результатам опытов.

Полином первой степени в общем виде выражается уравнением

   (1)

Для двух факторов это уравнение принимает вид

                       (2)

Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют. В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, нижний -1, а основной 0. Кодированное значение фактора х_i определяют по выражению:

,                                                 (3)

где   - натуральное значение i-го фактора;

 - натуральное значение основного уровня i-го фактора;

 - интервал варьирования i-го фактора.

Полный факторный эксперимент предусматривает реализацию всех возможных сочетаний уровней факторов. Если число уровней каждого фактора m, а число факторов k, то число N всех сочетаний уровней факторов, а следовательно, и число опытов в полном факторном эксперименте, определяется выражением

.                                             (4)

При варьировании факторов на двух уровнях возможное количество сочетаний уровней факторов в этом случае равно 2^k.

Факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы планирования, в которой используются кодированные значения факторов. Так, для двух факторов полный факторный эксперимент типа 2^k можно представить матрицей, приведенной в табл. 1.

Таблица 1.

Матрица планирования

Обработку результатов эксперимента при отсутствии дублирования опытов проведем в следующей последовательности [1].

1. Вычисление дисперсии воспроизводимости  эксперимента.

По результатами опытов в центре плана вычисляют  по формуле

(5)

где   n₀ – число параллельных опытов в нулевой точке;

 – значение параметра оптимизации в u-м опыте;

 – среднее арифметические значение параметра оптимизации в n₀ параллельных опытах.

2. Определение коэффициентов модели.

1) Свободный член b₀ вычисляют по формуле

                                          (6)

2) Коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты, вычисляются по выражению

                                     (7)

3) Коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия, определяют по формуле

                                (8)

где   i, l – номера факторов;

j- номер строки или опыта в матрице планирования;

– значение параметра оптимизации в j-м опыте;

 – кодированные значения (±1) факторов i и l в j-м опыте.

3. Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Проверку значимости коэффициентов проведем способом сравнения абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом ∆b_i. Для это вычислим дисперсии коэффициентов регрессии по выражению

,                                       (9)

где   - дисперсия i-го коэффициента регрессии;

N – число строк или опытов в матрице планирования.

Доверительный интервал ∆b_i определяют по формуле

,                               (10)

где   t_T – табличное значение критерия при принятом уровне значимости (при 5% - ном уровне) и числе степеней свободы ʄ, которое определяют по выражению ʄ= n₀-1; n₀ - число параллельных опытов.

Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

4. Определение дисперсии адекватности  по формуле

 ,                   (11)

где   у_j-наблюденное значение параметра оптимизации в j-м опыте;

– значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий j-го опыта;

f - число степеней свободы, которое для линейной модели определяется по выражению f=N-(k+1), k- число факторов.

5. Проверка гипотезы адекватности модели по F-критерию Фишера:

F_p<F_T,                                           (12)

где   F_p- расчетное значение критерия Фишера, определяемое по формуле

 ,                                      (13)

F_T – табличное значение критерия Фишера, зависящее от числа степеней свободы для большей и меньшей дисперсии.

При выполнении условия (12) модель считается адекватной. При F_p>F_T гипотеза адекватности отвергается и переходят к планированию второго порядка или уменьшают интервалы варьирования с постановкой нового эксперимента.

Методом математического планирования эксперимента исследован процесс печати на крафт бумагу. На основе априорной информации были выбраны основные уровни и интервалы варьирования факторов (табл. 2). В качестве параметра оптимизации (у) выбрана оптическая плотность, а независимых факторов (х)- гладкость бумаги и впитывание по ксилолу.

Таблица 2.

Уровни и интервалы варьирования факторов

Результаты экспериментов представлены в табл. 3.

Таблица 3.

Матрица планирования и результаты опытов

Обработку результатов эксперимента проведем в соответствии с последовательностью, рассмотренной выше.

1. Вычислим дисперсию воспроизводимости  эксперимента. Составим вспомогательную таблицу для расчета  (табл.4).

Таблица 4.

Вспомогательная таблица для расчета

Дисперсия параметра оптимизации

2. Определение коэффициентов модели по формулам (6), (7) и (8):

b₀=1,3275; b₁=0,1225; b₂=0,1025; b₁₂=0,375

С учетом полученных значений коэффициентов модели уравнение регрессии принимает вид

У= 1,3275+0,12225х₁+0,1025 х₂+0,0375 х₁х₂           (14)

3. Проверка статической значимости коэффициентов уравнения регрессии по формулам (9) и (10):

S{b_i}= 0,0153 – средняя квадратичная ошибка в определении коэффициентов регрессии.

Табличное значение критерия t_т=4,3 при 5% -ном уровне значимости и числе степеней свободы f=n₀-1=3-1=2, где n₀= 3- число параллельных опытов.

Доверительный интервал ∆b_i равен

.

Сравнив абсолютные значения коэффициентов уравнения регрессии (14) с доверительным интервалом ∆b_i, получим

        ;          

Тогда уравнение регрессии примет окончательный вид

y=1,3275+0,1225х₁+0,1025х₂                    (15)

4. Определение дисперсии адекватности  модели.

Для вычисления дисперсии адекватности составим вспомогательную табл.5.

Таблица 5.

Вспомогательная таблица для расчета

=0,0004

Дисперсию адекватности  рассчитаем по формуле (14)

5. Проверка гипотезы адекватности модели по F-критерию Фишера.

Расчетное значение критерия Фишера

Табличное значение F_т- критерия Фишера при 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя 1 и знаменателя 2 равно 18,5 [1], следовательно, F_р<F_т. Поэтому данная математическая модель адекватна.

Наиболее наглядно результаты полного факторного эксперимента можно изобразить в трехмерном пространстве (рис.1). Здесь по двум осям отложены значения факторов х₁ и х₂, а по третьей – значения параметра оптимизации ŷ.

Рисунок 1 Графическое изображение результатов полнофакторного эксперимента 2² в трехмерном пространстве

Выводы. Условия опытов задаются комбинациями уровней х₁ и х₂ (точки 1, 3, 4, и 2), а результаты (ŷ₁ŷ₃, ŷ₄ и ŷ₂) отложены параллельно оси у. Точки О соответствует центру эксперимента и является началом координат кодированной системы. Контур ŷ₁ отсекает часть поверхности отклика, которая была исследована в пределах интервалов варьирования факторов.

В ходе анализа графического представления эксперимента установлено, что рациональными значениями факторов х₁ и х₂ являются соответственно гладкость бумаги =180 (с) и впитывание по ксилолу = 24 (с), которые обеспечивают наибольшую оптическую плотность в заданном диапазоне изменения факторов.

Список литературы:

1. Eshbaeva U.J. Ofset paper with the introduction of synthetic polymers and its printing and technical properties: Doctor. Dissertation work − Tashkent: -TIТLI. −2017. −p.234.
2. Ешбаева У.Ж., Джалилов А.А., Рафиков А.С. Бумага из текстильных отходов. Монография. LAP LAMBERT Academic Publishing. Düsseldorf. Germany. −2018. −С.130.
3. Eshbaeva U.J., Jalilov A.A., Rafikov A.S. Paper with the introduction of synthetic polymers. Monograph. −Т.: Kamalak. −2018. −pp.208.
4. Спиридонов А.А. Планирование эксперимента при исследовании технологических процессов. – М.: Машиностроение, 1981. – 184 с.
5. Eshbaeva U.J., Jalilov A.A., Development of Technology for Producing Multilayer Paper and Cardboard Containing Synthetic Fibers // “NVEO – Natural Volatiles & Essential Oils”. -2021, Vol. 5, -P. 10637-10644.
6. У.Ж. Ешбаева. А.А. Джалилов, Ф. Тураев. Бумага с введенеием химических волокон. Монография. -Ташкент. -ИПАК “Шарк”. -2022. -С. 102.