РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАВИСИМОСТИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ И ПОРИСТОСТИ ВЫДУБЛЕННОЙ КОЖИ МЕТОДОМ ПОЛНОФАКТОРНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

АННОТАЦИЯ

В настоящей работе исследованы пористость и твердость кожи для верха обуви и создана математическая модель процесса дубления кожи. При этом применен метод математического планирования полнофакторного эксперимента, составлена матрица планирования трехфакторного эксперимента и проведены экспериментальные работы. Результаты экспериментальных исследований обрабатывались методом математической статистики, проверена достоверность и адекватность полученных результатов. В качестве функции отклика были взяты пористость и твердость кож. Полученная математическая модель отражает зависимости формирования пористости, твердости кож от технологических параметров.

ABSTRACT

In the following work, the cellular and hardness of the leather for the upper of shoes have been investigated and a mathematical model of the leather tanning process has been created. At the same time, the method of mathematical planning of a full-factorial experiment was applied, a planning matrix for a three-factorial experiment was compiled, and experimental work was carried out. The results of experimental studies were processed by the method of mathematical statistics, the reliability and adequacy of the results obtained were verified. The porosity and hardness of the skins were taken as the response function. The cellural mathematical model reflects the dependence of the formation of cellural, leather hardness on technological parameters.

Ключевые слова: кожа для верха обуви, дубление, концентрация, обработка, математическая модель, адекватность, параметры, факторы.

Keywords: leather for shoe uppers, tanning, concentration, processing, mathematical model, adequacy, parameters, factors.

Введение. К коже для верха обуви предъявляют высокие требования механической прочности и гигиеничности. Эти два качества в большой степени зависят от плотности, пористости (удельной и общей), структурного строения дермы [1]. Для кож, как и для других материалов стандартизована номенклатура показателей качества. Эти показатели делятся на общие и специализированные показатели качества кож. Механическая прочность кожи в качестве предела прочности кожи при растяжении и удлинения при напряжении 10 МПа относится к общим показателям качества.

Изучение вопроса влияния пористости на механическую прочность кож для верха обуви позволяет научно обоснованно подходить к вопросам разработки новых технологий получения кож для верха обуви и дает основание для технологов кожевенного производства при целенаправленном формировании качества готовых кож. Метод математического моделирования эксперимента в настоящее время находит широкое применение при планировании экспериментов в кожевенной технологии [2, с.24], [3, c.62].

С целью изучения зависимости пористости кожи для верха обуви и её механической прочности от характеристик процесса дубления нами была разработана математическая модель физического процесса методом полнофакторного планирования эксперимента.

Объекты и методы исследования. Для экспериментальных работ были выбраны шкуры овец площадью 40-60 кв.дм в количестве восьми штук после процесса пикелевания. Методом чередующихся половинок и «Отбора проб» IUC 2 были подготовлены образцы для проведения эксперимента.

Полученные экспериментальные данные были обработаны методами математической статистики. Для контроля протекания процесса дубления и определения показателей качества как пористость, твердость были использованы методы принятые IULTCS [4-6].

Результаты и обсуждение. При планировании и проведении экспериментальных работ основным вопросом был вопрос о том, когда, на каком технологическом процессе или на какой стадии кожевенной технологии в основном формируются пористость и механическая прочность кожи? Изучение известных научных работ и взглядов позволило выбрать в качестве технологического процесса, где в целом формируется пористость кожи–процесс дубления. Показатели пористости сырья, голья и выдубленной и готовой кожи однозначно подтверждают это утверждение [7, c.43. ]-[8, c.96 ].

Экспериментальные исследования были проведены в Ташкентском институте текстильной и легкой промышленности на кафедре «Технология и конструирование изделий из кожи» и в производственно-экспериментальной лаборатории компании «ANGREN CHARM INVEST»[9].

Образцы голья овчины после процесса пикелевания были подвергнуты хромовому дублению в лабораторных барабанах на специальной установке. Технологические характеристики процесса дубления приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Технологические параметры процесса дубления кож

При планировании эксперимента под математической моделью часто понимают уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами, и определяющее как функция отклика [10, c.159], [11, c.5]. Решение экспериментальной задачи предусматривает получение функции отклика и нахождение с помощью ее оптимальных условий протекание процесса или явления. В общем виде функция отклика, являющаяся и параметром оптимизации у, может быть представлена выражением

у = f (х₁, х₂, … х_k),                                                                                       (1)

где  х₁, х₂, … х_k – независимые переменные факторы.

Вид функции отклика (1) принимают как математическую модель. Выбор модели зависит от задачи исследования и от предъявляемых требований к модели. Наиболее простой моделью является полином. Полином линеен относительно неизвестных коэффициентов, что упрощает обработку наблюдений. Полином может быть первой и более высокой степени. Коэффициенты полинома вычисляют по результатам опытов.

На первом этапе планирования – определении направления движения к оптимуму и крутого восхождения по поверхности отклика – наиболее целесообразно неизвестную функцию отклика аппроксимировать полиномом первой степени. Полином первой степени имеет минимальное число коэффициентов при данном числе факторов и содержит необходимую информацию о направлении градиента.

Полином первой степени в общем виде выражается уравнением

у =b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_kx_k+b₁₂x₁x₂+b₁₃x₁x₃+…+b_12…kx₁x₂…x_k                                                (2)

Для трех факторов это уравнение имеет вид

у =b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₁₂x₁x₂+b₁₃x₁x₃+b₂₃x₂x₃+b₁₂₃x₁x₂x₃.                                                (3)

Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют. В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, нижний -1, а основной 0.

Кодированное значение х_i определяют по выражение

                                                                                             (4)

где - натуральное значение i – го фактора;

 - натуральное значение основного уровня i – го фактора;

ε_i – интервал варьирования i – го фактора.

Если число уровней каждого фактора m, а число факторов k, то число N всех сочетаний уровней факторов, а следовательно, и число опытов в полном фактором эксперименте, определяется выражением

           N=m^k.                                                                                             (5)

Для разработки математической модели зависимости механической прочности и пористости выдубленной коже от ряда факторов проведен полнофакторный эксперимент. В качестве параметра оптимизации приняты:

у₁ – механическая твердость, ( в ед.Шора); у₂ – пористость ( в %)

В качестве факторов (независимых переменных) выбраны:

х₁ – температура дубящего раствора, ^оС;

х₂ – концентрация хромового дубителя, %;

х₃ – продолжительность дубления, мин.

Уровни и интервалы варьирования факторов представлены в табл. 2. Каждая строка матрицы (табл.2) – это условия опыта. Для исключения систематических ошибок рекомендуется опыты, предусмотренные матрицей, проводить в случайной последовательности (по таблице случайных чисел):

Номер опыта в матрице         … 1 2 3 4 5 6 7 8

Порядок реализации опытов … 7 2 8 3 1 4 5 6

Для компенсации влияния случайных погрешностей каждый опыт повторяли n = 3 раз (параллельные опыты). Такой вариант дублирования опытов относится к равномерному, при котором все строки матрицы планирования имеют одинаковое число параллельных опытов. Эксперимент отличается повышенной точностью, а математическая обработка экспериментальных данных – простотой. Рассмотрим методику обработки результатов эксперимента для данного варианта дублирования опытов.

1. Параметры оптимизациу у₁ (показатель механической твердости)

1) Для каждой строки матрицы планирования по результатом п параллельных опытов находят - среднее арифметическое значение параметра оптимизации:

                                                                                   (6)

где  и – номер параллельного опыта;

y_ju – значение параметра оптимизации в и-м параллельном опыте j-й строки матрицы.

2) Вычисление дисперсии  опыта по данным n параллельных опытов:

Таблица 2.

Уровни и интервалы варьирования факторов

Таблица 3.

Матрица планирования и результаты опытов

                                                                                      (7)

а ошибка s_j опыта определяется как корень квадратный из дисперсии опыта

                                                                                    (8)

значения дисперсии опыта и данные для ее расчета показаны в табл. 3.

3) Проверка однородности ряда дисперсий с помощью G-критерия Кохрена:

                                                              (9)

При 5%-ном уровне значимости (N=8, n-1=3-1=2) табличное значение критерия G_т [1] равно 0,5157. Так как G_р<G_т, то дисперсии однородны.

4) Дисперсия  воспроизводимости эксперимента:

;                                         (10)

где  N – число опытов или строк матрицы планирования.

5) Определение коэффициентов модели

а) свободный член b₀

    b₀ = 636,75.                                                                                (11)

б) коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты

               b₁ = 26,75; b₂ = -7,5; b₃ =-26,75.                                                       (12)

Таблица 4.

Вспомогательная таблица для расчета дисперсии  параметра оптимизации у₁ при равномерном дублировании опытов

в) коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия

                                                                            (13)

где  i, l – номера факторов;

х_ij, x_lj – кодированные значения факторов i и l в j-ом опыте.

 b₁₂ = 26,75; b₁₃ = 23,25; b₂₃ =-11,75; b₁₂₃ = 23,25.

6) Проверка значимости коэффициентов модели.

Данную проверку произведем способом сравнения абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом.

Предварительно вычислим дисперсию коэффициентов регрессии

;   ;     (14)

Доверительный интервал Δb_i находят по формуле

                                                                                     (15)

где  t_т – табличное значение критерия при принятом уровне значимости и числе степеней свободы f, с которым определялась дисперсия ; при равномерном дублировании опытов число степеней свободы находится по выражению

f = (n-1)N=(3-1)·8=16

 - ошибка в определенииi-го коэффициента регрессии.

Для числа f =16 при 5%-ном уровне значимости t_т = 2,12.

Поэтому имеем

Δb_i = ±2,12·0,9816=±2,081

Все значения коэффициентов модели по модулю больше доверительного интервала, следовательно, они значимы. Таким образом, уравнение регрессии принимает вид

у₁ = 636,75+26,75х₁-7,5х₂-26,75х₃+26,75х₁х₂+

+23,25х₁х₃-11,75х₂х₃+23,25х₁х₂х₃.                                                                     (16)

7) Определение дисперсии адекватности (табл.4) по формуле:

                                                                        (17)

где  - среднее арифметическое значение параметра оптимизации в j-м опыте;

- значения параметра оптимизации вычисленное по модели для условий j-го опыта;

f – число степеней свободы, равное N-(k+1);

k – число факторов.

8) Проверка гипотезы адекватности полученной модели по F-критерию Фишера

                                                             (18)

Табличное значение F-критерия Фишера при 5%-нем уровне значимости и числах степеней свободы для числителя f₁=N-(k-1)=8-(3+1)=4 и для знаменателя f₂=(n-1)·N=(3-1)·8=16 табличное значения критерия F_т=3,0 [1]. Так как F_р<F_т, то модель адекватна.

Таблица 5.

Вспомогательная таблица для расчета дисперсии  адекватности модели (параметр оптимизации у₁)

2. Параметр оптимизации у₂ (показатель пористости)

1) Среднее арифметическое значение параметра оптимизации, вычисленное по формуле (6), даны в табл.2.

2) Дисперсия  опыта, рассчитанная по (7), представлена в табл. 5.

Таблица 5.

Вспомогательная таблица для расчета дисперсии  параметра оптимизации у₂ при равномерном дублировании опытов

3) Проверка однородности ряда дисперсий (9):

;     G_т = 0,5157;            G_р < G_т

4) Дисперсия  воспроизводимости эксперимента (10):

5)Определение коэффициентов модели (11), (12) и (13)

b₀ = 72,57; b₁ = 1,1275; b₂ = 0,285; b₃ = -1,3225;

b₁₂ = 1,255; b₁₃ = 1,2513; b₂₃ = 0,8275; b₁₂₃ = 0,735;

6) Проверка значимости коэффициентов модели.

Доверительный интервал          

Кроме коэффициента  все коэффициенты модели значимы. Поэтому уравнение регрессии принимает вид

у₂ = 72,57+1,1275х₁-1,3225х₃+1,255х₁х₂+

+1,2513х₁х₃+0,8275х₂х₃+0,735х₁х₂х₃.                                                   (19)

7) Определение дисперсии адекватности (17).

Расчетные данные представлены в табл. 6.   

8) Проверка гипотезы адекватности полученной модели по F-критерию Фишера

;  F_т=3,0; F_р<F_т.

Следовательно, модель адекватна.

Таблица 6.

Вспомогательная таблица для расчета дисперсии  адекватности модели (параметр у₂)

у₁ = 636,75+26,75х₁-7,5х₂-26,75х₃+26,75х₁х₂+

+23,25х₁х₃-11,75х₂х₃+23,25х₁х₂х₃.

Полученное математическое описание процесса дубления и формирования в нем твердости кож показывает, что увеличение твердости кож наблюдается при повышении температуры обрабатывающей жидкости и уменьшении концентрации дубителя и продолжительности дубления, кроме этого на твердость кож также прямо пропорционально влияют взаимодействие температуры обрабатывающей жидкости и концентрации дубителя, температура обрабатывающей жидкости и продолжительности процесса, а также взаимодействие всех факторов процесса. Концентрация дубителя и продолжительность, как в отдельности, так и во взаимодействии уменьшают твердость кожи.

у₂ = 72,57+1,1275х₁-1,3225х₃+1,255х₁х₂++1,2513х₁х₃+0,8275х₂х₃+0,735х₁х₂х₃

Процесс формирования показателя пористости кож при дублении также нами был описан математически и изучение этого уравнения показывает, что концентрация дубителя не сказывается на пористости кожи, температура обрабатывающей жидкости и ее парное взаимодействие, а также общее взаимодействие всех характеристик процесса позволяют повысит показатель пористости кож, при этом лишь продолжительность процесса незначительно уменьшает пористость кожи.

Выводы. Таким образом, проведенные экспериментальные работы по математическому моделированию процесса дубления кож для верха обуви позволили получить уравнение регрессии технологического процесса дубления, где функциями отклика были приняты механическая твердость и пористость кожи. Проверка полученных моделей по критерию Фишера показала их адекватность. Математическое описание имеет сложный характер и оно показывает, что все принятые факторы участвуют в формировании твердости и пористости кож для верха обуви в той или иной степени. Полученные модели позволяют применение их при прогнозировании свойств и оценки качества кож.

Список литературы:

1. Химия и технология кожи и меха: теоретические основы: учебное пособие для вузов / А. Островская, Г. Г. Лутфуллина, И. Ш. Абдуллин. - 2-е изд., пер. и доп. - Москва: Юрайт, 2022. - 162 с.
2. Ж. Ф. Улугмуратов, А. C. Кенжаев, Х. Х. Бегалиев, И. Г. Шин. Математическая модель процесса обезжирования при обработке шкур страуса /Известия высших учебных заведений.Технология легкой промышленности. №1 (55), 2022 г. с. 24-29.
3. Шин Д.И. Математическое планирование эксперимента при исследовании деформационно-прочностных свойств натуральной одежной кожи/Проблемы текстиля-Ташкент, 2010 №1. c.62-68.
4. The IULTCS Official Methods of Analysis., 2005 Societie of leather and Chemists, Northampton, U.K.
5. ISO 2418:2017. Место отбора проб.
6. ISO 868. Plastics and ebonite. Determination of indentation hardness by means of a durometer (Shore hardness). 
7. А.Е.Зельдин, У.Ф.Кондратьков, К.М.Зурабян, В.А.Кутьин. Исследование пористости кожи. Известия высших учебных заведений. Технология легкой промышленности. 1973 г, №3 с.43-46
8. В.Д.Раднаева, Н.В.Советкин. Новые технологии кожи, меха и формирование объема дермы. Вестник технического университета, 2016.Т.19, №18.с.96-100.
9. ANGREN CHARM Интернет-ресурс компании Ангрен Чарм Инвест. URL: www.angrencharm.uz
10. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии: Учеб. Пособие для хим.-технол. спец, вузов.- 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш. шк.,1983. -327 с.
11. Спириданов А. А. Планирование эксперимента при исследовании технологических процессов. - М.: Машиностроение, 1981. - 184 с.