ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК С ПРИМЕНЕНИЕМ ПОДСИСТЕМ AutoCAD

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается актуальная задача геометрического моделирования поверхностей, в которой является проблема аналитического описания оболочек покрытий и зданий сооружений по заданным линиям контура и удовлетворяющие наперед заданных условий. Решение таких задач способствует значительному сокращению объема при автоматизированном проектировании в подсистемах AutoCAD и повышает точность изготовления поверхностей в связи сейсмостойкости с гидро-аэродинамическими и эстетическими требованиями. Кроме того, сокращается срок подготовки производства, появляются оптимальные возможности использования современных компьютерных технологий. В статье рассматриваются вопросы создания и ранее не исследованных способов образования и преобразования геометрических объектов в частности, строительных зданий и сооружений в Eⁿ пространстве. Предлагаемый способ является обобщением таких широко используемых способов конструирования поверхностей, как каркасно- кинематический способ зависимых сечений и др. в многомерном пространстве.

ABSTRACT

The article deals with the actual problem of geometric modeling of surfaces, which is the problem of the analytical description of the shells of coatings and buildings of structures along the given contour lines and satisfying predetermined conditions. The solution of such problems contributes to a significant reduction in the volume of computer-aided design in AutoCAD subsystems and increases the accuracy of surface manufacturing due to seismic resistance with hydro-aerodynamic and aesthetic requirements. In addition, the preparation time for production is reduced, and optimal opportunities for using modern computer technologies appear. The article deals with the creation and previously unexplored methods of formation and transformation of geometric objects, in particular, building buildings and structures in En space. The proposed method is a generalization of such widely used surface design methods as the frame-kinematic method of dependent sections, etc. in multidimensional space.

Ключевые слова: геометрическое моделирование, п-мерного пространство, параметры положения, переменные параметры поверхности, направляющий, производящий, криволинейные координаты, параметры формы, компьютерная графика, инженерная геометрия, подвижная и неподвижная системы координат.

Keywords: geometric modeling, n-dimensional space, position parameters, variable surface parameters, guiding, generating, curvilinear coordinates, shape parameters, computer graphics, engineering geometry, moving and fixed coordinate systems.

Одним из основных научно-исследовательских направлений в развитии начертательной геометрии и компьютерной графики, в том числе САПР являются автоматическое геометрическое моделирование сложных поверхностей оболочек покрытий и сооружений. Проблема надежности строительных сооружений оболочек покрытый при одновременном снижении их материальности, а следовательно и стоимости, тесно связана с оценкой их несущей способности. Вопросы устойчивости и надежности зданий (оболочек покрытий) и сооружений приобретают особые значение при строительстве в районах с повышенной сейсмостойкостью в частности в республиках средней Азии.

Актуальной задачей геометрического моделирования поверхностей является проблема аналитического описания оболочек покрытий и зданий сооружений по заданным линиям контура и удовлетворяющие наперед заданных условий. Инженерная практика зачастую предполагает системное применение научных и технических знаний с обращением к проектированию, конструированию, изобретательству, в связи с чем, к профессиональной подготовке инженера предъявляются такие требования, как способность к техническому творчеству, пространственному воображению и проективному видению, владение логикой конструктивно-геометрического мышлениях[2].

Решение таких задач способствует значительному сокращению объема при автоматизированном проектировании в подсистемах AutoCAD и повышает точность изготовления поверхностей в связи сейсмостойкости с гидро-аэродинамическими и эстетическими требованиями. Кроме того, сокращается срок подготовки производства, появляются оптимальные возможности использования современных компьютерных технологий. В статье рассматриваются вопросы создания и ранее не исследованных способов образования и преобразования геометрических объектов в частности, строительных зданий и сооружений в Eⁿ пространстве. Предлагаемый способ является обобщением таких широко используемых способов конструирования поверхностей, как каркасно- кинематический способ зависимых сечений и др. в многомерном пространстве. Известно при возведения объекта сложной формы оболочек покрытый зданий и сооружений существуют два общих уравнения в виде [1]:

(2)

Уравнение (1) является частным случаем   уравнения (2) и содержит три группы параметров управления на современных компьютерах и в системах AutoCAD.

1) Криволинейные координаты 𝜐₁, 𝜐₂,…,  t_1, t_2, t₃,…,μ₁, μ₂,…, определяют направляющую. Например, если в уравнении  (1) криволинейные координаты заданы в виде 𝜐_1, 𝜐₂=0, 𝜐₃=0,…, μ₁=0, μ ₂=0,…, t₁=0, t ₂=0,…,то направляющий будет R¹. Если криволинейные координаты заданы в виде  𝜐₁, 𝜐₂, 𝜐₃=0, μ₁=0_, μ ₂=0,…, t₁=0, t ₂=0,…,то направляющей будет R², и.т.д .

2) Криволинейные координаты g₁, g₂,…, g_d,δ₁,δ₂,…,ε₁, ε₂,…,задают производящую в носителе. Если криволинейные координаты заданы в виде g_1, g₂ =0, g₃ =0,…, δ₁ =0, δ₂ =0,…, ε₁=0,  ε₂=0,…, то производящей  служит кривая линия. Если число криволинейных координат равно двум, т.е.       

g_1, g_2, g_3, =0,…, δ₁ =0, δ₂ =0,…, ε₁ =0, ε₂ =0,…,

или

g_1, g₂ =0, g₃ =0,…, δ_1, δ₂ =0, δ₃ =0,…, ε₁ =0, ε₂ =0,…,

то производящей является поверхность.

3) Переменные ξ_ij управляют перемещением носителя относительно неподвижной системы координат. При этом центр носителя будет принадлежать направляющей. Соответственно переменные аргументы ξ_ij также управляют видом производящей в месте с криволинейными координатами второй группы параметров управления. Если криволинейные координаты g₁, g₂,…, δ₁, δ_2,…, ε₁, ε_2,…заданы в виде g_1, g₂ =0, g₃ =0,…, δ₁ =0, δ₂ =0,…,то производящей в носителе будет R¹.

Задавая один параметр управления носителем переменным, например, ξ₁₁, а все остальные- постоянными в виде ξ₁₂=0,…, ξ_1n=0, ξ₂₁=0, ξ₂₂=0,…, ξ_2n=0,…, ξ_n1=0, ξ_n2=0,…, ξ_nn=0, обеспечиваем одинарное движение носителя. Соответственно кривая производящая, заданная в носителе, осуществляя это движение, образует R², которая имеет криволинейные координаты g₁и ξ_11. Таким образом, задавая в носителе R¹, изменяя одну его криволинейную координату ξ_11, получаем производящую R². Далее, задавая в носителе R¹, изменяя два криволинейных параметра носителя, например, ξ_11, ξ_12, получаем уже в качестве производящей R³,и.т.д.

Таким образом, при работе на компьютере с уравнением (1) имеют место следующие параметры управления  𝜐₁, 𝜐₂,…, μ₁, μ₂,…, t_1, t₂…, g_1, g₂,…, δ₁, δ_2,…, ε₁, ε_2,…, ξ_ij, которые необходимо рассматривать вместе. Например, задавая 𝜐₁, g₁, а все остальные нулями в виде 𝜐₂=0, 𝜐₃=0,… . t₁=0, t ₂=0,…, μ₁=0, μ ₂=0,…, g₂ =0, g₃ =0,…, δ₁ =0, δ₂ =0,…, ε₁ =0, ε₂ =0,…, ξ_ij=0, получаем R², которая образуется движением R¹ (кривой, производящей) по направлению s(R¹) тоже кривой линии. Или задавая 𝜐₁, t₁ и g₁,получаем R³,где направляющей является R²,а производящей- R¹; при этом параметры управления1 переменными, получаем п-мерное пространство и тело. Вид и класс последних зависят от конкретных значений функций

L_ij(ξ_ij), φ₁[g₁, g₂,…, L₁(δ₁), L₂(δ₂),k₁(ε₁), k₂(ε₂),…],  

ƒ_i[𝜐₁, 𝜐₂,…,m₁(t₁), m₂(t₂),…,h₁(μ₁), h₂(μ₂),… .                                                  (3)

Проведенные группы криволинейных координат являются переменными параметрами функций (3), при изменении которых меняются конкретные значения этих функций. Например, пусть в качестве переменных криволинейных координат взяты  δ₁, g₁, это означает, что заданы производящие с переменными параметрами формы. Координата δ₁ является криволинейной координатой меняющегося параметра формы кривой линии, закон изменения которого зависит от конкретного значения функции е₁(δ₁).при другом законе изменения е₁(δ₁)соответственно меняется значение функции φ₁(3) и т.д. поэтому при получения результата на компьютере эти группы параметров управления и конкретные значения функции должны рассматриваться вместе как единая общая формула п-мерное пространства и тела.

Уравнение (2) содержит в себе четыре группы параметров управления на компьютере. Подставляя в него j=1, получаем уравнение типа (1); Подставляя в него  j=2, получаем другое уравнение типа (1), и. т. д. Таким образом, уравнение (2) и является уравнением комплекса m-уравнение типа (1) и является уравнением комплекса m п-мерного пространства[1].

Предлагается следующая последовательность управления параметрами уравнения  (2) на компьютере.

1) i, j, R- целые переменные величины, которые принимают значения i=1,2,3,…,п i=1,2,3,…,м, R=1,2,3,…,п:

а) подставляя j=1,2,…, j=m в уравнения (2), получаем соответственно уравнения первого, второго и конечного сложных объектов из комплекса m.

б)значения целой  переменной i=1,2,3,…, n определяют n-мерную систему координат, а также управляют уравнением направляющей и производящей;

в) значения R=1,2,…,n определяют суммарно функции параметров носителей и производящих.

Эти три группы – целые переменные, управляемые одновременно. Например, при

j =1; i=1,2,3; R=1,2,3 получим уравнение первого сложного объекта в трехмерной системе координат. Значения j=1,2,3,…, m; i=1,2,3,4; R=1,2,3,4; из (2) определяют уравнение первого сложного объекта в трехмерной системе координат и т.д.;

2) функция определяет вид направляющей при j=1,2,3,…, m, а также различные виды направляющих L_1, L₂,…, L m. Если i=1,2,3,4, n, то эти направляющие отнесены к п- мерной системе координат. Далее имеет криволинейные координаты 𝜐_1j, 𝜐_2j,…, t_1j, t_2j…, μ_1j, μ_2j,…,которые определяют размерность направляющих. Например, если криволинейная координата одна, т. е. 𝜐_1j, 𝜐_2j=0,…, t_1j=0, t _2j=0,…, μ_1j=0, μ _2j=0,…,то в качестве направляющей задаются кривые линии. При j=1 это L₁,при j=2- L₂,…,при j= m – L_п. Функция имеет также значения m_1i,( δ_2i), m_2i,( δ_2i),…,, h_1j(μ_1j), h_2j(μ_2j),…,.Здесь возможны следующие случаи:

а) если 𝜐_1j, 𝜐_2j=0, 𝜐_3j=0,…, m_1j(δ_1j), m_2j(δ_2j),…, h_1j(μ_1j), h_2j(μ_2j),…,есть кривая линия переменных параметров формы и положения. Эти переменные параметры 𝜐_1j, μ_1j, μ_2j,…, δ_1j, δ_2i,…,образуют множество кривых линий, которые определяют сложный объект направляющей. Если эти переменные заданы в виде μ_1j= μ_1j (𝜐_1j), μ_1j= μ_1j (𝜐_1j),…, δ_1j= δ_1j(𝜐_1j), δ_2j= δ_2j (𝜐_1j),…,то получим в качестве направляющих R² (поверхность) более сложного вида.

б) если 𝜐_1j, 𝜐_2j, 𝜐_3j=0, 𝜐_4j=0,…, m_1j(δ_1j), m_2j(δ_2j),…, h_1j(μ_1j), h_2j(μ_2j),…,то получим направляющую поверхность R² с переменными параметрами формы и положения. В результате образуется 𝜐_1j, 𝜐_2j,…, δ_1j, δ_2j,…, μ_1j, μ_2j,…,- множество кривых линий, задающих сложный объект направляющей. При δ_1j= δ_1j(𝜐_1j), δ_2j= δ_2j(μ_2j),…, μ_1j= μ_1j (𝜐_2j), μ_2j= μ_2j (𝜐_2j)…получим в качестве направляющей R² (поверхность) более сложного вида.

Конкретные значения функции   определяют вид производящей. При j=1 эта производящая будет отнесена к первому носителю, при j=2-­­­­ко второму и т. д, при  j=т конкретные значения функции  будут отнесены к последнему носителю. Конкретные значения k=1,2,3,…,n определяют суммарное значение функции   ,…, Функция имеет следующие криволинейные координаты: g_1j, g_2j,…, δ_1j, δ_2j,…, ε_1j, ε_2j,… . здесь возможны следующие случаи:

а) функция имеет одну криволинейную координату, например, g_1j, а все остальные- нули: g_2j =0,…, δ_1j =0, δ_2j =0,…, ε_1j =0, ε_2j =0,… . В этом случае производящими являются кривые линии. При j=1 g₁₁ есть криволинейная координата первой производящей, заданной в первом носителе, при  j=2 g₁₂ есть криволинейная координата второй производящей ,  заданной во втором носителе и т.д.;

б) в функции  имеются следующие виды криволинейных координат; g_1j , g_2j=0,…, l_1j(δ_1j), l_2j(δ_2j),…, k_1j(ε_1j), k_2j(ε_2j),… . Получим  е- параметрических множеств кривых линий, которые образуют R^е, где е= g_1j+ δ_1j+ δ_2j+…+ ε_1j+ ε_2j,….

При j=1 производящая (2) будет отнесена к первому носителю и является производящей, которая образует первый комплекс из m. аналогичным образом, задавая j=2, получаем уравнение второй производящей во втором носителе. При этом криволинейные координаты данной производящей определяются как g₁₂ , δ₁₂,…, ε₁₂, ε_22,… и т. д. Задавая j=m, получаем производящую - последнюю проводящую, заданную в последнем носителе, криволинейная координата которой имеет вид g_1m , δ_1m , δ_2m ,…, ε_1m , ε_2m ,… .Если между этими криволинейными координатами установлены функциональные зависимости в виде  δ_1j= δ_1j (g_1j), δ_2j= δ_2j(g_1j),…, ε_1j = ε_1j (g_1j), ε_2j = ε_2j (g_1j),…,то вместо производящей  получим , т.е. кривые линии. При j=1 эта кривая будет отнесена к первому носителю, при j=2- ко второму и т. д., при j= m- k последнему носителю; вид и класс кривых производящих зависят от конкретных значений

в) в функции количество криволинейных координат три, например, g_1j, g_2j=0, g_3j=0,…, δ_1j, δ_2j= δ_3j=0…, ε_1j, ε_1j=0,…;тогда в качестве производящей используется . Здесь тоже при j=1, 2,…, m могут быт производящие одного или разных видов. Далее, число криволинейных координат может быть четыре, пять и т.д., все криволинейные координаты существуют, например, g_1j, g_2j,…, δ_1j, δ_2j,…, ε_1j, ε_2j,… . Тогда производящей будет , где е= g_1j+ g_2j+…+ ε_1j+ ε_2j+…+ δ_1j+ δ_2j+….

г) в функции  при различных значениях j число криволинейных координат различно; например, при j=1 число криволинейных координат равно трем, g₁₁, g₂₁=0 g₃₁=0,… , δ₁₁, δ₂₁=0,…, ε₁₁=0, ε₂₁, ε₃₁ =0,…;при j=2-единице: g₁₂=0, g₂₂, g₃₂=0,…, ε₁₂=0, ε₂₂=0,…, δ₁₂=0, δ₂₂=0, δ₃₂=0,…,и т.д. при j= m - двум, g_1m=0, g_2m=0, g_3m, g_4m=0,…, δ_1m=0, δ_2m, δ_3m=0,…, ε_1m=0, ε_2m=0, ε_3m=0,… .Получим производящие различного вида пространства и тела; например, в первом носителе, во втором -  и,  наконец, в последнем, m – м носителе, - Их виды зависят от значений функции

Таким образом, все перечисленные параметры управления при моделировании комплексного m – мерного пространства и тела на компьютере рассматриваются совместно. При этом ставятся заранее заданные условия и затем выбираются параметры управления, удовлетворяющие данным условиям, для моделирования нужного вида количества комплекса.

С помощью геометрического моделирования осуществляется выделение параметров управления персонального компьютера, отвечающих требованиям автоматического проектирования технических форм, строительных зданий, сооружений и строительных оболочек. Предлагается алгоритм геометрического моделирования как n-мерного, так и комплекса m состоящих из Rⁿ. На основе предложенной геометрического моделирования алгоритма разработана и создана ППП для n-мерного пространства. Предложенный алгоритм обеспечивает переход от одного вида поверхности к другому любого измерения а также позволяет оптимально использовать компьютерной время и учитывать необходимые наперед заданные оптимальные требования, связанные с геометрическим требованием поверхностей оболочек покрытый. Геометрические результаты позволяют повысить эффективность методов исследования инженерной геометрии, с одной стороны и расширить ее возможности при решении инженерно-технических задач.

Список литературы:

1. Нарзуллаев С.А. Расчет п-мерного пространства и тела // Монография. – Т.: Фан, 1991. – С. 194-195.
2. Наимов C.Т. Geometric modeling in CAD // Neo Scientific Peer Reviewed Journa. Volume 9, April, 2023. ISSN (E): 2949-7752. PP. 135-139. https://neojournals.com/index.php/nspj/article/view/179/175