МОДЕЛИРОВАНИЕ КРАСКОПЕРЕХОДА НА БУМАГЕ СОДЕРЖАЩЕЙ ОТХОДЫ ПОЛИЭСТЕРНОГО (ЛАВСАНОВОГО) ВОЛОКНА МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

АННОТАЦИЯ

В статье проанализирована моделирование краскоперехода на бумаге содержащей отходы полиэстерного (лавсанового) волокна методом математического планирования эксперимента. Было создана математическая модель в виде уравнения, связывающего параметр оптимизации с факторами для планирования эксперимента. Также, проанализировано влияние скорости печати и гладкости материала на краскопереход. Доказано, что максимальное значение коэффициента краскоперехода наблюдается при пористости 54,8% и показания впитывающей способности по ксилолу 15 с, которое состовляет К_п=51, а его теоретическое значение

ABSTRACT

The article analyzes the simulation of the ink transition on paper containing waste polyester (lavsan) fiber by the method of mathematical planning of the experiment. A mathematical model was created in the form of an equation relating the optimization parameter to the factors for planning the experiment. Also, the influence of printing speed and material smoothness on the ink transition is analyzed. It has been proven that the maximum value of the ink transfer coefficient is observed at a porosity of 54.8% and an xylene absorbency reading of 15 s, which is Kp=51, and its theoretical value у ̂=51.75.

Ключевые слова: математическая модель, параметр оптимизации, пористость, впитывающая способность, с.

Keywords: mathematical model, optimization parameter, porosity, absorbency, p.

Введение. Метод математического планирования эксперимента предусматривает установление минимально необходимого числа опытов и усилий их проведения, выбор методов математической обработки результатов, опытов и принятие решений. Планирование эксперимента значительно сокращает число опытов, необходимых для получения модели процесса. Результаты эксперимента используют для получения математической модели, представляют систему математических соотношений, описывающих исследуемый процесс или явления. [1]

Экспериментальное исследование. При планировании экстремального эксперимента характеристикой цели исследования являются параметр оптимизации, который служит реакций или откликом воздействие факторов, определяющих поведения процесса. Таким образом, под математической моделью при планировании эксперимента следует понимать уравнение связывающее параметр оптимизации с  факторами (функция отклика). [2]

В общем виде функция отклика, являющаяся и параметры оптимизации ɳ, может быть представлена выражением:

ɳ= f (х₁, х₂,…, х_R)                                                  (1)

где  х₁, х₂,…, х₁₂ – независимые переменные факторы.

Наиболее простой моделью является полином, который линеен относительно неизвестных коэффициентов, что упрощает обработку результатов наблюдений. Коэффициенты полинема выписияют по результатам опытов. Число коэффициентов зависит от степени полинома, который может быть первой, второй и более высокой степени.

Полином первой степени в общем виде выражается уравнением регрессии, полученным на основании опытов и представляющим собой выборочную оценку у функции отклика ɳ: 

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_Rx_R+b₁₂x₁x₂₊b₁₃ x₁x_3+…+b_12…R x₁x_2…x_R                         (2)

для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют. В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, нижний -1, а основной 0. При этом основные уровни выбирают таким образом, чтобы их сочетание отвечало бы значению параметра оптимизации, по возможности более близкому к оптимальному. Кодированные значение фактора  определяют по выражению 

Где, – натуральное значение i- го фактора;

- натуральное значение основного уровня i- го фактора;

- интервал варирования i- го фактора.

Полный факторный эксперимент предусматривает все возможные сочетания уровней факторов. Если число уровней каждого фактора m, а число факторов R, то число N всех сочетаний уровней факторов, а следовательно и число опытов в полном факторном эксперимента, определяются выражением  

                                                             (4)

Для полного факторного эксперимента типа  2²  уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия представляется уравнением: 

                                           (5)

В настоящей работе на основании априорней информации были выбраны основные уровни и интервалы варьирования факторов при исследовании краскоперехода (таблица-1). В качестве параметра оптимизации был принят коэффициент перехода краски, а в качестве факторов – пористость, %, характеруюзующая структуру бумаги; впитывающая способность по ксилолу, с

Таблица 1.

Уровни и интервалы варьирования факторов

Матрица планирования и результаты опытов приведены в таблице-2

Таблица 2.

Матрица планирования и результаты экспериментов

Обработку результатов эксперимента при отсутствии дублирования опытов проведен в следующей последовательности. [3-4]

1. Вычисление дисперсии   воспроизводимости эксперимента. Для этого выполним три параллельных опыта в нулевой точке (в центре плана) и дисперсию  воспроизводимости эксперимента вычислим по данным таблице-2, по формуле:

                                              (6)

Где  n₀=3 – число параллельных опытов с нулевой точке;

y_u – значение параметра оптимизации в u-m опыте;

 – среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n₀ параллельных опытах.

Таблица 3.

Вспомогательная таблица для расчета

2. Вычисление коэффициентов модели:

1) свободный член b₀ определяют по формуле:

                                                     (7)

2) Коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты:

                                                     (8)

3) Коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия

                                                (9)

где  i, l – номера факторов;

j – номер строки или опыта в матрице планирования;

у_i –значение параметра оптимизации в j-m опыта;

x_ij, x_lj – кодированные значения (±1) факторов  i и l в  j-m опыте.

3.        Проверка статистической значимости коэффициентов уровнения регрессии.

Проверку значимости коэффициентов проведем способом сравнения абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом. Для этого вычислим дисперсию коэффициентов регрессии по выражению:

                                                          (10)

где   – дисперсия  i-го коэффициента регрессии;

N – число строк или опытов в матрице планирования.

Доверительный интервалнаходят по формуле:

где  t_T – табличное значение критерия при принятом уровне значимости и числе степеней свободы f, с которым определялось дисперсия .  При отсутствии дублирования f=n₀-1=3-1=2.

Значение t_T   при 5%-ном уровне значимости и f=2 состовляет 4,3 [1]. Тогда в соответствии с формулой (11).

Δb_i = ±4.3 · 0.289 = 1,243

Статистические незначимые коэффициенты  исключаем из уравнения: 

y = 46,25+1,75x₁₊3,75x₂-0,75x₁x₂                                                               (12)

и получаем в окончательном виде уравнения регрессии с кодированием переменными:  

y = 46,25+1,75x₁₊3,75x₂                                                                            (13)

4. Определение дисперсии адекватности по формуле:.

                                          (14)

где  y_j – наблюдение значение параметра оптимизации в j-m опыте;

   - значение параметра оптимизации, вычисленные по модели для условий j-го опыта;

f – число степеней свободы, которое для линейной модели определяется по выражению f=N-(k+1), где  k – число факторов.

Для вычисления суммы, входящей в выражение (14), состовляем вспомогательную таблицу (таблица-4)

Таблица 4.

 Вспомогательная таблица для расчета

По формуле (14) имеем:

5. Проверка гипотезы адекватности модели по F-критерию, используя для определения F_р  критерия формулу:

                                                      (15)

Если значения F_р<F_Т  для принятого уровня значимости и соответствующих чисел степеней свободы, то модель считается адекватной. При  F_р<F_Т гипотеза адекватности отвергается.

Для числителя выражения (15) степень свободы  f=N-(k+1)=4-(2+1)=1; для знаменатсия  f=n₀-1=3-1)=2. Тогда F_T=18,5 при 5%-ном уровне значимости [1]. Поэтому получили следующее соотношения:

            F_р<F_Т = 18,5                           (16)

Таким образом, гепотеза адеквотности математической модели, описываемой уравнением (13), выполняется, так расчетное значение F-примерия менбше табличного.

Перейдем от кодированных  х_1, x₂  значений факторов к натуральным: пористость, % (П) и впитывающая способность, с (В). Для этого используем связь кодированных знаний факторов с натуральными:

где  П₀, В₀ – основные уровни факторов в натуральных выражениях;

ε₁, ε₂ – интервалы варьирования факторов.

С учетом (17)  получим зависимость краскоперехода К_п  от пористости бумаги и впитывающий способности:

К_п=

И после преобразований

К_п=38,83+0,081П+0,33В                                       (18)

Уравнение (18)  адекватно, поэтому его можно использовать как интерполяционную формулу для вычисления величины К_п .

Анализ уровнений регрессии (13) и (18) показывает, что факторы  х₁ и х₂ являются позитывными, т.е с их увелечением краскапереход также возростает, причем интенсивность влияния показателя впитывающей способности больше, чем показатель, характеризующий структуру бумаги (пористость).

Наиболее наглядно результаты полного факторного эксперимента можно изобразить в трехмерном пространстве (рисунок-1). Здесь по двум координатным осям отложеное значения факторов  х₁ и х₂ , а по третьей – значения параметра оптимизаций .

Рисунок 1. Графическое изображение результатов полнофакторного эксперимента ПФЭ 2² в трехмерном пространстве

Заключение. Условия опытов задаются комбинациями уровней   х₁ и х₂ (топли 1,2,4 и 3), а результаты (  и ) отлежены паралелльно от у. Точка 0 соответствует центру эксперимента и является началом координат кодированной системы.

Контур    и отсекает часть поверхности отклика, которая была исследована в пределах интервалов варьирования факторов.

Таким образом,  максимальное значение коэффициента краскоперехода наблюдается при пористости 54,8% и показатсия впитывающей способности по ксилолу 15 с, которое состовляет К_п=51, а его теоретическое значение  

Список литературы:

1. В. А. Липин. Методы оптимизации:— СПб.:ВШТЭ СПбГУПТД, 2022. -21 с 
2. А.А.Землянский, Г.М.Мордовин. Планирование эксперимента и статистическая обработка результатов. Методические указания.–Балаково: БИТТУ, 2004.–32с.
3. Ешбаева У.Ж., Джалилов А.А., Рафиков А.С. - Бумага из текстильных отходов. Монография. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2018
4. Eshbaeva U.J., Shin I.G., Djalilov A.A. OPTIMIZATION OF COLOR PERCEPTION PROCESS IN THE PRINT PRODUCT BY THE STEEP CLIMBING METHOD BY BOX-WILSON //Technical science and innovation. – 2019. – Т. 2018. – №. 4. – С. 37-44