МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ВОЛНОВОЙ СТРУКТУРЫ

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается математическая модель возмущений волновой структуры имеет ту же форму, что и уравнения состояния динамической системы. Тем не менее в задачах управления динамическими системами мгновенное «состояние» неопределенных возмущений является наиболее важной информацией – возмущениях. Этот результат называется «принципом оптимального приспособления к возмущениям».

ABSTRACT

The paper considers a mathematical model of wave structure perturbations that has the same form as the equations of state of a dynamic system. Nevertheless, in the problems of control of dynamic systems, the instantaneous "state" of uncertain perturbations is the most important information - perturbations. This result is called the "principle of optimal adjustment to perturbations".

Ключевые слова: возмущения волновой формы, преобразование по лаплас, полином, импулъсных функций Дирака, матрица.

Keywords: waveform perturbations, Laplace transform, polynomial, Dirac impulse functions, matrix.

Cтемы с математической моделью вида

в которой сигнал и (t) является единственным входом [1-2]. Не требуется больших математических познаний, чтобы понять, что законы управления с обратной связью   построенные на основе математической модели «без возмущений», не могут гарантировать эффективность управления реальными многомерными системами в присутствии неизвестных ступенчатых, медленно изменяющихся и т. п. возмущений.

Данная статъя посвящена синтезу замкнутых регуляторов нового типа, которые могут противодействовать реальным возмущениям, имеющим волновую структуру. Поэтому внимание будет сосредоточено на особом линейном случае уравнения (2), который является наиболее важным с практической точки зрения:

                                    (2)

Линейное волновое описание (3) можно рассматривать как представление  в функциональном пространстве, где набор функций  играет роль (конечного) базиса функционального пространства, а - кусочно-постоянные весовые коэффициенты. Таким образом, согласно уравнению (3), неопределенное возмущение  может быть представлено в момент времени в некоторой взвешенной линейной комбинацией известных  базисных функций , имеющих неизвестные весовые коэффи- циенты  ( могут время от времени скачком изменять свои зна- чения случайным кусочно-постоянным образом).

В качестве иллюстрации уравнения (2) рассмотрим возмущение волновой структуры вида рис. 2, а. Из рассмотрения ясно, что это возмущение состоит из взвешенных линейных комбинаций «ступенек» и функций с постоянным наклоном, т. е. довольно точно  можно представить аналитическим выражением.

                                                           (3)

Выбор подходящей системы базисных функций является, как правило, первым шагом в использовании волнового представления как инструмента для построения управления. Это можно сделать путем визуального и численного анализа экспериментальных записей  и/или посредством анализа динамических характеристик физического процесса, порождающего .

Второй шаг в использовании уравнения (2) как инструмента проектирования состоит в определении для уравнения (2) соответствующей «модели состояния». Модель состояния представляется дифференциальным уравнением, которому функция (2) удовлетворяет почти всюду. Другими словами, уравнение (2) Можно рассматривать как известное «общее решение» искомого неизвестного дифференциального уравнения. Эта задача (дано решение, найти уравнение) в теории дифференциальных уравнений называется обратной. Дифференциальное уравнение (или система уравнений), которому удовлетворяет уравнение (2), вообще говоря, не является единственным, и при поиске такого уравнения для произвольных функций  можно встретить все виды потенциальных теоретических трудностей. Тем не менее проектировщик может довольно эффективно выполнить этот шаг в случае базисных функций , соответствующих возмущениям , реально действующим на систему управления. Предположим, например, что для каждой выбранной функции  существует преобразование по Лапласу, которое имеет привычный (рациональной функция).

                                                         (4)

Здесь , и , (8) полиномы по  соответственно -й и -й степени, где, Тогда, если  временно рассматривать как константы, соответствующее преобразование Лапласа Уравнения (2) можно представить выраженном

.                 (5)

которое после приведения членов можно в конечном счете записать в виде одного отношения

                                                            (6)

где полином числителя   включает коэффициенты . а полипом знаменателя  является наименьшим общим знаменателем среди совокупности полиномов знаменателей) в уравнении (6  ). Теперь предположим, что полином знаменателя  в уравнении (7) записывается в виде

=                                            (8)

где   Из уравнения (7) следует, что  можно представить как «выходную переменную» фиктивной линейной динами ческой системы, имеющей передаточную функцию

                                                        (9)

при начальных условиях , которые при использовании преобразования Лапласа дают полином числителя  в уравнении (8). Таким образом, при указанных условиях возмущение , представленное в волновой форме (2) с учетом уравнений (6) - (8), удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению с постоянными параметрами:

                             (10)

где коэффициенты .  явным образом известны, так как не зависят от  и определяются системой базисных функций , которая предполагается известной.

Напомним теперь, что «постоянные коэффициенты  в уравнении (2) являются в действительности кусочно-постоянными; они могут изменяться время от времени скачком неизвестным случайным образом. Чтобы учесть математически возможные скачкообразные изменения коэффициентов с в уравнении (2), добавим однородному уравнению (10) внешнюю вынуждающую функцию , которая состоит из последовательности полностью неизвестных случайно появляющихся 1) импульсных функций случайной интенсивности (типа одинарной, двойной, тройной и т. д. функций Дирака). Это придает модели состояния  следующий окончательный вид:

                             (11)

Нужно подчеркнуть, что импульсная вынуждающая функция , действительно, совершенно неизвестна и включена в модель состояния (11) только с символической целью математического описания скачков с уравнении (2).

Таким образом, если базисные функции  в уравнении (2) имеют преобразование Лапласа вида (6), то для нахождения модели состояния для уравнения (2) [дифференциального уравнения, которому удовлетворяет выражение (2)) требуется только вычислить коэффициенты  по уравнениям (8) и (9), а затем использовать общую модель состояния (уравнение (11)).

Cписок литературы:

1. Zadeh L. A., Desoer C. A., Linear System Theory, The State Space Approach, McGraw-Hill, New York, 1963. [Имеется перевод: Л. Заде, ч. Дезоер. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. - М.: Наука, 1970.]
2. Athans M., Falb P., Optimal Control, An Introduction to the Theory and its Applications, McGraw-Hill, New York, 1966. [Имеется перевод: М. Атанс, П. Фалб. Оптимальное управление. - М.: Машиностроение, 1968.]
3. Derusso P. M., Roy R. J., Close C. M., State Variables for Engineers, Wiley, New York, 1967. [Имеется перевод: П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз. Пространство состояний в теории управления. - М.: Наука, 1970.
4. Kholkhodzhaev B.A. Algorithms to restore the input effects of dynamic systems in conditions of uncertainty.//“Technical science and innovation”, №4/2020, Page:150-154.Tashkent 2020.
5. Kholhodjaev B.A. CONSTRUCTION OF A STRUCTURAL-MATHEMATICAL MODEL RESERVOIRS / International Scientific and Practical Conference “Ecological problems of food security” Voronezh (EPFS 2022)