ИДЕНТИФИКАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЛАВИНООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ

АННОТАЦИЯ

В настоящей работе рассматривается задача идентификации многомерных безынерционных процессов с запаздыванием в условиях неполной информации об объекте исследования. Здесь рассматриваются многомерные процессы, когда на выходе наблюдаются достаточно значительные скачкообразные изменения (лавины) при плавном воздействие извне. Причем компоненты выхода у таких процессов зависимы между собой и данная зависимость не всегда известна исследователю. Основной задачей работы является обнаружение лавины на выходе многомерных объектов и дальнейшее ее предотвращение.

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of identifying multidimensional inertial processes with delay under conditions of incomplete information about the object of study. Here, multidimensional processes are considered, when quite significant abrupt changes (avalanches) are observed at the output with a smooth external influence. Moreover, the output components of such processes are interdependent and this dependence is not always known to the researcher. The main task of the work is to detect an avalanche at the output of multidimensional objects and its further prevention.

Ключевые слова: идентификация, многомерный процесс, лавинообразный процесс, априорная информация, катастрофа

Keywords: identification, multidimensional process, avalanche process, a priori information, catastrophe

Введение

В настоящее время представляют собой интерес многомерные процессы, изменяющиеся скачкообразно при плавном воздействии извне [5]. Такие многомерные процессы будем называть лавинообразными. Лавинообразные процессы представляют собой отдельный раздел математики, который называется «Теория катастроф» [2, 3]. Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий [5].

Представляет интерес рассмотрение многомерной системы, на выходе которой будет наблюдаться лавинообразный процесс при плавном изменении компонент входных переменных. Причем компоненты выходных переменных часто связаны между собой не известными исследователю зависимостями. В этом случае задача моделирования такого процесса усложняется, а использование классических методов идентификации не приведет к желаемому успеху. На пути рассмотрения и изучения данной задачи воспользуемся методами непараметрической статистики.   

Лавинообразные процессы берут свое начало в существующей [2] в настоящее время теории катастроф. Тем не менее, предшественником теории катастроф следует считать теорию нелинейных систем, которую ранее развивали А.М. Ляпунов и А. Пуанкаре. В последующем они были обобщены Р. Тома и получили название теории катастроф [2, стр. 5]. В природе подобные процессы давно уже известны и в большей или меньшей степени изучаются (цунами, вулканы, сели и др.). Конечно, для этих процессов характерно увеличение размерности, которая в действительности имеет место, но можно назвать их лавинами. Лавинообразные процессы характерны для многомерных систем и основой для них является наличие нелинейности. Так, во многих практических задачах, например представляемых на конференциях [7, 8], рассматриваются только многомерные процессы. Таким образом, без сомнения можно подчеркивать, что при наличии многомерных систем возможно и возникновение лавин или катастроф.

Обратим внимание на одну важную деталь, что по разным каналам многомерной системы априорная информация наверняка отличающаяся, т.е. различная. Это не только в реально существующих процессах, которые относятся, например, к категории гистерезиса, а вообще говоря, здесь могут быть рассмотрены и другие неоднозначные характеристики, которые могут отличаться по каждому каналу. Это все зависит от априорной информации. Лавинообразные процессы, которые в дальнейшем будут использованы, являются, как это было отмечено выше, предвестниками теории катастроф. Важно чтобы эти каналы существовали в реальности, в частности широко будет использована мысль А. Галлера: «… только природа никогда не отказывается нас учить… это неисчерпаемый родник, из которого черпали истину в первые века и будут черпать потомки, причем он неиссякаем. Только природа всегда нова, только она правдива, ее никогда достаточно не изучишь, но никогда не изучаешь напрасно».

Лавинообразный процесс

На рисунке 1 представлен многомерный объект, у которого на выходе имеют место стохастически связанные выходные переменные, т.е. не известные исследователю зависимости. На рисунке 1 приняты следующие обозначения:  – m-мерный вектор входных переменных,  – n-мерный вектор выходных переменных,  – случайные помехи, действующие на объект,  – непрерывное время, стрелки на выходных переменных свидетельствуют о наличие связей между переменными, внутри объекта – связи между входными и выходными переменными. При измерении входных  и выходных  переменных всегда присутствуют помехи. При взаимодействии входных воздействий могут возникать лавины.

Рисунок 1. Многомерный объект с зависимыми выходными переменными

В качестве примера рассмотрим процесс, в котором будут плавно изменяться входные  переменные. При этом выходные переменные  сначала плавно меняются, но с течением времени начинается формирование лавинообразного процесса и выходная переменная  резко возрастает или наоборот убывает (рис. 2). 

Рисунок 2. График выходной переменной

На рисунке 2 на оси ординат расположены значения выходной переменной , а на оси абсцисс последовательность элементов экзаменующей выборки , где  – объем выборки. Из рисунка видно, что при небольшом изменении выходной переменной  вдруг ее величина существенно возрастает, происходит потеря устойчивости и взрыв. На практике могут встречаться различные лавинообразные процессы, и природа их происхождения может зависеть от самых разных факторов [1, 4, 6, 9]. Во-первых, возникновение лавины может зависеть от человеческого фактора, например при неправильном измерении той или иной переменной, во-вторых это может зависеть от самого процесса, от его природы, т.е. данная «лавина» будет формироваться внутри самого процесса при взаимодействии определенных значений входных переменных .

На данном этапе встает вопрос, как же правильно работать с лавинообразным процессом и управлять им. Для начала необходимо обнаружить приближающуюся «лавину». Для этого значения вновь поступающих выходных переменных процесса, обозначим их , нужно сравнивать со значениями, которые ранее предшествовали лавине, обозначим их , из имеющихся у исследователя данных.

Рисунок 3. Обнаружение лавины

На рисунке 3 отмечен отрезок, который предшествует резкому скачку выходной переменной. Данный отрезок можно взять произвольно, например 10 значений выходной переменной, которые предшествовали «лавине». Сравнение значений ранее предшествующих «лавине» и вновь полученных значений осуществляется по следующей формуле:

,                                          (1)

где   – число точек выходной переменной в выбранном отрезке времени,  – точка, с которой начинается рассмотрение изменений выходной переменной.

Из формулы (1) видно, что как только величина  начнет приобретать очень маленькие значения, близкие к нулю, значит должна произойти «лавина». Для того чтобы предотвратить лавину, в момент уменьшения , необходимо изменить входные воздействия .

Управление лавинообразным процессом должно обеспечивать такие входные характеристики процесса, при которых лавина не будет происходить. Т.е. как только было замечено, что приближается «лавина» , значит нужно срочно изменить входные воздействия , чтобы уйти от приближающейся «лавины». При этом следует различать лавину с ошибкой измерения, при которой также могут произойти резкие скачки значений компонент выходных переменных. Причем одной из основных задач управления является своевременность обнаружения лавины, для того, чтобы хватило времени на изменение входных переменных, которые в свою очередь успели бы повлиять на выходные воздействия, т.к. рассматриваемая многомерная система имеет запаздывание.

Задача идентификации многомерных объектов заключается в построении моделей этих объектов, которые условно можно представить на следующем рисунке 4.

Рисунок 4. Классическая схема идентификации объекта

На рисунке 4 приняты следующие обозначения: О – многомерный объект; М – модель объекта; БИ – блоки измерения соответствующих переменных процесса, с помощью которых получаем выборку наблюдений или обучающую выборку; в каналах измерения переменных действуют случайные помехи .

Как было сказано выше, процессы, рассматриваемые в настоящей работе, могут иметь неизвестные зависимости компонент выходных переменных. Поэтому исследуемый процесс будет описываться системой неявных стохастических уравнений:

,                                  (2)

где  функции  не известны, т.к. не известны зависимости выходных переменных,  – известное запаздывание по различным каналам исследуемого процесса.

Здесь можно отметить составной (ситуационный) вектор, который состоит из некоторого набора входных и выходных переменных (или из всех), которые влияют на ту или иную компоненту выхода процесса. Это может быть любой набор, например . Составной вектор известен исследователю из априорной информации. В этом случае модель процесса будет рассматриваться в виде системы:

,                               (3)

где   – составные векторы,  – временные векторы (т.е. набор данных, которые поступили к s-му моменту времени).

Задача моделирования многомерного процесса состоит в том, чтобы по результатам наблюдений (выборкам), прогнозировать развитие лавинообразного процесса. При этом следует различать лавину с ошибкой измерения, при которой также могут произойти резкие скачки значений компонент выходных переменных. При наличии  реализаций переменных процесса для прогнозирования выходных переменных может быть использована следующая непараметрическая статистика:

 ,                (4)

где   и  вновь поступающие значения входных переменных, а для колоколообразной функции  можно взять, например, треугольное ядро, или другие виды ядер.

Численное моделирование

Для моделирования лавинообразного процесса было выбрано 3 реализации входных воздействий, которые принадлежали следующим областям: ,  и . Объем выборки наблюдений , и соответствующая реализация выходной переменной была выбрана по одному из каналов многомерного процесса, и принимала следующий вид: . Причем на компоненты выходных переменных процесса действовала равномерная помеха:

,                                                 (5)

где  ,  – величина помехи. Функция ошибки рассчитывается следующим образом:

 ,                           (6)

где   – среднее значение по -ой компоненте выхода.

На рисунке 5 по оси абсцисс представлены элементы обучающей выборки, по оси ординат значения выхода объекта (красным цветом) и модели (зеленым цветом). Объем выборки 500, ошибка моделирования составила 0,03, помеха, действующая на выходные переменные, была принята 5%. Как видно из рисунков модель достаточно хорошо описывает объект, с практической точки зрения.

Рисунок 5. Моделирование лавинообразного процесса

Далее представлены значения ошибки моделирования  при различных параметрах размытости  и , причем для  и для  подбирались разные значения параметров размытости, а также при разных объемах выборки.

Таблица 1.

Зависимости величины ошибки моделирования  от величин параметров размытости  и

Из таблицы 1 можно увидеть наименьшую ошибку прогноза при параметрах размытости  и . Причем, при увеличении объема выборки ошибка прогнозирования  уменьшалась. 

Таким образом, проведенные численные исследования показали возможность определения начала развития лавинообразного процесса в многомерной системе. Совершенно ясно, что при изучении и исследовании тех или иных реальных процессов лавинообразной природы требуется тщательный анализ всех факторов и переменных, влияющих на него и наличие соответствующих средств контроля. Кроме того, обращено внимание на формирование задающих воздействий , которые требуют специального определения.

Список литературы:

1. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. – М.: Наука, 1967. – 487 с.
2. Арнольд В.И. Теория катастроф. – 3-е изд., доп. – М.: Наука, 1990. – 128 с.
3. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. В 2кн.  – М.: Мир, 1984. – Кн. 1. – 350 с.; Кн. 2. – 285 с.
4. Джилмор Р. Теория катастроф для учёных и инженеров. – М.: Мир, 1983. – 484 с.
5. Медведев А.В. Основы теории непараметрических систем. Идентификация, управление, принятие решений. – Красноярск: СибГУ им. М.Ф. Решетнева, 2018. – 732 с.
6. Спротт Дж.К. Элегантный хаос: алгебраически простые хаотические потоки. – Ижевск: Ижев. ин-т компьютер. исслед., 2012. – 328 с.
7. Тезисы XXI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. –  Новосибирск, 2020. – 51 с. (7 – 11 декабря 2020 г.). – Новосибирск: ФИЦ ИВТ, 2020. – 51 с.
8. Тезисы XXII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. – Новосибирск, 2021. – 68 с. (25 – 29 октября 2021 г.). – Новосибирск: ФИЦ ИВТ, 2021. – 68 с.
9. Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. – М.: Мир, 1985. – 254 с.