РЕНОРМАЛИЗАЦИИ ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОКРУЖНОСТИ С ОДНИМ ИЗЛОМОМ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ ГЛАДКОСТИ КАЦНЕЛЬСОНА И ОРНСТЕЙНА

АННОТАЦИЯ

В этом работе доказано, что ренормализации гомеоморфизмов окружности с иррациональным числом вращения, с одной точкой излома и удовлетворяющих условиям гладкости Кацнельсона и Орнстейна аппроксимируются функциями   и  .

ABSTRACT

In this paper, we prove that renormalizations of circle homeomorphisms with an irrational rotation number, with one break point, and satisfying the Katznelson and Ornstein smoothness conditions are approximated by the functions  and  .

Ключевые cлова: гомеоморфизмов окружности, определяющая функция,   дробно-линейными, ренормализационной, число вращения.

Keywords: circle homeomorphisms, defining function, linear-fractional, renormalization, rotation number.

Теория гомеоморфизмов окружности составляет одно из важных направлений современной теории нелинейных систем.

Впервые гомеоморфизмы окружности изучались А.Пуанкаре в связи с задачами небесной механики [5]. 

Классическая теорема Данжуа утверждает, что диффеоморфизм окружности из класса топологически сопряжен с линейным поворотом , т.е. существует гомеоморфизм  такой, что . В теории одномерных отображений центральной является проблема гладкости сопряжения . Для диффеоморфизма окружности эта проблема была решена в определенном смысле полностью в конце 1980 –ых годов в работах Синая и Ханина, Кацнельсона и Орнстейна. При этом существенно использовался метод ренормализационной группы (РГ).

В теории динамических систем метод РГ впервые был использован М.Фейгенбаумом в 1978 году, для построения теории универсальности. Этот метод с успехом применяется для изучения гомеоморфизмов окружности. Синай и Ханин доказали, что ренормализации диффеоморфизмов окружности из класса , с иррациональным числом вращения, аппроксимируются (в -норме) линейными отображениями.

Важным классом с особенностями являются гомеоморфизмы окружности с изломами. Поведение ренормализаций для гомеоморфизмов окружности из класса , с одной точкой излома  и иррациональным числом вращения изучалось Вул и Ханиным. Естественным является изучение поведения ренормализаций гомеоморфизмов окружности с изломами с более низкой гладкостью [4].

Рассмотрим сохраняющий ориентацию гомеоморфизм  единичной окружности

                 (1.1)

где скобка - обозначает дробную часть числа,

а -определяющая функция  , удовлетворяет следующим условиям:

 -непрерывная, строго возрастающая функция на ;

  для любого ;

 гомеоморфизм   в точке  имеет излом, т.е. существуют

конечные односторонние производные  и; 

 -абсолютно непрерывная функция на  и  при некотором .

Число  называется величиной излома  в точке . Условие  называется условием гладкости Кацнельсона и Орнстейна [3].

Пусть число вращения  иррационально и разложение  в непрерывную дробь имеет вид:  

.

Положим

.

Числа -удовлетворяют разностному уравнению:

.

Обозначим особую точку  через  и рассмотрим ее итерации, т.е. . Обозначим -замкнутый отрезок соединяющий точки  и .

Обозначим через  замкнутый интервал соединяющий точки  и . Ясно, что . Интервал -называется -ой ренормализационной окрестностью точки . Определим отображение Пуанкаре по формуле:

                  (1.2)

По общей схеме метода ренормализационной группы (РГ) нас интересует главным образом поведение отображения Пуанкаре  при . Поскольку длина отрезка  экспоненциально стремится к нулю и  при , поведение  удобно изучить в новых перенормированных координатах.

Введем перенормированные координаты  на :

                                     (1.3)

Обозначим . Очевидно, что . При , соответствующие координаты  принимают значения от  до . В новых координатах отображению  соответствует следующая пара :

        (1.4)

Пара функции  называется -ой ренормализацией отображения . Положим . Пусть для определенности -нечетное число, тогда имеет место соотношение .

 Система отрезков  образует разбиение окружности [6]. При этом соседние два отрезки из  пересекаются одной лишь концевой точкой.

В этом работе, мы покажем что пара функции   являются почти дробно-линейными функциями.

Рассмотрим семейство пар дробно-линейных функций вида

.     (1.5)

Это семейство играет исключительно важную роль в теории гомеоморфизмов с изломами, поскольку ренормализации  таких гомеоморфизмов приближаются к семейству пар вида (1.5), в пределе при . Более точно, справедливо следующее утверждение. Пусть -произвольный гомеоморфизм, поднятие функция , удовлетворяет условиям , а число вращения  иррационально. Положим  для чётных  и  для нечётных, где  -величина излома. Обозначим

,     .

 Теорема 1. Пусть поднятие  гомеоморфизма  удовлетворяет условиям  и число вращения  иррационально. Тогда существует числовая последовательность  зависящая только от , такая, что для всех   

 Доказательство. По определению координат  и :

  , при , и  , при ,.

Отсюда вытекает, что . Если , то

Значить, если  то  и если , то .

Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы 1.

Теперь покажем, что  и   

отличаются от  и  лишь заменой координат  

Таким образом

Отсюда вытекает, что . С другой стороны

.

Используя теорему 1 получаем .  Из теоремы Данжуа . Учитывая это получим первое утверждение теоремы 1. Для доказательства второго неравенства теоремы 1 сравним  и . Поскольку обе функции отвечают одному и тому же отображению, но в разных системах координат, то

.  

Используя это получаем второе утверждение теоремы 1. Теорема 1 доказана.

Список литературы:

1. Джалилов А.А., Ханин К.М. Об инвариантной мере для гомеоморфизмов окружности с одной точкой излома. //Функционал анализ и его приложения. -1998.-№32(3). с.11-21.
2. Джалилов А.А., Каршибоев Х.К. Предельные теоремы для времени попаданий отображений окружности с одной точкой излома. // Успехи математических наук. – Москва: 2004.- т. 59. вып. 1(355), с. 185-186.
3. Katznelson Y., Ornstein D. The differentiability of the conjugation of certain diffeomorphisms of the circle. // Ergodic Theory Dynam.Systems.-1989.- No. 9(4), p. 643-680.
4. Khanin K.M. and Vul E.V. Circle Homeomorphisms with weak Discontinuities. Advances in Soviet Mathematics, v. 3, 1991, p. 57-98.
5. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. –М.: Наука, 1980.
6. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. - М.: Наука, 1995.