ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА СЛОЖНОМ ПЛАНЕ

АННОТАЦИЯ

В статье проведено исследование зависимости формы поверхности от ее плоского контура опирания. Показано, что форма контура опирания существенно влияет вид инцидентной ему поверхности. Также приведены достаточные условия для формы контура опирания, инцидентная поверхность которых является знакопостоянной во внутренней области.

ABSTRACT

The article studies the dependence of the surface shape on its flat support contour. It is shown that the shape of the support contour significantly affects the type of the surface incident to it. Sufficient conditions are also given for the shape of the support contour, the incident surface of which is of constant sign in the inner region.

Ключевая слова: поверхность, кривые линии, прямая многоугольник, плоскость, инцидентность, знакопостоянность, опорный контур, инвариантность.

Keywords: surface, curved lines, straight polygon, plane, incidence, constant sign, support contour, invariance.

Исследование зависимости свойств поверхности от ее плоского опорного контура и требует изучение свойства поверхности, заданной алгебраической функцией. Примеры, демонстрирующие поведение поверхности, план которой является объединением или пересечением «Элементарных кривых». Кроме того, требуется исследование условия геометрическое моделирования поверхности на многоугольном плане.  Пусть задана выпуклый многоугольник, уравнения сторон которого. [1]

         (𝑖=)                            (1)

Этот многоугольник является пересечением 𝑛 полуплоскостей.

Для того, чтобы во внутренней области многоугольника функция

была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы при обходе контура против часовой стрелки для точек, лежащих в каждой   ой левой полуплоскости выполнялось неравенства [2]

                                               (2)

Рассмотрим случай треугольника плана. Не теряя общности, можно аналитически исследовать треугольник, изображенный на (рис. 1.а), т.к.

любой другой может быть получен из него с помощью аффинных преобразований. Все рассматриваемое свойства поверхностей инвариантны относительно аффинных преобразованный.

С учетом ориентации сторон уравнение рассматриваемого треугольника имеет вид:

а уравнение инцидентной ему поверхности:

                                               (3)

Поверхность (1.15) достигает максимума в точке      

Действительно, решая систему уравнений

получаем:

   и   

Вернемся к общему случаю исследуем поведение поверхности за пределами замкнутой области G, ограниченной контуром многоугольника (рис.2).

Рассмотрим точку 1 на рис.2 учитывая ориентацию всех прямых, получаем, что в точке 1

для всех

и     

Поэтому

в точке 1. Теперь рассмотрим точку 2 на рис. 2. В этой точке

  для всех 𝑖≠m и только  

Поэтому

В точке 2. Функция

представляет собой частный случай функции

Действительно, все функции  являются невырожденными функциями, а их множества нулей –суть прямые линии в плоскости, которые пересекаются. Поэтому из вышеуказанных предложения (п. 1. 1) следует, что функция положительна во всех заштрихованных областях и отрицательна во всех незаштрихованных областях (рис. 2).

Описанный подход в случае не выпуклого контура не обеспечи­вает знакопостоянство функции внутри области определения. Нап­ример, рассмотрим невыпуклый многоугольник, изображенный на рис. 1. Каждая сторона многоугольника задается уравнением прямой

Учитывая ориентацию этих прямых, получаем; что функция

отрицательна в заштрихованных областях (рис.3). Действи­тельно, если пронумеровать стороны пятиугольника как показано на рисунке, в точке  :

Рисунок 1. Ограничений контура многоугольника Рис.1

Произведение этих неравенств даст отрицательное число. Так же можно показать для восьмиугольника с входящими углами (рис. 3) отрицательно в заштрихованных областях.

Рисунок 2. Отрицательный область поверхности

Приведенные результаты для планов, содержащих входящие углы, являются следствием того факта, что для некоторых областей таких планов невозможно однозначно определить правильную ориентацию сторон, образующих эти входящие углы. 1.4 если для примера на рис.2 принять ориентации сторон  и  так, чтобы в точке Р функция  была положительна, то в точке  эта функция будет отрицательна.

Рисунок 3. Восьмиугольник с входящими углами

Вышеприведенные исследования продемонстрировали недостаточность "обычного" подхода для решения задач о конструировании поверхностей оболочек, покрывающих достаточно сложные планы. Как уже отмечалось во введении, удобным аппаратом для решения поставленных задач является аппарат - функций. Поверхности, получаемые на основе метода  -функций, являются достаточно гладкими, ограниченными. Такие поверхности, как будет показано в следующих параграфах, являются строго положительными только внутри плана, на границе плана обращается в нуль и строго отрицательны везде вне плана. [5]

Выводы

1. Проведено исследование зависимости формы поверхности от ее плоского контура опирания. Показано, что форма контура опирания существенно влияет на вид инцидентной ему поверхности.
2. Приведены достаточные условия для формы контура опирания, инцидентная поверхность которых является знакопостоянной во внутренней области контура.
3. На ряде примеров показано, что для сложных контуров опирания   с входящими углами, с отверстиями традиционный метод моделирования поверхности не обеспечивает выпуклости и знакопостоянности поверхности.
4. Предложен метод построения поверхности с помощью теории -функций. Такой подход обеспечивает все необходимые свойства поверхностей для контуров опирания достаточно сложной формы.

Список литературы:

1. Kamidovich A. Y., Babadzhanovna A. S., Uli Y. S. S. CRITERIA FOR THE EMOTIONAL PERCEPTION OF CURVES IN ARCHITECTURAL OBJECTS // E-Conference Globe. – 2021. – С. 129-134.
2. Авлякулова Ш. Б. ЗАПОЛНЕНИЕ ОРНАМЕНТАЛЬНОГО ПОЛЯ РЕЗЬБЫ ПО ДЕРЕВУ НА ОСНОВЕ ТИПОВ СИММЕТРИИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКЕ //Universum: технические науки. – 2022. – №. 4-1 (97). – С. 15-18.
3. Тошев И. И., Авлякулова Ш. Б. РИСОВАНИЕ С НАТУРЫ ОТДЕЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ И ГРУППЫ ПРЕДМЕТОВ (НАТЮРМОРТ) // Интернаука. – 2018. – №. 14-1. – С. 20-22.
4. Axmedov Y. H. Avlyakulova Sh. B. The use of digital technology in the computer-aided design of surfaces for architectural and construction ornaments and technical forms //Journal For Innovative Development in Pharmaceutical and Technical Science. – 2021. – Т. 4. – С. 71-76.
5. Тошев И. И., Авлякулова Ш. Б. РИСУНОК ФИГУРЫ ЧЕЛОВЕКА В КОСТЮМЕ //Интернаука. – 2018. – №. 14-1. – С. 26-28.
6. Тошев И. И., Авлякулова Ш. Б. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА //Интернаука. – 2018. – №. 14-1. – С. 29-30.
7. Махмудов М.Ш., Тошев И.И. АВТОМАТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ГИПЕРМНОГОГРАННИКОМ ВЫПУКЛЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2023. 3(108). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/15091 (дата обращения: 28.03.2023).