ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СЛОЖНЫХ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ СПЛАЙН ФУНКЦИЯМИ

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются интерполяция сложных кривых поверхностей сплайн функциями в частности кубическими сплайнами. На этом основании предложена проектирования поверхностей сложных форм универсальной математическая модель каркасной структуры. Построение и приложения модели основано на реализации идей, обобщенных эрмитовами сплайнами.

ABSTRACT

The article discusses the interpolation of complex curved surfaces with spline functions, in particular, cubic splines. On this basis, the design of surfaces of complex shapes of a universal mathematical model of the frame structure is proposed. The construction and application of the model is based on the implementation of ideas generalized by Hermitian splines.

Ключевые слова: Сплайны, поверхности, интерполяция, полиномы, конструирование, дискретность, геометрический модель, Гауссовы кривизны, частные производные, САПР, Auto CAD.

Keywords: Splines, surfaces, interpolation, polynomials, construction, discreteness, geometric model, Gaussian curvatures, partial derivatives, CAD, Auto CAD.

На всех этапах создания новых изделий – от проектирования до изготовления, приходится решать разнообразные геометрические задачи. В одних областях техники эти задачи играют подчиненную роль, в других – функциональные качества изделия решающим образом зависят от внешних форм отдельных узлов и взаимной их компоновки. Особенно важны задачи формообразования в проектировании аэродинамических и гидродинамических обводов агрегатов летательных аппаратов, корпусов судов, рабочих колес, направляющих и отводящих каналов турбин. Здесь ни одна из существенных физических и технологических задач не может быть решена в отрыве от разработки формы. Существует специфическая область – картография, где выдача сложной геометрической информации вообще является конечной целью производства. От формы изделий зависит его эстетической восприятие, которое может меняться под воздействием моды и других факторов. Прагматическая и эстетическая компоненты входят в геометрию различных изделий в неодинаковых пропорциях. Иногда они достигают полного единства, например, в совершенных обводах современного воздушного лайнера, а иногда отдельные детали конструкций могут не обладать эстетическим воздействием, но выполнять важные функции. Эстетические взгляды конструктора имеют особое значение при проектировании архитектурных сооружений, кузовов легковых автомобилей и, разумеется, модных моделей одежды и обуви. Создание геометрических форм продолжается и на этапе подготовки производства, когда проектируется и изготовляется различная технологическая оснастка, включающая материальные носители геометрической информации: шаблоны, эталоны, штапели – в машиностроении, раскройные лекала, колодки и пресс – формы – в швейной и обувной отраслях. Потребности современной техники необычайно расширили диапазон используемых геометрических форм. В последнее десятилетие появились задачи, связанные с автоматической реализацией самого процесса формообразования на станках с числовым программным управлением. Наиболее трудоемкой из этих задач является расчет траектории обработки сложной поверхности с учетом требуемой точности, геометрии режущего инструмента и кинематических особенностей станка.

При создании современных изделий одним из основных требований, предъявляемых к архитектурно-строительных, сооружений корпусам судов, является аналитическое задание поверхности в целом.

На этом основании в разрабатываемом автоматизированным комплексе проектирования поверхностей сложных форм предложена универсальная математическая модель каркасной структуры. Построение и приложения модели основано на реализации идей, обобщенных Эрмитовых сплайнов [1, с. 224], являющихся обобщением идей аппроксимации линий и поверхностей математическими сплайнами, и численного их описания. В связи с этим в рамках автоматизированного проектирования представляется возможным решить нижеследующие основные задачи:

1. Описать математически поверхность, заданную дискретным набором точек и линий.
2. Спроектировать поверхность архитектурно-строительного элемента так, чтобы она удовлетворяла некоторым, наперед заданным условиям:

• решение этих задач обеспечивает решение многих других аналогических, и поверхностей, таких как;
• определений произвольной точки поверхности;
• построение дифференциальных характеристик поверхности в данной точке;
• построение сечений поверхности произвольными плоскостями;
• построение произвольного каркаса поверхности;
• управление формой поверхности;
• создание натуральную архитектурно-строительного элементов удовлетворяющей наперед заданным условиям.

Математическая проектно-конструкторская модель призвана автоматизировать решение задач, связанных аэродинамическими и прочностными расчётами (для сердцевины устойчивость, эстетичность и прочностные расчёты). Поэтому математическую модель следует разделить на три части:

• Z - геометрическую, состоящею из алгоритмов перезадания исходных данных;
• геометрических расчётов элементов моделирования процессов расчёта, управления формой элементов;
• аэродинамическую, состоящею из алгоритмов расчёта нормалей к поверхности элементов, углов между векторами нормалей и скорости набегающего потока, ветра, солнце и т.п.

Математическая модель технологической подготовки формируется на основании технологической модели, путём составления алгоритмов контрольной плазов о -шаблонной увязки наиболее сложных переходных поверхностей, алгоритмов увязки и воспроизведения плоской и объёмной обвода образующей оснастки и отладки всех основных программ, просчета тестов.

Плазов о – шаблонный метод, принимаемый в промышленности при ручном проектировании с сложных поверхностей (элементов), заключается в построении двух наборов взаимно-перпендикулярных сечений (плазов) для увязки некоторых специальных линий (рис.1). Все эти линии (рис.2) принадлежат поверхности корпуса самолёта и сложных поверхности архитектурно-строительного объекта.

Рисунок 1. Плазов о – шаблонный метод для увязки спец элементов

Рисунок 2. Линии, принадлежащие на сложных поверхностях

Для решения многих задач, возникающих при проектировании, необходимо иметь аналитическое задание этой поверхности, которые в настоящее время возможно получить лишь, владея соответствующим математическим аппаратом и используя компьютера.

Математическое задание формы архитектурно-строительного элементов, сложных поверхности обеспечивает возможность более точных технических расчетов. Появление современных компьютеров и компьютерной графики (КГ) особенно Auto CAD и др. позволило создавать сложные линии, по-своему интересные, кроме юного интересно то, что КГ даёт возможность конструировать, форм, образовать специальные линии, причем выполнять это более быстро за счет автоматизированном от рисовки симметрических элементов, формирования цветовой гаммы, изменения, масштабов и пропорций фрагментов специальных линий. В настоящее время выработаны ряд специальные приём работ с отображениями на экране дисплея в диалоговых режимах, известно большое число специализированных графических редакторов и пакет прикладных программ (ППП), которые, используются, например, при выборе рисунков для тканей и обоев. С помощью мощных современных графических компьютерных программ, таких как система автоматизированного проектирования Auto CAD компании Auto Disk пакет для подготовки иллюстраций Corel DRAW фирмы Corel Compaction возможно создание рисунков, чертежей практически любой сложности в многообразних цветових сочетаниях.

САПР получили наибольшее распространение в области машиностроения, архитектурных изображениях, формирование архитектурных объектов строительных, механических чертежей, то есть именно там, где на графические изображения налагаются многочисленные, очень строгие ограничения, технические черчение, строительно-архитектурное черчение характеризуется самой жесткой дисциплиной расположения частей изображений, условных обозначений и пр. Однако мир традиционных элементных образов также накладывает существенные ограничения на изображения.

Важно, что САПР и Auto CAD в машиностроении, в архитектуре, строительстве тесно связан с технологией, с разработкой программ и подпрограмм для компьютера. Объединение подходов, развитых с одной стороны, в дизайне, а с другой в автоматизированном проектировании в машиностроение, в архитектуре, в разной гауссовой кривизне.  Представляет перспективным для рассматриваемых задач автоматизированного проектирования и написания архитектурных, объектов.

В связи выше изложенным много образней в настоящее статье рассмотрены.

Способы нанесения специальные линии на различные материалы, использующий как сердцевина архитектурно строительного сооружения.

C точки зрения проектировщика методы перехода от графического представления поверхности к математическому (и наоборот) должны быть простыми, т.е. доступными широкому кругу пользователей, и универсальными. В связи с этим можно рассмотреть описания сложных поверхностей по заданному линейно дискретному каркасу с соблюдением условий гладкости поверхности сплайнами не высокой степени, в частности, параболическими и кубическими, интерполирующими значения функции и ее частных производных не только в узлах, но и на линиях сетки, а особенно применяющие проектирование, создание новых типов строительных объектов. Процесс построения таких сплайнов значительно проще, чем процесс построения сплайнов более высокой степени. Матрица системы уравнения, определяющей параметры сплайна, является трех диагональной с доминирующей с главной диагональю и при решении такой системы может быть использован экономичный метод прогонки в смысле компьютерного времени.

Возникает вопрос и каким образом нанести прямоугольные сети на поверхностях второго порядка и автоматическая аппроксимация элементов кубическими сплайнами. Кроме того, автоматические нанесения элементов на поверхностях имеющей положительной и отрицательной Гауссовой кривизны.

Для нанесения элементов на поверхностях автоматическом режиме, возникает необходимость применение аппроксимации элементов кубическими сплайнами. В связи с этим, ниже рассмотрим аппроксимации сложных объектов кубическими сплайнами как интерполяции кривых кубическими сплайнами.

Аппроксимации сложных кривых кубическими сплайнами можно привести задачу интерполяция кривых кубическими сплайном следующим образом. На каждом из отрезков [х_i ; х_ὶ+1] функция ⨍(х) аппроксимируется полиномами вида:

где  ὶ=1,2, …(𝚗-2) коэффициенты определяются с помощью специальных граничных условии:

 (s, ĸ=0;1)

коэффициенты, определенные с помощью условий (2) будут равны;

при  xϵ[],

,h=x-

при xϵ[],                       (3)

, =-

при xϵ[],

,=-                          (4)

Исходя вышеизложенной можно получить уравнение для кубического сплайна.

Неизвестные параметры  определяются из условий непрерывности производных полинома .

Неизвестные  определяются из условий непрерывности вторых производных полинома  т.е.

Для этого определяются значения вторых производных уравнения (5) и полученные результата приравниваются

                   (6)

Левая часть равенства (6) является коэффициентом квадратичной параболы, а правая кубической

 (7)

Отсюда

Обе части равенства (7) являются коэффициентами кубической параболы, таким же образом получим,

(8)

Левая часть равенства (8) является коэффициентом кубической параболы, а правая квадратичной. Далее в равенства (6), (7) и (8) подставляются значения коэффициентов (3), (4), (5)

                                      (9)

После нескольких упрошенный выражения (9) имеет вид:

ὶ=1, 2, …(𝚗-3)

………………………………………………………………

………………………………………………………………

………………………………………………………………

где     

                                             (10)

После определения неизвестных параметров  устанавливается непрерывность  в точках соединения двух промежутков из которого можно получить уравнения сплайна

полиномы можно выразить через базисными полиномами  

где

и

 ĸ, s, q, t=0,1,

𝛿 символ Кронекера, который определяется следующими условиями:

Таким образом, сплайны функции как средство интерполяции сложных кривых являются оптимальным для автоматического формирования элементов архитектурно-строительных элементов, незакономерных поверхностей, а также поверхности со сложной конфигурацией с помощью компьютерной графики.

Список литературы:

1. Ю.С. Завьялов и др. Сплайны в инженерной геометрии. – М.: Машиностроение, 1985. С. 224
2. Akhmedov Yu., Asadov Sh. K. Contruction of the shadow of polyhedral. International journal of progressive scinces and technologies (IJPSAT). Vol. 24 №2. January 2021. ISSN: 2509-0119. pp. 370-374. https://ijpsat.ijsht-journals.org/index.php/ijpsat/article/view/2695
3. Yunus Akhmedov., Shuhrat Asadov and Bobir Azimov. Two-sided estimation of linear approximation error second-order hypersurfaces. Apitech-iv-2022 Journal of Physics: Conference Series 2388 (2022) 012124 IOP Publishing doi: 10.1088/ 1742-6596 /2388/1/012124
4. Akhmedov Yu., Sharipov K. Geometric modeling of drilling bit rolling cutters by generalized Hermitian splines. Apitech-iv-2022 Journal of Physics: Conference Series 2388 (2022) 012164 IOP Publishing doi: 10.1088/17426596/2388/1/012164.
5. Асадов Ш.К., Ахмедов Ю.Х. Аппроксимация гиперповерхностей полиэдрами применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий в еn пространстве //Universum: технические науки: электрон. научн.журн.2022.4(97).URL:https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13430
6. Асадов Ш.К. Математическое моделирование в условиях пластичности для задач нулевой гауссовой кривизны напряженного состояния пластинок при переменных нагрузках. Universum: Технические науки выпуск №5 (86) май 2021. – C.35-38. http://7universum.com/ru/tech/archive/category/586
7. Ahmedov Yu., Shuhrat Asadov Construction of The Shadows Of Polyhedra. International Journal of Progressive Sciences and Technologies (IJPSAT) vol. 24 NO.2 January 2021. pp. 370-374. http://ijpsat.ijsht-journals.org
8. Асадов Ш.К., Ахмедов Ю.Х. Аппроксимация гиперповерхностей полиэдрами применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий в еn пространстве // Universum: технические науки: электрон. научн. журн.  2022.  4(97). URL: https: //7universum.com/ru/tech/archive/item/13430.