МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРАСКОПЕРЕХОДА ГОФРИРОВАННОГО КАРТОНА МЕТОДОМ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

АННОТАЦИЯ

В статье создана математическая модель в виде уравнения, связывающего параметр оптимизации с факторами для планирования эксперимента. Было проанализировано влияние скорости печати и гладкости материала на краскопереход. Доказано, что максимальный краскоперенос достигается при скорости флексографского печатного оборудования 160 отт./час и гладкости бумаги 70 с.

ABSTRACT

The article created a mathematical model in the form of an equation that relates the optimization parameter to the factors for planning the experiment. The effect of print speed and material smoothness on the ink transition was analyzed. It has been proven that maximum ink transfer is achieved with a flexographic press speed of 160 prints per hour and paper smoothness of 70 seconds.

Ключевые слова: математическая модель, параметр оптимизации, полином, гофрированный картон, флексографская печать.

Keywords: mathematical model, optimization parameter, polynomial, corrugated cardboard, flexographic printing.

Введение. Целью планирования эксперимента является создание математической модели в виде уравнения, связывающего параметр оптимизации с факторами. Такое уравнение называют также функцией отклика [1]. В общем виде функция отклика, являющаяся и параметром оптимизации (у), может быть представлена выражением

y = f(x₁, x₂, …, x_k),                                                                 (1)

где  x₁, x₂, …, x_k – независимые переменные факторы.

Наиболее простой моделью является полином. Полином линеен относительно неизвестных коэффициентов, что упрощает обработку наблюдений. Полином может быть первой, второй и более высокой степени. Коэффициенты полинома вычисляют по результатам опытов.

Экспериментальное исследование. На первом этапе планирования  - определении направлени движения к оптимуму и крутого восхождения по поверхности отклика – налиболее целесообразно неизвестную функцию отклика аппроксимировать полиномом первой степени. Полином первой степени в общем виде выражается уравнением

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + … + b_kx_k + b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x₃ + …… + b_12…k x₁x₂…x_k                     (2)

Для двух факторов это уравнение имеет вид:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂ x₁ x₂                                                                    (3)

Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют. Кодированное значение фактора x_i определяют по выражению:

                                                                  (4)

где   – натуральное значение i-фактора;

- натуральное значение основного уровня i-фактора;

 интервал варьирования i-фактора.

В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, нижный -1, а основной 0. Число N всех сочетаний уровней факторов, и следовательно, и число опытов в полном факторном эксперименте, определяется выражением

N = m^k,                                                                 (5)

где  m – число уровней каждого фактора; k – число факторов.

Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить линейные эффекты и все эффекты взаимодействия. Для полного факторного эксперимента типа 2² уравнение регрессии с учетом эффектом взаимодействия представляется выражением (3).

Проведем математическое планирование и оптимизацию краскоперехода гофрированного картона [2-4]. В качестве параметра оптимизации (у) примем краскопереход, а входными факторами: x₁ – скорость печати (отт/час), x₂ – гладкость бумаги (с) (табл. 1).

Таблица 1.

Уровни и интервалы варьирования факторов

В табл. 2 даны матрицы планирования и результаты опытов.

Таблица 2.

Матрица планирования и результаты опытов

Рассмотрим методику обработки эксперимента при отсутствии дублирования [5-6]. Обработку результатов эксперимента в этом случае произведем по следующему алгоритму.

1. Вычисление дисперсии  воспроизводимости эксперимента. Для этого необходимо выполнить несколько параллельных опытов в нулевой точке (в центре плана) и вычислить дисперсию  воспроизводимости эксперимента (табл. 3).

                                                      (6)

где  n₀ – число параллельных опытов в нулевой точке;

y_u – значение параметра оптимизации в u-м опыте;

 – среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n₀ пaрaллeльных опытах.

Таблица 3.

Вспомогательная таблица для расчета дисперсии параметра оптимизации y

Примечание: где n₀ – число опытов в центре плана; y_u – значение параметра оптимизации в цетре плана.

Таблица 4.

Вспомогательная таблица для расчета диспeрсии адекватности  

 – среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n₀ пaрaллeльных опытах.

В табл. 3 даны результаты расчета =9,335.

2. Вычисление коэффициентов модели.

Свободный член b₀ определяют по формуле:

                                               (7)

Коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты, вычисляют по выражению

                                                  (8)

Коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия, определяют по формуле

                                                          (9)

где  i, l – номера факторов;

j – номера строки или опыта в матрице планирования;

y_j – значение параметра оптимизации в j-м опыте;

x_ij, x_lj – кодированные значения (±1) факторов i и l в j-м опыте.

Расчеты по формулам (7), (8) и (9) дали следующие значения коэффициентов:

b₀ = 42,25; b₁ = 4,75; b₂ = 6,25; b₁₂ = –2,25.

3. Проверка статистической значимости коэффициентов уравнении регрессии. Проверку значимости коэффициентов произведем способом сравнения абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом.

Вычислим дисперсию коэффициентов регрессии

                                                                 (10)

где   – рeгрeссия i-коэффицентининг диспeрсияси;

N – рeжaлaштириш мaтрицaсидa қaтoрлaр ёки синoвлaр сoни.

Из формулы (10) следует, что дисперсии всех коэффициентов равны.

Доверительный интервал Δb_i находят по формуле:

Δb_i = ±t_T S{b_i}                                                                   (11)

где  t_T – табличное значение t – критерия для принятого уровня значимости (5% ном уровне) и числе степеней свободы f, которое определяют по выражению  f=n₀-1=3-1=2.

С учетом приведенного t_T = 4,3, тогда

Δb_i = ±4,3 х 1,041 = ±4,48

Таким образом,  |b₁| > |Δb_i|;  |b₂| > |Δb_i|;  |b₁₂| < |Δb_i|.

Поэтому с учетом статистической чзанимости коэффициентов b₁ и b₂ получим модель в виде полинома первой степени:

y = 42,25 + 4,75x₁ + 6,25x₂                                                      (12)

4. Определение дисперсии адекватности по формуле (табл. 4):

                                         (13)

где  y_j –  наблюденные значение параметра оптимизации в j-опыте;

 – значение параметра оптимизации, вычесленное по модели для условий j-ного опыта;

f – числов степеней свободы, которое для линейной модели определяется по выражению f = N – (k+1), где k – число факторов.

5. Проверка гипотезы адекватности модели по F-критерию Фишера:

                                                        (14)

Если расчетное значение F_р меьше табличного F_т при принятом уровне значимости и соответствующих чисел степеней свободы, то модель считают адекватной. При F_р > F_т гипотеза адекватности отвергается.

Степени свободы для и  соответственно равны:

f = N – (k+1) = 4 – (2 + 1) = 1;

f = n₀ – 1 = 3 – 1) = 2

тогда F_т = 18,5 [1], а расчетное значение F-критерия Фишера равно

F_р =

Так как F_р > F_т, то модель, представленная уравнением (12) адекватна.

Таким образом, получена математическая модель краскоперехода гофрированного картона в виде уравнения (12).

Перейдем от кодированных х₁ и х₂ значений факторов к натуральным, если обозначим через v – скорость печати оттиска, g – гладкость бумаги. Для этого запишем кодированные значения факторов через натуральные в соответствии с зависимостями:

                                           (15)

где   и  – интервалы варьирования соответственно факторов х₁ и х₂;

v₀, g₀ – основные уровни факторов в натуральных выражениях.

Тогда получим зависимость краскоперехода (К) от скорости оттиска (v) и гладкости бумаги (g) в виде:

и после преобразований

К = 16,75 + 0,119v + 0,25g                                   (16)

Уравнение (16) адекватно, поэтому его можно использовать как интерполяционную формулу для вычисления краскоперехода К. Максимальный краскопереход осуществляется при скорости оттиска 160 (отт/час) и гладкости бумаги 70 (с) [7-10].

Наиболее наглядно результаты проведенного полного факторного эксперимента можно изобразить в трехмерном пространстве (рис. 1), где по двум осям отложена значения факторов х₁ и х₂, а по третьей - значения параметра оптимизации .

Рисунок 1. Графическое изображение полного факторного эксперимента (ПЭФ) 2² в трехмерном пространстве

Заключение

Условия опытов задаются комбинацией уровней х₁ и х₂ (точки 1, 2, 4 и 3), а результаты (, отложены параллельно оси у. Точка 0 соответствует центру эксперимента и является началом координат кодированной системы. Контур  отсекает часть поверхности отклика, которая была исследована в пределах интервалов варьирования факторов.

Доказано, что максимальный краскопереход достигается при скорости флексографского печатного оборудования 160 отт./час и гладкости бумаги 70 с.

Список литературы:

1. Спиридонов А.А. Планирование эксперимента при исследовании технологических процессов. -М.: Машиностроение. -1981. -184 с.
2. Ешбаева У. Ж., Джалилов А. А., Шин И. Г. Оценка толщины красочного слоя печатной продукции из опытной образцова бумаги //Universum: технические науки. – 2019. – №. 2 (59). – С. 22-26.
3. Ешбаева У. Ж., Джалилов А. А. Анализ поверхностной обработки композиционной упаковочной бумаги и картона //Universum: технические науки. – 2020. – №. 8-2 (77). – С. 5-9.
4. Ешбаева У. Ж. Печатно-технические свойства новых видов бумаг, содержащих химические волокна. Дисс. на соис. уч. степ. канд. тех. наук // Ташкент. ТИТЛП. – 2008. – С. 230.
5. Ешбаева УЖ, Джалилов АА, Рафиков АС - Бумага из текстильных отходов. Монография. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2018
6. Eshbaeva U. J., Shin I. G., Djalilov A. A. OPTIMIZATION OF COLOR PERCEPTION PROCESS IN THE PRINT PRODUCT BY THE STEEP CLIMBING METHOD BY BOX-WILSON //Technical science and innovation. – 2019. – Т. 2018. – №. 4. – С. 37-44.
7. Ешбаева У. Ж., Джалилов А. А. Анализ поверхностной обработки композиционной упаковочной бумаги и картона //Universum: технические науки. – 2020. – №. 8-2 (77). – С. 5-9.
8. Джалилов А. А. Спектроскопическое исследование свойств многослойных целлюлозных композиционных материалов для упаковки //Universum: технические науки. – 2020. – №. 5-2 (74). – С. 5-9.
9. Eshbaeva U. et al. Mathematical Modeling of Ink Transition of Print Product // European Journal of Molecular & Clinical Medicine. – 2021. – Т. 8. – №. 1. – С. 709-717.
10. Eshbaevа U., Nishonov A., Saodatov A. Development of mathematical models of print quality by Box-Wilson //E3S Web of Conferences. – EDP Sciences, 2021. – Т. 304. – С. 03023.