АВТОМАТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ГИПЕРМНОГОГРАННИКОМ ВЫПУКЛЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассмотрено на основе геометрии многомерных пространств создание геометрической аппарата линеаризации замкнутых гиперповерхностей второго порядка окружающих начало координат применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий. Разработана алгоритм формирования линеаризованной дискретной модели условия пластичности, предложена способы и алгоритмы аппроксимации гиперповерхностей второго порядка вписанными и описанными полиэдрами. Методика расчета пасущей способности оболочка развита и обобщена за счет введения автоматической процедуры оптимальной линеаризации условия пластичности: независимо от формы условия текучести отыскивается минимальное число граней вписанных и описанных полиэдров, что обеспечивает расчет несущей способности с заданной точностью. 

ABSTRACT

In this article, based on the geometry of multidimensional spaces, the creation of a geometric apparatus for the linearization of closed hypersurfaces of the second order surrounding the origin of coordinates is considered in relation to calculations of the bearing capacity of coating shells. An algorithm for the formation of a linearized discrete model of the plasticity condition is developed, methods and algorithms for approximating second-order hypersurfaces by inscribed and circumscribed polyhedra are proposed. The technique for calculating the shearing capacity of a shell has been developed and generalized by introducing an automatic procedure for the optimal linearization of the plasticity condition: regardless of the form of the yield condition, the minimum number of faces of inscribed and circumscribed polyhedra is found, which ensures the calculation of the bearing capacity with a given accuracy.

Ключевые слова: многомерных пространств, конструирование, гиперповерхность, оптимальной линеаризации, конечно–разностные уравнения, аппроксимации, топологическое преобразование, дискретный модель

Keywords: multidimensional spaces, construction, hypersurface, optimal linearization, finite-difference equations, approximations, topological transformation, discrete model.

Расчет прочности тонкостенных оболочек из идеального жестко-пластичного материала «например из железобетона» требует исследования условий пластичности.

 ()                                                         (1)

связывающих внутренние усилия с константе материала К . Поверхность, отвечающая уравнению замкнута, выпукла и окружает начало координат.

Решение задачи о несущей способности оболочек различного вида существенно осложняется тем, что в большинстве случаев  нелинейная функция. Линеаризация позволила бы упростить решение за счет применения метода линейного программирования.

В докладе рассмотрены следующе вопроси, связанные с линеаризации;

• Вычисление коэффициентов уравнений граней вписанных описанных полиэдров для произвольной гладкой поверхности в зависимости от числа N  граней;
• Автоматическое формирование матрицы ограничений задачи линейного программирования для получения нежных оценок несущей способности оболочек из идеального жесткопластичного материала;
• Решение задачи линейного программирования с помощью стандартной программы, реализующей симплекс-метод;
• Отыскание оптимального числа граней вписанного и описанного многогранников, позволяющих получить заданную точность при наименьших затратах машинного времени.

В качестве примера рассмотрим пусть материал оболочки следует условию текучести Мизеса, которое в без моментной постановке с учетом принятых обоз­начений (3) имеет вид

                                                      (2)

Для оболочки с пологостью  и относительной тол­щиной  на рис,1-2 представлены результаты вычисле­ний нижней границы равномерной предельной нагрузки при различном числе граней вписанного (линия I) и описанного (линия 2) полиэдров. [4]

Рисунок 1. результаты расчетов границы равномерной предельной нагрузки для различного количества граней

Рисунок 2. характер сходимости числа граней многогранника в зависимости от четности

Для вычислений была использована программа на ФОРТРАНЕ для ЭВМ -6, в программе предусмотрено обращение к библиотечной подпрограмме линейного программирования SIMPLEX

Таблица 1.

Результаты вычислений представлены в табл.3.3.

В рассмотренном примере обе приближенные оценки быстро сходятся к точной, и уже при числе граней N ≥ 5, разница между приближенными оценками не превышает 5 %, Хотя каждая из приб­лиженных оценок отличается от точной лишь на 2 - 2,5% тем не менее анализу должна быть подвергнута именно разность между приближенными оценками, так как в общем случае точная оценка считается неизвестной. Отметим, что в рассмотренном примере приближенные оценки сходятся к оценке (2). [7]

Программа автоматической линеаризации, с помощью которой получены представленные здесь результаты, увеличивает число граней полиэдра до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Немонотонный характер сходимости приближенных оценок к точной зависит от четности числа граней полиэдра, из рис.3. видно, что четное число граней (линия 2) приводит к лучшей аппроксимации точной поверхности, чем нечетное (линия I) на ¼часть,

Для получения общей характеристики сходимости приближенных оценок несущей способности оболочек к точной оценке будем далее рассматривать результаты, полученные только для четного числа граней вписанных и описанных полиэдров (рис.3) в за­висимости от целевой функции. [10]

Теперь рассмотрим переход от без моментной постановки задачи к моментной. Взамен первого уравнения равновесия (3.26) имеем

                                       (3)

где 

Условие текучести (3.38) примет вид

                          (4)

Переход к моментной постановке задачи требует построения вписанных и описанных полиэдров в шестимерном пространстве внутренних усилий   Размер матрицы задачи линейного программирования при этом заметно увеличивается, однако не настолько, чтобы привести к принципиальным затруднениям:

Рассмотрим условие пластичности Мизеса для оболочек из равно сопротивляющегося материала в виде (4), то есть в моментной постановке. [1.2.3.4]

Рисунок 3. Результаты, полученные только для четного числа многогранников

Известно [8], что (3) представляет собой гиперповерхность второго порядка в пространстве. После некоторых преобразований (3) принимает следующий вид:

                                                (5)

Сопоставлением (5) и (3) можно получить следующие значения полуосей гиперэллипсоида

a = 1,41; b' = 0,58, S = 0,82, d = 1,41;e =0,58, f=0,82.

В целях линеаризации гиперэллипсоида (3.40) произведем преобразования вида (3.39) и получим численным способом коорди­наты (вершин) узлов сетки на гиперэллипсоид. Они имеют вид:

;

                                                          (6)

in this   

;

                                             (7)

Пользуясь выражениями (7), получим ряд дискретных упорядоченных точек в  пространстве , удовлетворяющих условиям (25) и (26). [4.5.7]

Коэффициенты гиперплоскостей (граней), вписанных в гиперповерхности второго порядка получим с помощью уравнения (1.31), [4.] Коэффициенты же граней описанных полиэдров для условия пластичности получим с помощью уравнений (3), то есть

                                               (8)

                                                            (9)

 ;                                                       (10)

                                                  (11)

Таблица 2.

Результаты расчетов представлены в таблице 2

Таким образом, мы имеем коэффициенты секущих или пробных плоскостей со сторонами многогранников. Эти коэффициенты, в свою очередь, являются матрицей условия пластичности в линейном программировании, то есть элементами основной матрицы. При этом рассчитывается нижний предел несущей способности поверхности оболочки. Результаты расчетов представлены на рис. 4.

Видно, что нижний предел несущей способности образующейся корки аналогичен результатам, полученным в [1]. При решении многих практических задач можно получить значение, соответствующее оценке при малом числе ветвей, однако в ряде случаев удается добиться такой же точности, как если бы ветвей было больше.

Поэтому метод алгоритма линеаризации можно рассматривать как оптимизационную программу расчета несущей способности поверхностей оболочки в составе пакета (системы) программ. [4.5.6.8]

Таким образом разработаны методика, алгоритм и программа линеаризации произвольных, в том числе нерегулярных, кусочно­криволинейных и др. Условий текучести путем аппроксимации четырех-шестимерных гиперповерхностей вписанными и описанными полиэдрами. Алгоритм состоит из следующих этапов: рис. 4.

Рисунок 4. Условия текучести аппроксимацией многогранниками

• нанесение на исходную гиперповерхность сетки с заданным произвольным числом узлов и вычисление координат узлов;
• вычисление коэффициентов уравнений граней вписанного полиэдра, вершины которого совпадают с узлами сетки;
• вычисление коэффициентов уравнений граней описанного полиэдра, грани которого касаются исходной поверхности в узлах сетки;
• формирование матрицы ограничений в задаче линейного программирования; размеры матрицы определяются с одной стороны числом граней вписанного или описанного полиэдра, а с другой - числом узлов конечноразностной сетки, нанесенной на поверх­ность рассчитываемой оболочки.

Список литературы:

1. Ахмедов Ю.Х. Автоматическая аппроксимация односвязных гиперповерхностей многогранниками применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий: дис. Кандидат технических наук, К.:, 1985, -202с.
2. Махмудов М.Ш. Автоматическая линеаризация выпуклых гиперповерхностей и несущая способность оболочек //Универсум: технические науки. – 2022. – нет. 2-1(95). - С. 34-37.7.
3. Махмудов М.Ш. Обобщенный эрмитов сплайн в пространстве E4 // Универсум: технические науки: электронный научный журнал. 2022.3(96). .
4. Махмудов М.Ш. Элементы гиперсетей и их взаимная принадлежность // Польский научный журнал.-Варшава. – 2020. – нет. 9. - С. 30.
5. Махмудов М.Ш. Использование многомерного пространства в графоаналитическом описании многофакторных событий и процессов // Международный журнал Orange Technologies. - Т. 2. - № 10. - С. 124-127.
6. Махмудов М.Ш. Построение гиперсети методом конечных разностей в пространстве E4 //JournalNX. - 2020. - Т. 6. - № 11. - С. 238-239.
7. Махмудов М. Ш. Автоматическая линеаризация выпуклых гиперповерхностей и несущая оболочек //Universum: технические науки. – 2022. – №. 2-1 (95). – С. 34-37.
8. Махмудов М. Ш. ОБОБЩЕННЫЙ ЕРМИТОВЫЙ СПЛАЙН В Е4ПРОСТРАНСТВЕ //Universum: технические науки. – 2022. – №. 3-1 (96). – С. 8-12.
9. Тошев И. И., Абдуллаев С. С., Бадриддинов С. Н. Популярные памятники и достопримечательности Бухары (минарет Калян, торговая купола) //Universum: общественные науки. – 2022. – №. 2 (81). – С. 7-10.
10. Тошев И. И., Абдуллаев С. С. Мемориальный комплекс Бахоуддина Накшбанди в Бухаре //Universum: общественные науки. – 2022. – №. 2 (81). – С. 11-14.
11. Махмудов М. Ш. ГРАФО - АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРОСТРАНСТВЕ E4 //Материалы международной научно-практической конференции [Текст]. – С. 367.