МОДЕЛИ И МЕТОДЫ 3D СИМУЛЯЦИИ ЖИДКОСТЕЙ

АННОТАЦИЯ

В статье проводится исследование существующих методов моделирования жидкости и выбор тех, которые могут быть использованы в приложениях реального времени. Рассмотрены три различных подхода к моделированию жидкости, отдаем приоритет вычислительной эффективности и стабильности моделирования над физической точностью, и выбираем методы, которые правдоподобно и наглядно напоминают поведение реальных жидкостей.

ABSTRACT

The article analyzes existing fluid modeling methods and selects those that can be used in real-time applications. Three different approaches to fluid simulation are considered, prioritizing computational efficiency and simulation stability over physical accuracy, and choosing methods that plausibly and visually resemble the behavior of real fluids.

Keywords: Computer Graphics, fluid simulation, animation, computational fluid dynamics, CFD, Lagrange, Euler, hybrid, three-dimensional modeling.

Ключевые слова: компьютерная графика, симуляция жидкости, анимация, вычислительная гидродинамика, CFD, Лагранж, Эйлер, гибридное, трехмерное моделирование.

Введение. Моделирование жидкостей имеет долгую историю в компьютерной графике и привлекло сотни исследователей за последние три десятилетия. Моделирование природных явлений, таких как вода, остается актуальной задачей в компьютерной графике. Визуальные модели жидкостей имеют множество очевидных применений в индустрии, включая спецэффекты, анимации и интерактивные игры. Реалистичная 3D анимация симуляции жидкости имеет высоко детализированную 3D модель для рендеринга. Результат реалистичного изображения влияет на время, необходимое для рендеринга [22]. Существуют различные методы и модели в моделировании жидкостей и они могут быть использованы в компьютерной графике.

Моделирование жидкостей. Область вычислительной гидродинамики посвящена моделированию газов и других жидкостей, таких как вода. В настоящее время исследователи согласны с тем, что для достижения реалистичного визуального эффекта необходимо моделировать реалистичную физику, поэтому область графической визуализации жидкостей сходится с областью физически реалистичного моделирования жидкостей, называемой вычислительной гидродинамикой (CFD). Исследователи компьютерной графики начали изучать обширную литературу по CFD в поисках алгоритмов, которые могут быть использованы и модифицированы для приложений компьютерной графики. Из-за вычислительных затрат, связанных с передачей поведения симуляции жидкостей, моделирование жидкостей обычно выполняется в автономном режиме [17].

Модели и методы

Уравнения Навье-Стокса. В основе решения почти всех задач CFD лежат знаменитые несжимаемые уравнения Навье-Стокса [6, с. 3] [2], которые описывают движение вязких жидких компонентов. Эти уравнения возникают в результате применения второго закона Ньютона к движению жидкости с предположением, что напряжение в жидкости представляет собой сумму диффузионного вязкого члена (пропорционального градиенту скорости) и члена давления:

где  - скорость,  - плотность и  - давление жидкости. Символ  - привычное ускорение из-за силы тяжести. Последний символ  - это кинематическая вязкость. Она измеряет вязкость жидкости, т.е. насколько сильно жидкость сопротивляется деформации при течении (или, неофициально, насколько трудно ее перемешать).

Метод Эйлера. Эйлерова точка зрения отслеживает и сохраняет свойства жидкости в фиксированных точках пространства. В каждой точке, в области, содержащей жидкость, мы наблюдаем, как измерения таких величин, как скорость, плотность или давление, изменяются во времени по мере прохождения жидкости [6, с. 7-9]. Положения этих точек никогда не меняются. Затем эти величины обновляются в соответствии с некоторой дискретизацией уравнений Навье-Стокса. Например, когда мимо теплой жидкости движется холодная жидкость, температура в фиксированной точке пространства будет уменьшаться - даже если температура каждой отдельной частицы в жидкости не меняется. Моделирование жидкости можно разделить на три основных этапа: адвекция, отслеживание поверхности и проецирование давления. Каждому из этих этапов было посвящено множество исследовательских работ.

Исследовательские работы. Пионерами в области эйлеровой симуляции жидкости в компьютерной графике являются Фостер и Метаксас [12], которые представили первую трехмерную симуляцию воды на основе сетки, используя конечные разности для решения уравнений Навье-Стокса. Другим новатором в этой области является Стэм [26], который добавил полулагранжевый метод для адвекции и сделал его безусловно устойчивым, что позволило использовать более крупные временные интервалы, чем раньше.

Эйлеровы методы не определяют неявно свободную поверхность, как это делают методы, основанные на частицах [24]. Для отслеживания свободной поверхности жидкости Фостер и Федкив [11] объединили лагранжевы частицы с методом набора уровней, а Харлоу и Уэлч [15] ввели метод частиц-маркеров.

Кроме того, было предложено множество методов ускорения моделирования жидкостей для работы с большими сценами. Например, использование адаптивных сеток для концентрации вычислительных усилий на важных областях. Обзор этих методов, а также более подробный обзор соответствующих работ можно найти в статье Чентанеза и Мюллера [7].

И так преимущество методов, основанных на сетке, заключается в более высокой численной точности (поскольку легче работать с пространственными производными на фиксированной сетке, в отличие от неструктурированного облака частиц) [6, с. 7], они отслеживают гладкие поверхности воды [5], и несжимаемость также легко достигается [28]. С другой стороны, у них есть следующие недостатки: требуется большое разрешение сетки для захвата более тонких деталей [10, с. 2], есть трудности с адвекцией [28], они часто более требовательны к вычислениям, чем моделирование на основе частиц [5], и чисто эйлеровы методы страдают от высокой численной диссипации [6, с. 36-39], которая проявляется как нефизическая вязкость - это затрудняет моделирование жидкостей с низкой вязкостью, таких как вода и воздух.

Метод Лагранжа. В отличие от эйлеровых методов, лагранжева точка зрения рассматривает непрерывную среду как систему частиц. Можно визуально представить жидкость как об огромном наборе частиц, которые движутся вокруг. Каждая точка в жидкости или твердом теле обозначается как отдельная частица с различными свойствами, такими как масса, положение, скорость, плотность, температура и т.д. Затем отдельные частицы наблюдаются в процессе их движения. Затем отдельные частицы наблюдаются по мере их перемещения в пространстве и времени [2, с. 70-73] [21]. Каждую частицу можно представить как одну молекулу жидкости. Твердые тела почти всегда моделируются лагранжевым способом, с дискретным набором частиц, обычно соединенных в сетку [6].

Исследовательские работы. Схема, использующая точку зрения Лагранжа, например, метод вихрей без сеток, описанный Ягером и другими [27] еще в 1986 году, Гамито и другими [14] или Ангелидисом и другими [1], Парком и Кимом [23]. В них допускаются большие временные шаги, а вычислительные элементы существуют только там, где возникает интересующий течение поток – используется в основном для расчета аэродинамики. Другая схема – гидродинамика сглаженных частиц (SPH), введенная Десбруном и Кани [8] в 1996 году и позже усовершенствованная Премозе и другими [24], в которой частицы движутся под действием гидродинамических и гравитационных сил.

Метод SPH, являющийся наиболее распространенным примером метода частиц [6, с. 7-9], является гибким, но он может решать только сжимаемые потоки жидкости. Моделирование несжимаемых жидкостей (например, воды) может стать довольно сложной задачей, поэтому было предложено несколько расширений SPH. Например, «слабо сжимаемый SPH» [3], «Predictive –corrective incompressible SPH» [25] или другой метод частиц без сетки под названием «Particle Semi Implicit method», который решает основные уравнения Навье-Стокса для несжимаемых жидкостей [19].

Методы на основе частиц можно считать интуитивно понятными (движение жидкости - это движение самих частиц), их легче программировать и понимать, они справляются с адвекцией практически полностью [20], имеют низкую численную диссипацию [9], неявно обрабатывают свободные поверхности [24], не обязательно ограничены конечной сеткой (выполняют вычисления только там, где это необходимо), и обычно быстрее, чем методы на основе сетки [5], поэтому более подходят для использования в приложениях реального времени. В целом, Лагранжевы методы имеют и существенные недостатки, такие как трудности при работе с пространственными производными на неструктурированном наборе частиц [6, с. 7], худшая точность при недостаточной плотности частиц (для получения реалистичных результатов требуется большое количество частиц) [10], а также проблемы с устойчивостью несжимаемого состояния при использовании больших временных шагов [28]. Выделение гладких поверхностей и рендеринг жидкостей на основе частиц, как уже обсуждалось, также представляют собой проблему.

Гибридный подход. Существуют также гибридные методы, сочетающие эйлеровскую сетку и частицы Лагранжа. Претендуя на преимущества обоих методов, сетка используется для решения задачи о давлении (обеспечивая несжимаемость), а частицы используются для адвекции (обеспечивая низкую численную диссипацию) [20] и позволяют неявно отслеживать свободную поверхность. Однако эти методы имеют более высокую вычислительную производительность, чем чисто эйлеровы методы, поскольку необходимо поддерживать как частицы, так и сетку.

Исследовательские работы. Первым примером гибридного подхода с использованием сетки и частиц является система Particle In Cell (PIC), представленная Харлоу [16], в которой моделируются сжимаемые жидкости. Все силы вычисляются на сетке, как в эйлеровом решателе, в то время как адвекция выполняется чисто на частицах, используя интерполированные скорости сетки. Результирующие скорости затем передаются от частиц обратно на сетку. Благодаря такому усреднению и интерполяции, PIC страдает от чрезмерной численной диссипации [12]. Эта проблема была решена методом «Fluid Implicit Particle (FLIP)», представленным Брэкбилом и Руппелем [4], в котором скорости частиц обновляются с изменением скорости сетки с предыдущего шага. Позже PIC и FLIP были также адаптированы для несжимаемого потока [28]. Эти гибридные методы все еще исследуются, что видно из более поздних работ, таких как метод аффинной частицы в ячейке (APIC), предложенный Джианг и другими авторами [18], который улучшает точность переносов в методах PIC путем дополнения каждой частицы локально аффинным, а не локально постоянным описанием скорости. Это позволило уменьшить диссипацию оригинального PIC, не страдая от шума, присутствующего в исторической альтернативе FLIP. В еще более поздней работе представлено обобщение метода APIC, названное PolyPIC [3]. В этом методе каждая частица дополняется более общей локальной функцией, что значительно улучшает сохранение энергии и вихря по сравнению с оригинальным APIC. Также показано, что стоимость этого обобщения незначительна по сравнению с APIC при использовании определенного класса локальных полиномиальных функций, и он сохраняет свойство фильтровки APIC и PIC и, таким образом, обладает аналогичной устойчивостью к шуму.

Выводы. Жидкостная анимация относится к технике компьютерной графики для создания реалистичной анимации жидкостей [6]. Анимация жидкости отличается от CFD тем, что анимация жидкости используется в основном для визуальных эффектов - эмуляции качественных визуальных эффектов поведения жидкости, с меньшим фокусом, в то время как CFD используется для изучения поведения жидкостей с научной точки зрения. Тем не менее, в анимации жидкости мы часто полагаемся на приблизительные решения уравнений Навье-Стокса, которые управляют реальной физикой жидкости.

Моделирование жидкостей в области компьютерной графики уделяет внимание визуальному эффекту жидкостных явлений. Используя модели и методы симуляции жидкости в компьютерной графике, можно получить яркие и реалистичные визуальные эффекты движения реальной жидкости.

Список литературы:

1. Angelidis Alexis, Neyret Fabrice. Simulation of smoke based on vortex filament primitives. In: Proceedings of the 2005 ACM SIGGRAPH/Eurographics symposium on Computer animation, 2005, pp. 87–96.
2. Batchelor, George Keith. An introduction to fluid dynamics. Cambridge, UK: Cambridge university press, 1973. ISBN 0-521-66396-2.
3. Becker Markus, Teschner Matthias. Weakly compressible SPH for free surface flows. In: Proceedings of the 2007 ACMSIGGRAPH/Eurographics symposium on Computer animation. 2007, pp. 209–217.
4. Brackbill Ju, Ruppel Hm. FLIP: A method for adaptively zoned, particle-in-cell calculations of fluid flows in two dimensions. Journal of Computational Physics. 1986, vol. 65, no. 2, pp. 314–343.
5. Braley Colin, Sandu Adrian. Fluid simulation for computer graphics: A tutorial in grid based and particle based methods. Virginia Tech, Blacksburg. 2010.
6. Bridson Robert. Fluid Simulation for Computer Graphics, 1st ed. Wellesley, Massachusetts: A K Peters, Ltd., 2008. ISBN 978-1-56881-326-4.
7. Chentanez Nuttapong, Muller Matthias. Real-time Eulerian Water Simulation Using a Restricted Tall Cell Grid. ACM Trans. Graph. 2011, vol. 30, no. 4, pp. 82:1–82:10. ISSN 0730-0301. DOI: 10.1145/2010324.1964977.
8. Desbrun Mathieu, Cani Marie-Paule. Smoothed particles: A new paradigm for animating highly deformable bodies. In: Computer Animation and Simulation’96. Springer, 1996, pp. 61–76.
9. Dukowicz John K. A particle-fluid numerical model for liquid sprays. Journal of Computational Physics. 1980, vol. 35, no. 2, pp. 229–253. ISSN 0021-9991. DOI: 10.1016/0021-9991(80)90087-X.
10. Englesson Dan, Kilby Joakim, Ek Joel. Fluid Simulation Using Implicit Particles. 2011.
11. Foster Nick, Fedkiw Ronald. Practical animation of liquids. In: Proceedings of the 28th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. 2001, pp. 23–30.
12. Foster Nick, Metaxas Dimitri. Realistic animation of liquids. Graphical models and image processing. 1996, vol. 58, no. 5, pp. 471– 483.
13. Fu Chuyuan, Guo Qi, Gast Theodore, Jiang Chenfanfu, Teran Joseph. A polynomial particle-in-cell method. ACM Transactions on Graphics (TOG). 2017, vol. 36, no. 6, pp. 222.
14. Gamito Manuel Noronha, Lopes Pedro Faria, Gomes Mario Rui. Two-dimensional simulation of gaseous phenomena using vortex particles. In: Terzopoulos Demetri, Thalmann Daniel (Eds.). “Computer Animation and Simulation ’95”. Vienna: Springer Vienna, 1995, pp. 3–15. ISBN 978-3-7091-9435-5.
15. Harlow Francis H, Welch J Eddie. Numerical calculation of timedependent viscous incompressible flow of fluid with free surface. The physics of fluids. 1965, vol. 8, no. 12, pp. 2182–2189.
16. Harlow Francis H. The particle-in-cell computing method for fluid dynamics. Methods Comput. Phys. 1964, vol. 3, pp. 319–343.
17. Heintz Christian, Grunwald Moritz, Edenhofer Sarah, Hahner Jorg, von Mammen Sebastian. The game of flow - cellular automaton-based fluid simulation for realtime interaction, VRST '17: Proceedings of the 23rd ACM Symposium on Virtual Reality Software and Technology, Article No.76, November 2017, pp. 1-2.
18. Jiang Chenfanfu, Schroeder Craig, Selle Andrew, Teran Joseph, Stomakhin Alexey. The affine particle-in-cell method. ACM Transactions on Graphics (TOG). 2015, vol. 34, no. 4, pp. 51.
19. Koshizuka Seiichi, Oka Yoshiaki. Moving-particle semi-implicit method for fragmentation of incompressible fluid. Nuclear science and engineering. 1996, vol. 123, no. 3, pp. 421–434.
20. Kouril Pavel. Underwater Excavation Serious Game. 2017. Master’s thesis. Masarykova univerzita, Fakulta informatiky, Brno. Supervised by Fotios LIAROKAPIS.
21. Lamb Horace. Hydrodynamics. Cambridge university press, 1932.
22. M. J. Harris. Fast Fluid Dynamics Simulations on the GPU. In GPU Gems, Programming Techniques, Tips, and Tricks for Real-Time Graphics, Edited by R. Fernando, Chapter 38. Addision-Wesley, 2004.
23. Park Sang II, Kim Myoung Jun. Vortex fluid for gaseous phenomena. In: Proceedings of the 2005 ACM SIGGRAPH/Eurographics symposium on Computer animation, 2005, pp. 261–270.
24. Premoze Simon, Tasdizen Tolga, Bigler James, Lefohn Aaron, Whitaker Ross T. Particle-Based Simulation of Fluids. Computer Graphics Forum. 2003, vol. 22, no. 3, pp. 401–410. DOI: 10.1111/1467-8659.00687.
25. Solenthaler Barbara, Pajarola Renato. Predictive-corrective incompressible SPH. In: ACM transactions on graphics (TOG). 2009, vol. 28, p. 40. No. 3.
26. Stam Jos. Stable fluids. In: Proceedings of the 26th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. 1999, pp. 121–128.
27. Yaeger Larry, Upson Craig, Myers Robert. Combining Physical and Visual Simulation–Creation of the Planet Jupiter for the Film “2010”. SIGGRAPH Comput. Graph. 1986, vol. 20, no. 4, pp. 85–93. ISSN 0097-8930. DOI: 10.1145/15886.15895.
28. Zhu Yongning, Bridson Robert. Animating sand as a fluid. ACM Transactions on Graphics (TOG). 2005, vol. 24, no. 3, pp. 965–972.