АЛГОРИТМ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОДНОЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ С МАТРИЧНОЙ МОДЕЛЬЮ

АННОТАЦИЯ

При анализе ряда задач по принятию решений можно встречаться с проблемой многокритериальности. Для решения соответствующей оптимизационной задачи, характеризующейся матрицей выигрыша и многокритериальностью, разработан подход, реализуемый последовательно – на первом этапе выполняются вычисления на основе данных матрицы выигрышей, на втором этапе – на основе экспертной информации, строится новый обобщенный критерий оптимизации. Данный подход предполагает и учитывает выполнение вычислений в интерактивном режиме.

ABSTRACT

When analyzing a number of decision-making tasks, one may encounter the problem of multi-criteria. To solve the corresponding optimization problem determined by the payoff matrix and characterized by multicriteria, an approach was developed that is implemented sequentially: at the first stage, calculations are performed based on the data of the payoff matrix, at the second stage, based on expert information, a new generalized optimization criterion is constructed. This approach assumes and takes into account the execution of calculations in an interactive mode.

Ключевые слова: Матричная модель задачи, многокритериальность, лицо принимающее решение, пессимистический критерий, оптимистический критерий, Критерий Гурвица, Критерий Байеса-Лапласа, Критерий Севиджа.

Keywords: Matrix model of the problem, multicriteria decision maker, pessimistic criterion, optimistic criterion, Hurwitz criterion, Bayes-Laplace criterion, Savage criterion.

Введение. При решении ряда практических задач лицо, принимающее решение, сталкивается с проблемой многокритериальности, что требует разработки и применения системного подхода к решению и анализу проблемы [4]. Пусть, лицо принимающее решение (ЛПР) должен выбрать некоторое решение, если рассматриваемая система описывается некоторой матрицей. Разные решения (стратегии) соответствуют разным строкам этой матрицы. Пусть, a_ij (i= 1,2,..., n; j=1,2,...,m) сумма выигрыша человека при выборе им стратегии с номером i, если при этом стратегия противника будет соответствовать столбцу матрицы с номером j. Применяются следующие критерии оптимальности: пессимистический: J₁=; оптимистический: J₂=; Гурвица:, где [0,1] и показывает какой из слагаемых является важнейшей при критерии J₃: если , то они равнозначны, если , важнейшим считается первый, при – второй; критерий Байеса-Лапласа :            ; критерий Севиджа: , определяет оптимальное решение на основе матрицы сожаления.

Постановка задачи. Таблица 1 отражает матрицу выигрыша по которой человек должен принимать решение «какая стратегия является оптимальной?». Каждый критерий позволяет построить собственное оптимальное решение. В  этом случае требуется реализовать многокритериальный подход для поиска оптимальной стратегии , где i – номер оптимальной стратегии [2].

Метод решения. Алгоритм предусматривает пошаговое сокращение стратегий и, если надо, выявление одной стратегии.

Шаг1. Сокращение стратегий по матрице , если останется одна стратегия, она считается оптимальной, иначе – на следующий шаг. На данном шаге по значениям параметров a_ij из матрицы снимаются не перспективные стратегии. Множество неперспективных стратегий обозначим :

.

В множество  принадлежат стратегии, описываемые строкой i₀, у которой все показатели «не лучше» соответствующих показателей некоторой стратегии с номером . Если множество  не пусто, то мы имеем возможность сузить множество : \. По заданному примеру находим: , и в результате получаем: .

Шаг 2. Если имеется стратегия превосходящая других по большему числу критериев, то считается оптимальной, иначе - на следующий шаг.

Таблица 1.

Информация о стратегиях ЛПР и его противника

Шаг3. Если имеется стратегия, которая ни по одному критерию не является оптимальной, то ее снимать с рассмотрения.  

Стратегия  является «лучше» других по критерию J₂, cтратегия  «лучше» по критерию J₃, cтратегия  «лучше» по критерию J₅ , стратегия  «лучше» по критерию , стратегия  «лучше» по критерию . Таким образом, _, ни по какому критерию не становились оптимальными, поэтому множество  определяется так:={ _, }. Выполняя сужение множества \ в результате получаем все стратегии, которые хотя бы по одному критерию «лучше» : Ω=.

Шаг4. Критерии считаются одинаково важными и предпочтительной считается стратегия, превосходящая других по cуммарному показателю:

++++ .

Для удобства вычислений принимаем  и получим :

J₆=+++ .

Вычисления показывают: J₆=21,5(по 1-й строке);31,5(по 4-й строке); 38(по 5-й строке); 31,5 (по 7-й строке) ; 22,5(по 10-й строке)}=38.

По суммарному критерию J₆ оптимальной оказалась 5 –я стратегия.

Шаг 5. Ecли оптимальное решение не найдено, перейти на рассмотрение активной фазы алгоритма решения [1]. Данный этап предусматривает принятия участия экспертов для оценки весовых коэффициентов  показателей в столбцах 5-9 заданной таблицы [3]. Оптимальной будет считаться стратегия, для которой показатель   +++0,25+ достигает максимума. Однако данный показатель можно упростить и в результате получить критерий оптимальности:

J₇ =   ++0,25+   

Для оценки коэффициентов  экспертам предоставляется анкета, в которой отражается информация о важности (по их мнению) показателей таблицы. Допустим, в опросе участвуют m экспертов, для оценки важности р коэффициентов. Экспертам предлагается оценить важности показателей натуральными числами по возрастанию 1,2,...,р. В результате проведенного опроса строится некоторая матрица , где i=1,...,p; j=1,...,m; 1p. Тогда коэффициент показателя с номером i вычисляется по формуле:

=  ^.

Очевидно, что при этом будет выполняться:  [0,1],  =1.

Выводы. В результате проведённых исследований разработан подход, который предусматривает пошаговое сокращение альтернативных стратегий для построения оптимальных. При необходимости построения одной оптимальной стратегии предусматривается дополнительная информация в виде экспертных оценок о важности стратегий.

Список литературы:

1. Авинаш Диксит, Сьюзан Скит, Дэвид Рейли. Стратегические игры. Москва, Издательство «Манн, Иванов и Фербер», 2017 . — 880 с. ISBN 978-5-00100-813-2.
2. Андрианова А.А., Хабибуллин Р.Ф.. Принятие решений в условиях неопределенности, Учебно-методическое пособие, Казань – 2015, 25 с.
3. Анохин А.Н. Методы экспентных оценок. Учебное пособие. – Обнинск: ИАТЭ, 1996.-148 с.
4. Лотов А.В., Поспелова И.И. Конспект лекций по теории и методам многокритериальной оптимизации. Учебное пособие. Москва, 2014, 127 с.