ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СРЕДЕ «КОСТЬ – ВНУТРИЧЕРЕПНОЕ ПРОСТРАНСТВО – МОЗГ»

АННОТАЦИЯ

Разработана математическая модель распространения акустических волн внутри кости и мозгового вещества. Предложенная математическая модель основана на направленных функциях Грина с граничными условиями неоднородными по углу. Такая модель позволяет разбить неоднородную поверхность на совокупность однородных, что позволяет использовать простые и широко распространенные методы анализа акустических полей.  С помощью предложенной модели проведен анализ поля точечного направленного источника, излучающего электромагнитные волны на поверхность кости. Для определения точности алгоритма приведено поле точечного излучателя акустической волны в свободном пространстве.

ABSTRACT

A mathematical model has been developed for the propagation of acoustic waves inside the bone and medulla. The proposed mathematical model is based on directional Green's functions with boundary conditions that are inhomogeneous in angle. Such a model makes it possible to divide an inhomogeneous surface into a set of homogeneous ones, which makes it possible to use simple and widely used methods for analyzing acoustic fields. Using the proposed model, the analysis of the field of a point directional source emitting electromagnetic waves on the bone surface was carried out. To determine the accuracy of the algorithm, the field of a point emitter of an acoustic wave in free space is given.

Ключевые слова: анализ звукового поля, неоднородная среда, ультразвук, диаграмма направленности, направленная функция Грина.

Keywords: sound field analysis, inhomogeneous medium, ultrasound, radiation pattern, directional Green's function.

Введение

Активные гидролокаторы, средства гидроакустические средства связи и другие приборы, использующие акустические волны воздействуют на морских млекопитающих.  Сами по себе морские млекопитающие используют акустическую эхолокацию как средство общения. Их биологические «эхолоты» позволяют компенсировать то, что зрение в условиях подводного мира неэффективно. Для того чтобы лучше понимать, как именно воздействуют волны на морских обитателей  предлагается рассмотреть математическую модель поведения волн в биологических тканях. В качестве физической модели рассматриваются костная и мозговая ткань, распространение плоских волн через плоские границы раздела однородных сред. Такое приближение ограничивает применимость и снижает точность расчетов, так как однородные среды и плоские поверхности в природе встречаются крайне редко. Воздействуя на центральную нервную систему мормлека акустическими и электромагнитными волнами и фиксируя реакцию можно понять, какие именно процессы в организме изменяются под их воздействием. В работах [ссылки] рассмотрены задачи распространения акустических волн в замкнутых объемах ограниченных слоем льда и дном мелкого моря, между которыми находится морская вода. В настоящей работе рассматривается поведение акустической волны в замкнутых объемах, ограниченных черепом биологических объектов (мормлеков, людей).

Математическая постановка задачи

В качестве математической модели выбрано волновое уравнение для гармонических волн (Уравнение Гельмгольца):

Где  неизвестная функция координат и времени,  – оператор Лапласа. Геометрия задачи представлена на рисунке 1. Рассматриваем плоское приближение. Скорость звука в кости примем равно в мозговом веществе . Толщина кости около , частота волны 

При фиксированном расстоянии в полярной системе координат в зависимости от угла просчитывается давление.

Использование функций Грина (является основой для проведения численных экспериментов) позволяет решить задачу анализа акустического поля корректными методами. Равноправными решениями уравнения Гельмгольца являются две сопряженные друг с другом функции Грина. Одна из функций Грина описывает расходящиеся от поверхности антенной решетки волны (теория запаздывающих потенциалов) G_m⁺(MM₀), а вторая - сопряженная с ней сходящиеся волны (теория опережающих потенциалов) G_m^-(MM₀). Общим решением уравнения Гельмгольца будет сумма этих функций:

G_m(MM₀) = G_m⁺(MM₀) + VG_m⁺(MM₀),                                                                   (1)

где  M – точка приема сигнала с координатами x и y;

M0 – точка излучения сигнала с координатами x0 и y0;

V – коэффициент отражения от границы раздела.

Решение задачи анализа сводится к нахождению поля давления создаваемое антенной решеткой. Предлагается алгоритм, основанный на теории «направленных» функций Грина, окончательное выражение можно представить в данном виде.

            ,  (2)

где

U1 = k cosθ , U ₂ = k cosθ sin φ - интервалы углов;

 - волновое число.

Рисунок 1. Геометрия рассматриваемого пространства в плоском приближении

Результаты расчетов

В ходе выполнения настоящей работы проведено численное исследование акустической волны в среде биологического объекта. В результате получены диаграммы направленности акустического излучателя в мозговое вещество на разных границах раздела.

Рисунок 2. Диаграмма направленности акустического излучателя на границе «воздух-кость»

Рисунок 3. Диаграмма направленности акустического излучателя на границе раздела «кость – черепное пространство»

Рисунок 4. Диаграмма направленности акустического излучателя на границе раздела «черепное пространство – мозговое вещество»

Графики показывают зависимость акустического давления от угла направления излучателя. Мы видим, что волна хорошо проходит в среду, флуктуации вблизи самих границ обусловлены неоднородностями и некоторыми нелинейными процессами.

Выводы и заключение

Данные математического моделирования распространения акустических волн можно использовать для проектирования гидроакустических излучателей. Представленный алгоритм расчета позволяет проводить анализ звукового поля с заданной погрешностью. Полученные в результате работы диаграммы направленности можно использовать для разработки акустических систем контроля поведения морских млекопитающих.

Список литературы:

1. Корчака А.В. Эм А.А. Лобова Т.Ж. Короченцев В.И. Математическая модель распространения сферических электромагнитных волн в слое льда // Universum: технические науки: электронный научный журнал. 2019. № 12 (69).
2. Корчака А.В., Эм А.А., Короченцев В.И. Математическая модель излучателя сферических волн в слоистой среде. Владивосток: Вестник инженерной школы ДВФУ, 2019. 5с.
3. Короченцев В.И., Малашенко А.Е., Мироненко М.В., Потапенко А.А. Анализ и синтез акустических антенн в морском клине // Морские интеллектуальные технологии. 2016. Т. 1, № 3(33). С. 274–279.
4. Лобова Т.Ж. Модель антенной решетки в замкнутом объеме. Владивосток: Вестник инженерной школы ДВФУ, 2018. 5c.
5. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Ленинград: Судостроение, 1972. 348 с.