СТРУКТУРНО СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ И ВОПРОСЫ ИХ НАДЕЖНОСТИ

АННОТАЦИЯ

В данной статье проводится анализ показателей структурно сложных систем, структура которых представлена ​​в виде сетевого графа. Выделены методы поддержания постоянного рабочего состояния сложных элементов системы и предотвращения отказов. Большое количество элементов системы и использование для их анализа матричных символов представляются формулами.

Научно обосновано, что точность системы представлена ​​показателями, рассчитанными для элементов, расположенных в коридорах между входной и выходной частями. В процессе анализа показан вывод о том, что указатели элементов, входящих в состав системы, не взаимодействуют друг с другом для упрощения процесса комплексного анализа.

ABSTRACT

This article analyzes the indicators of structurally complex systems, the structure of which is presented in the form of a network graph. Methods for maintaining a constant working state of complex elements of the system and preventing failures are identified. A large number of system elements and the use of matrix symbols for their analysis are represented by formulas.

It is scientifically substantiated that the accuracy of the system is represented by indicators calculated for elements located in the corridors between the input and output parts.The analysis shows the conclusion that the pointers of the elements that make up the system do not interact with each other to simplify the process of complex analysis.

Ключевые слова: система, структура, функция, модель, граф, сложность, линия, дуга, ребро, вершина, метод.

Keywords: system, structure, function, model, graph, complexity, line, arc, edge, vertex, method.

Введение

Часто полезно и наглядно представлять некоторую ситуацию в виде рисунка, состоящего из точек (вершин), изображающих основные элементы ситуации, и линий (ребер), соединяющих некоторые пары этих вершин и представляющих связи между ними. Данная статья посвящена представлению подсистем с помощью подграфов и их изучению. Графики появляются под разными названиями во многих областях: «структуры» в строительстве, «сети» в электротехнике, «социограммы» в социологии и экономике, «молекулярные структуры» в химии, «дорожные карты электрических или газораспределительных сетей» и т. д.

Теория графов быстро развивается в последние годы благодаря широкому использованию. Этому во многом способствует прогресс, достигнутый в разработке суперкомпьютеров, работающих на высоких скоростях. Прямое и подробное представление практических систем, таких как распределительные сети и системы связи, приводит к большим графикам, успешный анализ которых зависит от наличия высокоскоростных компьютеров, а также от наличия «хороших» алгоритмов. Поэтому в данной статье основное внимание уделяется разработке и описанию метода расчета показателей надежности систем путем выбора малых систем, хотя часто упоминаются области их применения, что позволяет максимально приблизиться к решению практических задач.

Система – это множество элементов, объединенных общностью выполняемых функций. Под элементом системы понимается наиболее крупная (неразделимая) часть системы для которой определен искомый показатель.Задача структурного анализа системы состоит в том, что исходя из заданного набора элементов системы, их показателей и непосредственных связей между ними необходимо получить заключение об искомом показателе системы. По мере усложнения структуры системы и ростом количества элементов задача ее анализа становится сложной [1-9].

Состоянием системы (или подсистемы, элемента) в определенный момент называется множество свойств, которыми система обладает в это время [1]. Избыточным называется система, которая может выполнять свои функции при отказе некоторой части ее элементов. Если структура системы не может быть представлена состоящей только из последовательно и параллельно соединенных элементов, то такую структуру будем называть сложной. Систему со сложной структурой соединения элементов будем называть сложной системой. Удобным средством описания и анализа сложных систем являются графы[1-9,14].

Большинство современных системимеют структуру, которая легко представляются в виде графа. Это системы связи, электрические сети,компьютерные сети и другие подобные системы. Модель системы в виде графа позволяет применить достижения теории графов[1-3,14].

Ребрами (линия, дуга, грань) называются элементы х_i, их соединения у_i - вершинами. Последовательность ребер, в которой у каждого ребра х_i один из концов является конец предыдущего ребра х_i-1, а другой - концом последующего х_i+1 ребра и не содержащая одних и тех же ребер называется цепью (ветвью). Цепь, начинающаяся от входа системы и оканчивающаяся на ее выходе - назовем путем. В задачах исследования показателей надежности сложных систем в большинстве случаях элементам системы ставят в соответствие ребра графа, их сопряжению вершины графа. Для упрощения процесса анализа сложной системы допустим что сопряжения элементов абсолютно надежны , где k– количество элементов сопряжения).Допустим, что элементы системы могут находиться только в одном из двух характерных состояний – в работоспособном состоянии или в состоянии отказа. Отказ элемента (или элементов)в графе может быть представлен как обрыв ребра (или ребер).

Методы

Система считается работоспособной при наличии хотя бы одного пути между входом системы и его выходом[1-9]. Распространенным методом анализа надежности сложных систем является метод минимальных путей и минимальных сечений и его усовершенствованные варианты[1-9]. В работах [1-3] приводится метод анализа надежности сложных систем путем разложения на подсистемы как наиболее эффективный. Целью анализа надежности системы является получение функции надежности системы, аргументами которой являются вероятности безотказной работы ее элементов. Допустим,что задана система, состоящая из N элементов. Пусть каждому ребру модели системы в виде графа (далее граф надежности) приписана логическая переменная х_i, которую назовем проводимостью [11] этого ребра. Переменная х_i может принимать дискретные значения 1 или 0 (исправен элемент или неисправен) с вероятностями р_i или q_i , где р_i + q_i=1. Графу надежности системы поставим в соответствие функцию алгебры логики , аргументы которой являются проводимостю ребер этого графа и функцию будем называть проводимостью системы.  Функцию назовем разложимой, если она представима в виде

                                               (1)

где      L = { l₁ , l₂ , …., l_s } , Z = { z₁ , z₂ , …. z_k } такие подмножества, множества Х = { x₁ , x₂ , …, x_n } , удовлетворяющие условиям

                                                (2)

Авторами работ [1-7] предлагается способ разложения функции F(X) по одной переменной этой функции, в работах [13] по многим ( более одной ) переменным (на многополюсники ). Авторы [1-5] рассматривают вопрос выделения двухполюсных подграфов (двухполюсников) в модели системы в виде графа. У двухполюсников один их полюсов можно классифицировать как входной и другой полюс – как выходной. Можно предположить, что двухполюсник реализует в определенный момент времени одну функцию. Многополюсник может иметь более одного входного или выходного полюса или и то и другое. Поэтому многополюсник может реализовать M или более функций, где M – количество выходных полюсов многополюсника. Допустим в сложной системе выделены Y многополюсников. Реализуемую выделенной j –той подсистемой функцию запишем в виде вектор функции

                                           (3)

где  f_ji - функция, реализуемая на i - том выходе j-го многополюсника.

Входной функцией j -го многополюсника будем называть функцию, компоненты которой поданы на вход (входы) этого многополюсника. Если компоненты функции являются функциями, тогдаэту функцию будем называть входной вектор функцией и обозначать через Пусть выделенное j -ое подмножество Y_j= {y₁, y₂ , …., y_m}  аргументов функции алгебры логики F( х₁, х₂ ,…., х_n ) реализуемое системой графически изображается в виде j-гомногополюсника с s входными и k выходными полюсами. Компоненты вектор функций и будучи функциями алгебры логики могут принимать одно из двух значений : 0 или 1. Предположим что каждый из выходов многополюсника соединен хотя бы с одним из его входов , тогда из значений компонент k ( или s ) могут быть получены d=2^k (или l=2^s ) различных комбинаций. Некоторую i -ю комбинацию значений компонент вектор функции (или ) будем называть i -м набором и обозначать через  (или ). Набор ^,  получаемый при условии что на входе имеется набор будем обозначать .

Учитывая вышеизложенное можно записать

                                                  (4)

Выделенный подграф далее будем называть подсистемой. Способ вычисления показателей надежности системы путем выделения подсистем приведен в работе [10]. Предложенный способ связан с выкладками стандартного характера.

Результаты

При большом количестве элементов системы для дальнейшего анализа удобнее пользоваться матричной записью. Предположим, что в системе выделенные подсистемы следуют строго в последовательном порядке. Пусть входы j-ой подсистемы подключены к выходам (j-1)-ой подсистемы. Количество выходов (j-1) -ой подсистемы обозначим через m_j-1 и количество входов j- ой подсистемы через m_{j ,} где должно выполнятся условие m_j-1 = m_j .

В общем случае можно записать в матричной форме

                                              (5)

где  -вероятность k-го состояния j - ой подсистемы-матрица вероятностей состояний ( j -1) подсистемы;

 - матрица условных вероятностей;

 - условная вероятность j-ой подсистемы в состоянии l при условии нахождения j-1 -ой подсистемы в состоянии k;. В результате умножения двух матриц элементы матрицы будут получаться по выражению

                                              (6)

Используя вышеизложенное выражение рекуррентно, получим

                                                  (7)

Где  Mⁿ = [ pⁿ₁ pⁿ₂ ……pⁿ_mn]; m_n-число возможных состояний n-ой подсистемы.

Выражение анологично выражению определения вероятностей состояния марковских цепей

                                                  (8)

где  P(n) -матрица вероятностей состояний после n шагов;

P(0) - матрица строка вероятностей начальных состояний;

Pⁿ - матрица вероятностей переходов.

Марковские цепи описывают развитие процесса во времени, изложенный способ описывает развитие процесса от начальной до конечной вершины модели системы в виде графа.

Обсуждение

В простейшей форме теория цепей Маркова утверждает, что если элемент (i,j) матрицы M имеет одношаговую вероятность перехода (p_ij) из состояния i в состояние i, то элемент (i,j) M^k матрицы из состояния i в состояние j дает вероятность перехода в шагах k. Поскольку вероятности переходов в различные состояния составляют в сумме l (пользователей предупреждают, что в некоторых элементарных обработках принимается альтернативное соглашение о написании pij в позиции (i, j), суммы столбцов, следовательно, равны l. Векторы вероятностей представляют собой матрицы столбцов. должно быть). Многие расчеты теории цепей Маркова можно выполнить графически, что позволяет лучше понять структуру проблемы.

Выводы

В заключение можно сказать, что вышеназванные методы играют важную роль в определении надежности системы через формулы в каждой разработанной последовательности.

Список литературы:

1. Батраков П.А. и др. Алгоритм преобразования структурной модели сложной системы в параллельно-последовательную. Омский научный вестник, №34, 2013.С.24-26
2. Бусленко Н.П. и др. Лекции по теории сложных систем. М. “Советское радио”, 1973. С.100-126
3. Глазкова В.В. Муромцев Д.Ю. Шашкин В.Н. Оценка точности вычисления граничных значений вероятностей состояний функционирования сложных систем. Вестник ТГУ, 2016. С.58
4. EsaryJ.D.,ProshanF. Coherentstructures of Non- Identical components. Technometrics, Vol. 5, №2, may 1962. Page.100
5. Кузнецов А.Б О бесповторных контактных схемах и бесповторных суперпозициях функций алгебры логики. Труды математического института им.В.А.Стеклова, том 51, 1958.C.125,145
6. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов. М. “ Советское радио”, 1973.
7. Левин В.И. Логические методы в теории надежности сложных систем. Вестник ТГУ,T.16, вып.6, 2011.C.223
8. МаерА.В. Автоматизированный программный комплекс для модели-рования надежности сложных систем. Вестник ТГУ, №6 , 2009.C.200
9. Нечипоренко В.И. Структурный анализ систем. Эффективность и надежность. М. Сов. Радио. 1977.C.111
10. Норматов Р.Н., Мирзаахмедов М.К. Некоторые вопросы анализа структурно − сложных систем.Научный вестник НамГУ 2022 № 4.C.63-70
11. Райншке К. Ушаков И.А. Оценка надежности систем с использованием графов. М. Радио и связь. 1988.C.158
12. Рябинин И .А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. СПб. Изд-во СПбУ, 2007.C.65
13. Рябинин И.А. , Черкесов Г.Н. Логико-вероятностные методы исследования надежности систем со сложной структурой. М., Радио и связь, 1981.C.220
14. Цой С., Цхай С.М. Прикладная теория графов . Алма-Ата, “Наука”, 1971.C.85