ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ШАРОШЕК БУРОВЫХ ДОЛОТ ОБОБЩЕННЫМИ ЭРМИТОВЫМИ СПЛАЙНАМИ

АННОТАЦИЯ

Для расчета теоретических профилей калибрующих поверхностей различных долот разработаны эффективные алгоритмы, воспроизводящие такие профили с помощью сплайн функций тучностью до разрешающих способностей графических устройств современных компьютерах. Выполнение профиля калибрующий поверхности близким к теоретическому (особенно для долота большого диаметра со смещенными осями шарошек) может повысить стойкость инструмента за счет уменьшения потери диаметра в процессе переработки долота.

Предложенный алгоритм даёт возможности на базе известной и достаточно рутинной методики расчета элементов зубчатого вооружения разработан автоматический алгоритм расчета вооружения венца, требующий от конструктора только заполнения частицы исходных данных и последующей визуальной оценки отображенных результатов.

ABSTRACT

To calculate the theoretical profiles of the calibration surfaces of various chisels, effective algorithms have been developed that reproduce such profiles using spline functions with a fatness up to the resolution of graphic devices on modern computers. The profile of the calibration surface is close to the theoretical one (especially for a large-diameter chisel with offset axes of the balls) it can increase the durability of the tool by reducing the loss of diameter during the processing of the bit.

The proposed algorithm makes it possible on the basis of a well-known and fairly routine method of calculating the elements of gear armament, an automatic algorithm for calculating the crown armament has been developed, requiring the designer only to fill in a particle of initial data and then visually evaluate the displayed results.

Ключевые слова: Формообразовании, буровое долота, шарошка, сплайн функция, поверхность, полином, непрерывность, ячейка, производная, дифференциал калибрующий, поверхность, параметр, граничные кривые.

Keywords: Shaping, drill bit, ball, spline function, surface, polynomial, continuity, cell, derivative, calibration differential, surface, parameter, boundary curves.

Потребность современной техники и технологии шарошек буровых долот необычайно расширили диапазон применяемых геометрических форм. В последнее время появились задачи с автоматической реализацией самого процесса формообразования на шарошки буровых с программным управлением, сложной поверхности с учетом требуемой точности геометрии шарошек буровых долот [1,8].

Известно [2]что подготовки геометрической информации применено полиномы Лагранжа, но при решении поставленной задачи проведены очень малом количестве научных исследований а особенно применением обобщенного эрмитового сплайна.

Связи с этим рассмотрим вопросы геометрической информации о конструкции корпуса шарошки буровых долот для его прочностной оценки с использованием метода, обобщенного эрмитового сплайна.

Сплайны является эффективное средство интерполирования. По сравнению с классическим аппаратом приближения многочисленными сплайн. функция обладает нижеследующими важными преимуществами:

1) лучшей сходимостью сплайнов к аппроксимируемым (объекту) шарошкам буровых долот;

2) простотой реализации алгоритмов построения сплайнов на современных компьютеров.

Геометрическое моделирование и определение очертаний внешних поверхностей, определение произвольной точки, получение возможности определения линии пересечения данной поверхности с произвольной плоскостью является одними из наиболее тонких операций в проектировании различных сложных поверхностей таких, как архитектурные формы, обводы самолетов, корпуса судов, теоретический колибрующий поверхность шарошек буровых долот и т.д. Разработка таких математических моделей стала важным этапом при создании систем автоматизированном проектировании шарошек буровых долот на компьютере [3]. Развитие интерактивных методов проектирования с помощью компьютера наряду с разработкой шарошек буровых долот с цифровым, графическим управлением привело к созданию более эффективных методов описания поверхностей. Причем, основной упор делается не на компьютерное изображение поверхности, а на такое ее математическое описание, с помощью которого можно получить либо чертежи, либо блок управления базы данных [4].[

Рассмотрим описание поверхности ᵶ = f(x,y) бикубическими полиномами. Предположим, что линии каркаса поверхности является кубическими полиномами тогда для получения поверхности по заданному линейному каркасу с использованием двумерных сплайнов имеет вид [5]

и после некоторых преобразований уравнение поверхности принимает вид.

Для доказательства выражения (2) каждую сумму (1) напишем через базисные полиномы следующих видов:

 Действительно, из выражения (3) и (6) видно, уравнение (2) соответствует одному из видов поверхности (1), где  граничные функции, которые определяют форму граничных кривых. Они выбираются с учетом обеспечения гладкости поверхности.

Докажем, что выражения (2) сохраняет как непрерывность самой поверхности, так и непрерывность производной на ней при переходе через граничные кривые, чем обеспечивается устойчивость гладкости восстанавливаемой поверхности сложных шарошек буровых долот и технических форм.

Формой поверхности можно манипулировать, изменяя расположение, а, следовательно, и форм граничных кривых, кроме того, можно изменять производные в углах каждой ячейки с тем, чтобы изменять форму граничных кривых, а, следовательно, и форму самой поверхности ячейки [6].

Гладкость всей поверхности определяется порядком гладкости граничных функций и гладкостью стыковки сегментов по смежным границам:

Для непрерывной поверхности достаточно на функции  наложить граничные условия

 (i = 0,1,… n;   j = 0,1,… m).

Фактически форма этих функций совершенно произвольна, пока выполняются эти граничные условия. В простейшем случае граничные функции будут:

При этом граничные кривые тоже непрерывны.

Покажем непрерывность (2) при переходе через линии . Для этого требуется равенство

Действительно, из граничных условий для поверхности (2) получаем

Таким образом

(8)

выражения (8) – уравнения правой стороны ячейки I (Рис.1а,б)

Рисунок 1. Определения граничные условия

(8) – левой стороны ячейки II. Если сравнить (8) и (9) то получим  что требовалось доказать.

Непрерывность поверхности и непрерывность касательной плоскости к ней обеспечивают требования (7) и дополнительные требования:

Граничные кривые здесь имеет непрерывные первые производные. В этом случае поверхность обладает замечательным свойством: наклон касательных векторов поперек граничной кривой зависит только от наклона касательных векторов в углах ячейки поверхности. На основании этого можно утверждать, что две ячейки будут иметь непрерывный наклон касательных поперек разделяющей границы.

Для доказательства непрерывности производных при переходе через линии  поверхности (2) достаточно показать справедливость следующего равенства

Напишем

обеспечивающей граничные условия в виде:

отсюда

Таким образом,

Аналогичным образом можно записать для правой стороны (10)

Если сравнивать (11) и (12), то получим равенство (10). Действительно, можно утверждать, что две ячейки  и  будут иметь непрерывный наклон касательных вдоль линий , разделяющих их границы.

Теперь докажем непрерывность вторых производных

Рассмотрим выражение (2) при одинаковых , например, . По условию вторые производные являются непрерывными для полинома

Поэтому можно написать, что

Таким же образом можно доказывать, что непрерывность поверхности и ее производных при переходе через линии  В процессе проектирования шарошек буровых долот и подготовки производства постоянно возникают задачи о взаимоположение (позиционные задачи о буровых долотах) геометрических объектов, например,:

1. Определение на поверхности точек, нормами в которых образуют заданный угол с некоторым направлением.

2. Определение произвольной точки на поверхности.

3. Определение линий пересечения поверхности с плоскостями прямыми:

а) плоскостями проекции;

в) пучками плоскостей, проходящих через ось проекций;

с) плоскостью общего положения.

4. Определение дифференциальных характеристик поверхности в данной точки.

5. Определение производных по произвольному направлению.

6. Построение произвольного каркаса поверхности.

В дальнейшем при решении перечисленных задач в конкретных примерах берется исходный точечный каркас поверхности, заданной таблицей 1.; значения производных в узлах сетки сведены в таблицах 2,3 и 4 через каркас поверхности производится во всех случаях сплайн-поверхность (2).

Пример 1. Пусть в узлах сетки

при                          с шагом

. Значения функции  заданы в таблице 1.

Таблица 1.

Значения аппликат в узлах поверхности Ƶ

Аппликаты обозначены а_i,j с итогом h_i  0,2; h_j  0,1; i,j 05. Решая системы уравнений (2) и другие определим значения производных в узлах сетки. Дале таким же образом можно вычислить  на линиях .

Таким образом, настоящей статье разработана нижеследующие теоретические и практические задачи с помощью сплайн функции в автоматизированном режиме:

1. Алгоритмы геометрического конструирования шарошек долот и их вооружения ТИ и ГИДС.
2. Методика автоматизированного конструирования шарошек буровых долот, с помощью сплайна, обеспечивающая выход на САПР и схема конечного результата проектирования.
3. Предложена графические алгоритмы построения конструкторских схем и ортогональных чертежей.

Таким образом арсенал технологий и средств измерения ГДИС существенно богаче, чем ТИ, где преобладают измерения устьевых параметров, также с общей с ТИ задачей, по количественной оценке, характеристик текущего состояния скважины ГДИС используются четыре параметра. Для определения оптимального параметра применена сплайн функция.

Действительно для материального объема справедливы все фундаментальные законы сохранения в пористой среде.

Поскольку процессы, изучаемые при ГДИС, в начальном (первом) приближении являются изометрическими, наиболее важную роль в теории метода играют уравнения, описывающие закон хранения массы (уравнение неразрывности) и количества движения [7,9].

Ввиду дифференциального (бесконечного малого размера) пористости по сравнению с геометрическими размерами скважины, коллектора и напряжений каждой точки долота предложенной приближение (сплайна) достаточно хорошо описывает происходящие в пласте и долоте процессы.

Выводы

1. Для расчета теоретических профилей калибрующих поверхностей различных долот разработаны эффективные алгоритмы, воспроизводящие такие профили с помощью сплайн функций точностью до разрешающих способностей графических устройств современных компьютерах. Выполнение профиля калибрующей поверхности близким к теоретическому (особенно для долота большого диаметра со смещенными осями шарошек) может повысить стойкость инструмента за счет уменьшения потери диаметра в процессе переработки долота.
2. Предложенный алгоритм построения схемы развертки шарошек теоретического профиля как для долот с пересекающимися, так и со скрещивающимися осями шарошек обеспечивает получение соответствующих конструктивных схем в автоматизированном режиме, служащих основной всех дальнейших построений.

Предложенный алгоритм даёт возможности на базе известной и достаточно рутинной методики расчета элементов зубчатого вооружения разработан автоматический алгоритм расчета вооружения венца, требующий от конструктора только заполнения частицы исходных данных и последующей визуальной оценки отображенных результатов.

Список литературы:

1. Ю.С. Завьялов и др. Сплайны в инженерной геометрии. –М.: Машиностроение, 1985. С. 224
2. Ю.Х.Ахмедов, И.И.Тошев, Ш.Атавуллаев. Геометрическое моделирование шарошек буровых долот с использованием САПР. В журнале Развитие науки и технологий, №4., 2021. С. 27-34
3. П.В.Юрковский. К вопросу автоматизированного конструирования колибрующих поверхностей трех шарошечных буровых долот с пересекающимися осями шарошек Тр. Мишкольского технического университета тяжелой промышленности. Сер А, Т. 36, 1981, с. 111-120
4. Р.Д. Каневская. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта. М.: Недра, 1999, с. 121
5. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов ее приложения. М.: Мир, 1972. 318с.
6. Х. Азиз, Э.Сеттари. Математическое моделирование пластовых систем. Москва. Ижевск. Институт компьютерных исследований, 2004, с. 416
7. М.И. Кременецкий, А.И. Ипатов. Гидродинамические и промыслово-технологические исследования скважин. –М.: МАКС Пресс, 2008. С. 476
8. Sharipov K.K., Toshev Sh.O., Yamaletdinova A.A. Thermo- and Salt-Resistant Drilling Fluids Based on Polymineral Clays of Uzbekistan. European Journal of Molecular & Clinical Medicine ISSN 2515-8260 Volume 07, Issue 07, 2020, Page No. 825-833.
9. Sharipov K.K., Bozorov J.T. Key factors reducing energy consumption in gas supply. Earth and Environmental Science 839 (2021) 042083