МОДЕЛИРОВАНИЕ ШИРИНЫ СТРУИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНОЙ ВЯЗКОСТИ

АННОТАЦИЯ

В работе приводится методика, где масштаб турбулентности в однопараметрической модели А.Н. Секундова определен способом аналитических уравнений, которой используется для вычисления ширины струи. Для численной реализации уравнения пограничного слоя записаны в физических переменных и решены численно. Определены распределения осевой скорости и турбулентной вязкости, профили осевой, радиальной скоростей, турбулентной вязкости в различных радиальных сечениях.

ABSTRACT

In the work, a technique is carried out, where the scale of turbulence in the one-parameter model of A.N. Sekundova is determined through analytical equations, which is used to calculate the width of the jet. For numerical implementation, the boundary layer equations are written in physical variables and solved numerically. The distributions of axial velocity and turbulent viscosity, profiles of axial, radial velocities, turbulent viscosity in various radial sections are determined.

Ключевые слова: турбулентная струя, изотермическое течение, масштаб турбулентности, дифференциальное уравнение для турбулентной вязкости, пограничный слой, угол расширения струи, численное решение.

Keywords: turbulent jet, isothermal flow, turbulence scale, differential equation for turbulent viscosity, boundary layer, jet expansion angle, numerical solution.

Введение

Турбулентное перемешивание и распространение свободных турбулентных струй в спутном потоке широко распространено в химико-технологических процессах пищевой промышленности. Особую важность приобретает определение границ движения в тепло- и массообменных процессах в вышеуказанных отраслях, которые в основном происходят по правилам распространения турбулентных струй газов.

Теории и моделированию турбулентных течений посвящено множество работ [1; 2; 12; 6]. При моделировании турбулентных течений возникает задача определения турбулентной вязкости.

Среди таких моделей – так называемые дифференциальные модели с одним уравнением, которые показали, что на практике модели относительно турбулентной вязкости предпочтительнее, чем другие модели.

История этих моделей начинается с работ Ни и Коважного [12].

В [6] было получено дифференциальное уравнение для коэффициента турбулентной вязкости, который достаточно прост и доступен для анализа, описывает достаточно широкий класс неавтомодельных турбулентных течений в следующем виде:

                        (1)

Как видно из уравнения (1), и здесь имеется коэффициент  представляющий масштаб турбулентности. Как указано в [6], в свободных потоках в уравнении (1) влиянием последнего члена можно пренебречь, так как масштаб турбулентности  считается большим. Но все-таки, если в расчетах это значение вычисляется, его тоже можно учесть.

В работе [11] с использованием эмпиризма и аргументов размерного анализа, галилеевой инвариантности и селективной зависимости от молекулярной вязкости построено уравнение переноса для турбулентной вязкости. Эта модель построена таким образом, что здесь не требуется задавать масштаб турбулентности. Используя этих уравнения, были исследованы различные процессы турбулентных течений.

Работа [5] посвящена численному моделированию с использованием моделей турбулентности, включающих дифференциальное уравнение для турбулентной вязкости. Проведены численные расчеты для автомодельных течений в дозвуковой струе и пограничном слое. Для масштаба турбулентности были использованы комбинации градиентов скоростей.

Дифференциальное уравнение турбулентной вязкости применено и в других течениях, например при горении [3; 9], в других течениях [10].

Как видим, в приведенных работах использованы различные подходы к получению масштаба турбулентности. Если решать уравнения в физических координатах для струи, приходится определить значения для расширения струи в различных радиальных сечениях. Если он определен, тогда его можно использовать как пути смещения или как масштаб турбулентности. На этой статье сделана попытка определения этого значения для стационарного течения плоской турбулентной струи.

 Методика

Рассмотрим турбулентную струю изотермического газа, истекающего из круглого сопла радиусом  и распространяющегося в спутном потоке того же газа. Тогда за математическую модель этого процесса можно принять систему дифференциальных уравнений в приближении теории турбулентного пограничного слоя, которые в безразмерном виде можно записать в виде:

           ,                                       (2)

где   – составляющие вектора скорости вдоль координат  соответственно (координата  направлена вдоль оси канала или струи, а координата  – перпендикулярно ей);

;  – коэффициенты молекулярной и турбулентной вязкости соответственно;

Re – характерное число Рейнольдса, определенное по параметрам изотермической струи.

Для моделирования характеристик турбулентности используем дифференциальную однопараметрическую модель турбулентности, предложенную в [6], записанную в приближении пограничного слоя в виде (1).

В уравнении (1)  – постоянные значения, которые определяются на основе сопоставления решения этого уравнения с экспериментальными данными.

В уравнении (1) значение масштаба турбулентности  для струйных течений принимается как толщина струи [1], и его можно принимать как , а в [8] приводится, что угол расширения струи характеризуется значениями , которые для плоских струй составляют:

где      а – коэффициент, характеризующий влияние турбулентности струй на ее расширение.

При малой интенсивности турбулентности , в среднем для плоских струй при малых  принимают .

Исходя из этого, если принимать , то из  получим , тогда угол расширения  будет равен .

Уравнение прямой линии будет иметь вид , где , b – радиус полуструи, для случая  это уравнение будет иметь вид .

В [7] указано, что угол расширения струи для начального и основного участков различные. Для плоской изотермической струи они равны  и . Это предпочтительнее, так как в начальном участке угол расширения струи меньше, чем в основном.

Используя эти рассуждения, мы для начального участка за длину пути смешения будем принимать значения из , так как в безразмерном виде длина радиуса струи равно 1, а для основного участка , где – ширина струи в конце начального участка.

Таким образом, если каким-то образом удается удержать границы струи в пределах линий, приведенной выше, то эту длину можно использовать в качестве пути смешения при решении уравнения (2).

Результаты

Граничные условия для решения системы уравнений (2) с учетом (1) можно написать в виде:

.                       (3)

Здесь индексом «2» обозначены параметры струи, индексом «1» – параметры спутного потока. Система дифференциальных уравнений (2) с учетом (1), (3) решалась численно с использованием двухслойной, неявной четырехточечной конечно-разностной схемы и методом прогонки с итерациями [4].

На рис. 1 приведены осевая продольная безразмерная скорость (кривая 1), осевая величина турбулентной вязкости (кривая 2) и характерная толщина струи (кривая 3), определенная по точкам, в которых скорость составляет половину максимального значения в сравнении с экспериментальными данными, приведенными в [6].

Рисунок 1. Осевые значения продольной скорости (1), турбулентной вязкости (2) и характерная толщина струи (3), определенная по точкам, в которых скорость составляет половину максимального значения

Поперечные значения продольной скорости и вязкости в сечении  в сопоставлении с экспериментальными данными из работы [3] приведены на рис. 2.

Рисунок 2. Поперечные значения продольной скорости и вязкости в сечении

На рис. 3 приведены поперечные составляющие скорости при и . Видно, что по мере приближения к внешним границам струя вовлекает спутный поток к себе. Когда скорость струи ослабевает, уменьшается и степень вовлеченности спутного потока.

При приближении к концу основного участка расширение струи замедляется, и это подтверждается многими исследователями. Из этого можно сделать вывод, что нахождение границ струи в виде уравнений не соответствует концу основного участка.

Рисунок 3. Поперечные составляющие скорости при и

Заключение

В этой работе сделана попытка определения границы струи с использованием формул, приведенных в литературных источниках. В основном полученные расчетные данные хорошо согласуются с экспериментальными данными. Из сделанных расчетов можно сделать вывод о том, что граница струи приближенно будет прямолинейной, но эта линейность ослабевает по мере приближения к концу струи.

Список литературы:

1. Абрамович Г.Н. Теория турбулентных струй. – М. : Наука, 1984. – 718 с.
2. Белов И.А. Модели турбулентности : учебн. пособие. – Л. : ЛМИ, 1986. – 100 с.
3. Дешко А.Е. Численное моделирование дозвукового горения струи пропана в спутном потоке воздуха // Прикладна гiдромеханiка. – 2015. – Т. 17, № 2. – С. 20–25.
4. Жумаев Ж., Тошева М.М. Моделирование стационарной теплопроводности при свободной конвекции в ограниченном объеме // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. – 2022. – № 4 (97) / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13394.
5. Ларина Е.В., Крюков И.А., Иванов И.Э. Моделирование осесимметричных струйных течений с использованием дифференциальных моделей турбулентной вязкости // Труды МАИ. – 2015. – Вып. № 91. – 24 с. / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.mai.ru/science/trudy.
6. Секундов А.Н. Применение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости к анализу плоских неавтомодельных течений // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. – 1971. – № 5. – С. 114–127.
7. Талиев В.Н. Аэродинамика вентиляции : учебн. пособие для вузов. – М. : Стройиздат, 1979. – 295 с. / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://kitab.ttnda.az/upload-files/books/09/1145/aerodinamika_ventilyacii.pdf.
8. Штеренлихт Д.В. Гидравлика : учебник для вузов. – М. : Энерго-атомиздат, 1984. – 640 с.
9. Jumayev J., Mustafakulov Ya., Kuldashev H. Numerical algorithm for modeling turbulence in a jet with diffusion combustion // IEEE 14th international Conference on Application of information and Communication technologiyes (AICT). – 2020.
10. Jumayev J., Shirinov Z., Kuldashev H. Computer simulation of the convection process near a vertically located source // International conference on information Science and Communikations Technologiyes (ICISCT) (4–6 november 2019). – Tashkent, 2019. – P. 635–638.
11. Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equation turbulence model for
    aerodynamic flows // AIAA Paper. – 1992. – 0439.
12. Victor W. Nee, Leslie S.G. Kovasznay. Simple Phenomenological Theory of Turbulent Shear Flows // The Physics of Fluids. – 1969. – № 12. – P. 473.