ОЦЕНКА КУЧНОСТИ СПОРТИВНОЙ ВИНТОВКИ ПО СРЕДНЕМУ И СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОМУ РАДИУСУ ПОПАДАНИЙ В МИШЕНЬ ПРИ СТРЕЛЬБЕ ГРУППАМИ

АННОТАЦИЯ

С использованием генератора случайных чисел исследованы зависимости ошибки в определении показателей кучности спортивной винтовки от числа выстрелов в группе m и числа групп n при стрельбе группами.

На основе проведённых статистических исследований кучности стрельбы по мишеням построены простые таблицы кучности, позволяющие по количеству выстрелов в группе и количеству групп определить ошибку таких показателей кучности, как средний радиус и среднее квадратичное значение радиуса точек попаданий в мишень.

Полученные таблицы будут полезны для практического использования не только спортсменам, увлекающимся стрельбой по мишеням, но и охотникам и любителям спортивной стрельбы, желающим правильно оценить кучность своих винтовок.

ABSTRACT

Using a random number generator, the dependences of the error in determining the accuracy of a sports rifle on the number of shots in group m and the number of groups n when shooting in groups were investigated.

Based on the conducted statistical studies of accuracy of target shooting, simple accuracy tables are constructed that allow determining the error of accuracy indicators such as the average radius and the average quadratic value of the radius of the points of hits to the target by the number of shots in a group and the number of groups.

The resulting tables will be useful for practical use not only for athletes who are fond of target shooting, but also for hunters and sports shooting enthusiasts who want to correctly assess the accuracy of their rifles.

Ключевые слова: показатель кучности, генератор случайных чисел, спортивная винтовка, оценка кучности, таблица кучности.

Keywords: accuracy index, random number generator, sports rifle, accuracy score, accuracy table.

Кучность спортивной винтовки является одним из самых важных ее качеств. Очень популярным показателем кучности винтовки является экстремальный размер группы [1,2,4,5,9,11,17]. Однако, наряду с простотой и другими достоинствами, у него есть и недостатки, такие как невысокая информативность и большая чувствительность к максимальным отклонениям пробоин. В этом плане большей информативностью и устойчивостью обладают показатели среднего радиуса R_cp и среднего квадратичного размера радиуса RSD точек попадания в мишень, поскольку они учитывают не только крайние, но и все остальные пробоины [5,13,14]. Более сложная структура показателей R_cp и RSD, трудности с их измерениями и вычислениями до недавнего времени были препятствием к их применению, несмотря на большую информативность и точность, однако с появлением программ сканирования и обработки мишеней типа GRT, On Target TDS, subMOA Pro [15,22] проблема расчета этих показателей перестала существовать, что увеличило перспективы их использования. В связи с этим стала актуальной задача планирования оценки кучности по более информативным показателям. Рассмотрим особенности указанной задачи и возможные способы ее решения.

Распределение пробоин по мишени носит вероятностный характер. Соответственно, кучность - это статистический показатель, имеющий вероятностные границы, связанные с количеством выстрелов и выбранной доверительной вероятностью оценки.

Допустим, по 10 выстрелам получена выборочная точечная оценка среднего радиуса попаданий 0.5 МОА. Понятно, что формулировка «кучность равна 0.5 МОА» будет неправильной, потому что мы не знаем, что она равна 0.5 МОА, мы лишь имеем результаты одного отстрела с оценкой 0.5 МОА, то есть, одно из возможных значений кучности из некоторого вероятного диапазона. Повторив стрельбу много раз, мы увидим, что каждый раз следующая оценка кучности будет отличаться от первой. Вычислив дисперсию этой оценки по многим опытам, мы увидим, что статистическая ошибка в определении кучности для 10 выстрелов с доверительной вероятностью 0.9 составляет, например, 20%. Тогда истинное значение кучности лежит в диапазоне (0.4-0.6) МОА. Учитывая, что заход за нижний предел 0.4 это хорошо, можно опустить его. Тогда полная формулировка будет звучать так: «по 10 выстрелам мы с вероятностью 90% уверены, что кучность винтовки не хуже 0.6 МОА». Это, конечно, не значит, что такая винтовка. Это значит, что количество выстрелов недостаточно, чтобы уверенно говорить о ещё лучшей кучности. Добавив ещё 10 выстрелов, мы сузим диапазон неопределенности и сможем сказать: мы на 90% уверены, что по результатам обработки 20 выстрелов истинное значение кучности лежит в диапазоне (0.45 - 0.55) МОА.

Если мы вместо 10 выстрелов будем делать 2 серии по 5 выстрелов, оценка кучности изменится, значения, полученные по 10 выстрелам одной серией и по 5 выстрелам двумя сериями окажутся несопоставимы. Таким образом, величина показателя и точность его оценки оказывается связанной со структурой и количеством выстрелов.

Целью данной работы являлось исследование доверительных интервалов распределения пробоин на мишени и создание простого способа оценки кучности стрельбы по показателям R_cp и RSD при стрельбе группами в зависимости от числа выстрелов в группе m и числа групп n.

Средний радиус точек попадания R_cp определяется как среднее отклонение точек попадания (пробоин) относительно выборочной средней точки попадания (СТП). СТП группы определяется несколькими известными способами [20,21]. Для определения кучности с высокой достоверностью необходимо произвести большое число выстрелов. Но если много стрелять в одну мишень, зона попаданий на мишени превратится в одно сплошное пятно, и замерить все радиусы точек попадания не будет никакой возможности. Выходом из этой ситуации является стрельба группами по разным мишеням. При этом возникает вопрос, как объединять результаты выстрелов, полученные на разных мишенях? При объединении мишеней по общей точке прицеливания трудностей не возникает. Они просто накладываются одна на другую, после чего пересчитывается общая СТП и от неё рассчитываются расстояния до каждой пробоины. Но, например, в бенчресте, или при перенастройке прицела после каждой группы, или при изучении мишеней с неполной информацией общей точки прицеливания как бы не существует, она неизвестна. Для такого случая математически корректная задача состоит в объединении координат пробоин на всех мишенях с совмещением по их выборочным СТП, пересчету радиусов по новой совместной СТП и постоянной коррекции общей СТП и радиусов по мере добавления все новых групп. Однако такая задача содержит неопределенность интервала нахождения истинного значения СТП и главное, совершенно непрактична в использовании. Поэтому мы выбрали более простой и более практичный показатель кучности, такой как «средний средних» радиусов или «среднее средних» квадратичных радиусов, получаемых простым сложением этих радиусов по каждой группе и делением суммы на количество групп.

Для решения поставленной задачи мы приняли предположение, что распределение пробоин на мишенях подчиняется двумерному нормальному распределению, или распределению Рэлея [6,7,8,10,19].

Сумма средних радиусов каждой группы подчиняется теореме Чебышева [3,20], в соответствии с которой выборочное значение суммы средних радиусов, делённое на количество членов суммы, с увеличением числа групп n стремится к его математическому ожиданию, а дисперсия среднего радиуса стремится к 0. Заданным значениям m и n соответствует заданное значение дисперсии среднего радиуса. При этом коэффициент вариации v зависит только от числа выстрелов в группе m и числа групп n [1,2,18]. Это позволяет создать простые таблицы кучности, по которым можно в зависимости от числа выстрелов в группе m и числа групп n определять точность показателя R_cp, или по точности показателя R_cp планировать количество групп m и число выстрелов в группе n.

Наши исследования с применением генератора случайных чисел [1,2,8,19,12] показали, что ошибка в определении истинного значения показателя R_cp больше зависит от общего числа выстрелов, чем от числа выстрелов в группе.

На рис. 1 приведены зависимости показателя R_cp от количества групп в серии n при различных значениях выстрелов в группе m (рис.1а) и от общего количества выстрелов k (рис.1б). Закономерности поведения функций R_cp(k) при разных m похожи. Функции R_cp(m, n) стабилизируются примерно к 15-20 выстрелам.

Рисунок 1. Зависимость R_cp от общего количества групп в серии n (а) и от общего числа выстрелов (б)

Однако само значение показателя R_cp зависит от количества выстрелов m в группе. Полученные значения показателя R_cp при разном количестве выстрелов в группе m несопоставимы между собой и могут сравниваться только c использованием коэффициентов приведения.

На рис. 2 приведены зависимости СКО (дисперсии) показателя R_cp от общего количества групп в серии n (рис. 2а) и общего количества выстрелов k (рис. 2б). Сходимость функций к низкой дисперсии достигается примерно за 10-30 выстрелов [5,9,11,17,24].

Динамика изменения показателя R_cp и дисперсии хорошо наблюдается на рис. 3, где представлены данные об изменении численных значений R_cp для 100 независимых циклов испытаний по 50 серий в каждом для серий по 2 выстрела (рис.3а) и для серий по 10 выстрелов (рис.3б). С ростом числа выстрелов в группе в диапазоне до 10-30 выстрелов дисперсия R_cp резко уменьшается, а затем переходит в стадию все более медленного нелинейного уменьшения. При этом для начального периода испытаний с ростом m характерно уменьшение дисперсии.

Рисунок 2. Зависимость дисперсии (СКО) показателя R_cp от общего количества групп в серии n (а) и общего количества выстрелов k (б)

Рисунок 3. Случайные реализации показателя R_cp для 100 независимых испытаний в зависимости от количества серий выстрелов при m = 2 (a) и m = 10 (б)

На основе указанных исследований разработана простая таблица кучности, связывающая точность определения показателя кучности R_cp c числом выстрелов в группе m и числом групп n (табл. 1).

Таблица 1.

Взаимосвязь ошибки оценки показателя R_cp с числом выстрелов в группе и числом групп

Вторым показателем кучности мы рассматриваем средний квадратичный размер радиусов RSD относительно СТП. Он более сложный и в большей степени учитывает влияние наиболее удаленных пробоин, чем показатель R_cp. Задача решается аналогично предыдущей, только в качестве суммируемых данных фигурирует показатель RSD каждой новой выборки и выполняются необходимые преобразования на каждом шаге суммирования.  

Сумма квадратов радиусов подчиняется той же закономерности, что и сумма средних радиусов. На рис. 4 приведены зависимости показателя RSD от общего количества групп в серии n (рис. 4а) и общего количества выстрелов k (рис. 4б).

Рисунок 4. Зависимость показателя RSD от числа серий (а) и от общего количества выстрелов k (б)

Такие же закономерности мы видим в поведении среднего квадратичного отклонения (рис.5) и динамики зависимости дисперсии показателя RSD от количества выстрелов в группе и количества серий (рис.6).

Рисунок 5. Зависимость дисперсии (СКО) показателя RSD от количества серий n (а) и общего количества выстрелов k (б)

Рисунок 6. Случайные реализации показателя RSD для 100 независимых испытаний в зависимости от количества серий выстрелов при m = 2 (a) и m = 10 (б)

Табл. 2 является аналогом табл. 1 и содержит данные о необходимом количестве групп выстрелов для обеспечения заданной точности по показателю RSD.

Таблица 2.

Взаимосвязь ошибки оценки показателя RSD с числом выстрелов в группе и числом групп

Какие выводы мы можем сделать из проведённых исследований?

Сравнение показателей R_cp и RSD показывает, что они ведут себя во многом схоже. Информативность показателей примерно одинаковая. Показатель RSD демонстрирует более высокую сходимость по точности, но вместе с тем, он более сложный в расчетах и менее понятный в интерпретации. Поэтому на данном этапе исследований мы бы не отдавали предпочтения показателю RSD.

Нужно обратить внимание, что для достижения высокой точности показателей R_cp и RSD необходимо нереально большое количество выстрелов. Даже для достижения не самой высокой точности 5% требуется около 150 выстрелов. Поэтому мы не советуем стремиться к очень высокой точности и екомендуем оптимальный диапазон ошибки 10-20%, соответствующий 10-30 выстрелам.

Стремиться к высокой точности не стоит также из-за того, что при разработке модели сделан ряд предположений о распределении пробоин, которые в действительности могут быть не совсем точны в области низких вероятных диапазонов. Достигнуть высокой точности показателей кучности R_cp и RSD и быть уверенным в ней возможно только при специальных исследованиях кучности с очень большим количеством реальных выстрелов после их тщательной статистической обработки.

Меньше 10 выстрелов мы бы также не рекомендовали из-за слишком большой ошибки.

Используя таблицы, мы можем делать разные утверждения. Реальность состоит в том, что истинное значение кучности с заданной доверительной вероятностью расположено между двумя числами. Но, как мы думаем, учитывая, что выход за нижний предел - это хорошо, лучше записать односторонний предел, например: мы на 80% уверены, что кучность не хуже чем R_cp·(1 + k·v) МОА. На наш взгляд, односторонний предел будет восприматься стрелками легко и однозначно. Но и это не все предложения.

Мы хорошо понимаем, что стрелки, будучи конкретными людьми, тяготеют к детерминистическому мышлению, им непонятен и некомфортен сам факт представления кучности неким расплывчатым диапазоном. Они хотят видеть одну цифру. Второе, что они хотели бы делать, это не тратить слишком большое количество боеприпасов на оценку кучности. Идя навстречу их желаниям, мы предлагаем считать минимально достаточной точность 20% и вводим три показателя - R3, R5 и R10. Для получения оценки кучности R3, R5 и R10 нужно будет на выбор отстрелять соответственно 4 серии по 3 группы, 2-3 серии по 5 групп или 1 серию из 10 выстрелов. Если будет выполнено одно из этих условий, то можно будет сказать, что кучность, например, R5 = 0.5 МОА. То, что она определена с ошибкой 20% при доверительной вероятности 0.8 можно по умолчанию опустить. Думаем, такое предложение устроит стрелков. Значения кучностей, определенные по разному числу выстрелов в группе, будут несопоставимы между собой. Коэффициенты приведения к группе 5 будут иметь следующие значения: k_5/3 = 1,01 и k_5/10 = 0,90 для показателя R_cp·; k_5/3 = 1,09 и k_5/10 = 0,94 для показателя RSD. Для ещё большего упрощения мы бы предложили один показатель R5 и 3 группы по 5. Можно, наконец, пойти ещё дальше и предложить определять кучность по 10 выстрелам, сделанным в любой конфигурации групп.

Наиболее часто используемыми для оценки кучности спортивных винтовок являются группы по 3, 5 или 10 выстрелов. Хотя мы допускаем, что практические соображения могут внести свои коррективы.

ПРИМЕР 1. Определим по табл. 1 количество групп при стрельбе группами по 5 для оценки кучности с ошибкой не хуже 15%. Заходим в табл. 1, по пересечению точности 15% и числу выстрелов в группе 5 видим соответствующее им цифру количества групп, равную 5. Отстреляв 5 групп по 5, мы получили, например, оценку кучности 0.5 МОА. Прибавляя к этой цифре 15%, мы получаем, что оценка кучности не хуже 0.58 МОА. Или оценка 0.5 МОА с точностью 15%.

ПРИМЕР 2. Определим общее количество выстрелов для оценки кучности с точностью 10%. Заходим, например, в табл. 2 и по требуемой точности 10%, определяем серий и количество выстрелов. Для группы с m=7 находим, что требуется выполнить отстрел 6 серий, что соответствует 42 выстрелам; для группы с m=6 находим, что требуется выполнить отстрел 7 серий, что так же соответствует 42 выстрелам. При выполнении отстрелов группами по 5 выстрелов получаем, что необходимое количество групп равно 7, а общее количество выстрелов уменьшается и равно 35. Выбор для последующих испытания типа групп, обеспечивающих минимальное необходимое количество выстрелов, позволяет оптимизировать процесс испытаний.

Выводы

1. Проведены исследования ошибок оценки показателей кучности R_cp и RSD с помощью генератора случайных чисел в зависимости от числа выстрелов в группе m и числа групп n.
2. Выявленные закономерности позволили создать простые и понятные таблицы для оценки точности показателей кучности R_cp и RSD в зависимости от числа выстрелов в группе и числа групп.
3. Созданные таблицы могут быть использованы в качестве основы стандарта или сертификата оценки кучности спортивных винтовок, а также охотниками и любителями спортивной стрельбы.
4. Предложено упростить оценку кучности введением стандартов R3, R5 или R10, не требующих записи интервалов при соблюдении требований по числу выстрелов в группе и числу групп.

Список литературы:

1. Богословский В. Н., Кадомкин В.В. Метод оценки кучности нарезного гражданского оружия // Universum: технические науки. - 2022.-№11(104)
2. Богословский В. Н., Кадомкин В.В., Жуков И.Г. Показатели кучности нарезного гражданского оружия // Universum: технические науки. - 2022.-№11(104)
3. Вентцель Е. С. Теория вероятностей; Учебник для вузов.  - 6-е изд. - М.: «Наука», 1999 - 576с.
4. ГОСТ 25291–82 Винтовки малокалиберные произвольные. Основные параметры и общие технические требования // [Электронный ресурс] URL https://standartgost.ru/g/%D0%93%D0%9E%D0%A1%D0%A2_25291-82?ysclid=la1jj6kwr2345870310 (Дата обращения 03.11.2022)
5. Group Sizes & Statistics By «Joe B.» // [Электронный ресурс] URL www.castpics.net https://castpics.net/subsite2/GeneralReference/ GroupSizesandStatsbyJB.pdf (Дата обращения 03.11.2022).
6. Двумерный закон распределения случайной величины //Wikipedia [Электронный ресурс] URL www.wikipedia.org . (Дата обращения 20.10.2022).
7. Двухмерное нормальное распределение // Bstudy.net [Электронный ресурс] URL www.bstudy.net. (Дата обращения 20.10.2022).
8. Дроздова И. И., Жилин В. В. Генераторы случайных и псевдослучайных чисел // Технические науки в России и за рубежом: материалы VII Междунар. науч. конф. (г. Москва, ноябрь 2017 г.). — Москва: Буки-Веди, 2017. — С. 13–16. — URL: https://moluch.ru/conf/tech/archive/286/13233 . (Дата обращения: 20.10.2022).
9. Geladen. Разбросало кучу // www.geladen.livejournal.com. [Электронный ресурс] URL https://geladen.livejournal.com/tag/%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%B0%D0%BB%D0%BE%20%D0%BA%D1%83%D1%87%D1%83. (Дата обращения 20.10.2022).
10. Законы распределения случайных величин [Электронный ресурс] URL ru.wikipedia.org (Дата обращения 03.11.2022).
11. Записки Флинта: два, три, четыре, пять…// Оружейный форум [Электронный ресурс] URL https://guns.allzip.org/topic/2/483355.html . (Дата обращения 20.10.2022).
12. Кадомкин В.В. Применение численных методов в теории надежности систем защиты: Учебно-методическое пособие / Кадомкин В.В., Журавлев, С. И., Трубиенко О.В. - М.: МИРЭА – Российский технологический университет, 2020 -144с.
13. Наставление по стрелковому делу. Основы стрельбы из стрелкового оружия. -М.: Военное издательство, 1984 -177с.
14. Наставление по стрелковому делу СВД // [Электронный ресурс] URL https://coollib.com/b/224033/read?ysclid=la1jcem2fs500788041 (Дата обращения: 03.11.2022).
15. OnTarget TDS // [Электронный ресурс] URL https://ontargetshooting.com/ontarget-tds (Дата обращения 03.11.2022)
16. Официальная мишенная система //Арсенал-Инфо. [Электронный ресурс] URL https://arsenal-info.ru/b/book/1407702771/14 . (Дата обращения 20.10.2022).
17. Chris Long, AKA techshooter. Статистический анализ размера групп // 6mmbr.com [Электронный ресурс] URL https://forum.accurateshooter.com/threads/group-analysis.3888603. (Дата обращения 20.10.2022).
18. Связь полярных координат с прямоугольными // Matematicus.ru. net [Электронный ресурс] URL www.matematicus.ru . (Дата обращения: 20.10.2022).
19. Слеповичев И.И. Генераторы псевдослучайных чисел //Studylib. [Электронный ресурс] URL https://studylib.ru/doc/6222742/slepovichev-i.i.-generatory-psevdosluchaynyh-chisel-2017-1 . (Дата обращения: 20.10.2022).
20. Статистика для стрелков. PrecisionRifleBlog.com [Электронный ресурс] URL .https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.en.6a7bfd3b-63594fb5-3f36a848-74722d776562/https/precisionrifleblog.com /2020/12/12/measuring-group-size-statistics-for-shooters. (Дата обращения: 20.10.2022).
21. Статистические оценки параметров генеральной совокупности //Высшая математика для заочников и не только [Электронный ресурс] URL http://mathprofi.ru/matematicheskaya_statistika.html . (Дата обращения: 20.10.2022)
22. TARAN. Инструкция по эксплуатации // Guns@Ptosis [Электронный ресурс] URL guns.ptosis.ch. (Дата обращения 20.10.2022).
23. Bryan Litz. Accuracy and Precision for Long Range Shooting: A Practical Guide for Riflemen. Applied Ballistics LLC, 2011.-578 p.
24. Choosing the most accurate ammunition is probably. Jeroen Hogema May 2006/April 2019 // [Электронный ресурс] URL info@sport-shooters-OTS.com (Дата обращения 03.11.2022)