ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РАСЧЕТОМ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассмотрено на основе геометрии многомерных пространств создание геометрического аппарата линеаризации замкнутых гиперповерхностей второго порядка окружающих начало координат применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий. Разработан алгоритм формирования линеаризованной дискретной модели условия пластичности, предложены способы и алгоритмы аппроксимации гиперповерхностей второго порядка вписанными и описанными полиэдрами. Методика расчета пасущей способности оболочки развита и обобщена за счет введения автоматической процедуры оптимальной линеаризации условия пластичности: независимо от формы условия текучести отыскивается минимальное число граней вписанных и описанных полиэдров, что обеспечивает расчет несущей способности с заданной точностью.

ABSTRACT

In this article, based on the geometry of multidimensional spaces, the creation of a geometric apparatus for the linearization of closed hypersurfaces of the second order surrounding the origin of coordinates is considered in relation to calculations of the bearing capacity of coating shells. An algorithm for the formation of a linearized discrete model of the plasticity condition is developed, methods and algorithms for approximating second-order hypersurfaces by inscribed and circumscribed polyhedra are proposed. The technique for calculating the shearing capacity of a shell has been developed and generalized by introducing an automatic procedure for the optimal linearization of the plasticity condition: regardless of the form of the yield condition, the minimum number of faces of inscribed and circumscribed polyhedra is found, which ensures the calculation of the bearing capacity with a given accuracy.

Ключевые слова: многомерных пространств, конструирование, гиперповерхность, оптимальной линеаризации, конечно–разностные уравнения, аппроксимация, топологическое преобразование, дискретный модель.

Keywords: multidimensional spaces, construction, hypersurface, optimal linearization, finite-difference equations, approximations, topological transformation, discrete model.

Реальное проектирование конструкций связано с их аппроксимацией. Среди различных формулировок задач оптимизации [1] с практической точки зрения наибольший интерес представляет задача об отыскании конструкции наименьшей условной стоимости (массы) при заданной несущей способности. Такая постановка задачи требует многократного решения задачи предельного равновесия, поэтому к алгоритму отыскания несущей способности предъявляются высокие требования в отношении быстродействия.

Один из наиболее эффективных путей ускорения решения состоит в линеаризации исходной нелинейной задачи, тогда для решения могут быть применены методы линейного программирования [1,2,3,4,5]. Такая линеаризация требует замены нелинейной выпуклой поверхности  вписанным или описанным полиэдром.

Известно [41,122], что оценка, полученная на основе точной поверхности текучести, заключена между оценками, найденными с помощью внешнего и внутреннего приближений. Задача состоит в том, чтобы выбрать полиэдр, гарантирующий заданную точность решения. Понятно, что увеличение числа граней улучшает аппроксимацию точной поверхности, но при этом существенно увеличивается размер задачи линейного программирования.

В настоящей работе разыскиваются полиэдры с минимальным числом граней, приводящие к заданной точности решения задачи предельного равновесия. Поскольку при этом требуется рассматривать различную форму и разное число граней, основу работы составляет процедура автоматического построения выпуклых многогранников, вписанных и описанных вокруг некоторой поверхности  также автоматическое формирование матрицы задачи линейного программирования.

Основное внимание было обращено на разработку процедуры членения, одинаковой для вписанного и описанного полиэдров. Оказалось, что достаточно удобный способ состоит в выборе точек на исходной поверхности, которые одновременно являются вершинами вписанного полиэдра и точками касания граней описанного полиэдра. Такой способ может быть применен не только для гладких, но и для кусочно-гладки поверхностей текучести, имеющих ребра и вершины.

Пусть материал оболочки следует условию текучести Мизеса, которое в без моментной постановке с учетом принятых обозначений  n_x=N_xN_o^-1; n_y=N_y N_o^-1;     n_xy=N_xyN_o^-1; =fb;      e=hf^-1;      p= _o^-1q  имеет вид

                                          (1)

Для оболочки с пологостью  = 0,2 и относительной толщиной e = 0,05 на рис.1 представлены результаты вычислений нижней границы равномерной предельной нагрузки при различном числе граней вписанного (линия 1) и описанного (линия 2) полиэдров. Для вычислений была использована программа на совместных компьютерах, в программе предусмотрено обращение к библиотечной подпрограмме линейного программирования SIMPLEX. Результаты вычислений представлены в табл.1.

Рисунок 1. Представлены результаты вычислений нижней границы равномерной предельной нагрузки при различном числе граней вписанного (линия 1) и описанного (линия 2) полиэдров

Таблица 1.

Результаты вычислений

Б рассмотренном примере обе приближенные оценки быстро сходятся к точной, и уже при числе граней М, разница между приближенными оценками не превышает 5 %, Хотя каждая из приближенных оценок отличается от точной лишь на 2 - 2,5 %, тем не менее анализу должна быть подвергнута именно разность между обеими приближенными оценками, так как в общем случае точная оценка считается неизвестной. Отметим, что в рассмотренном примере приближенные оценки сходятся к оценке  .

Программа автоматической линеаризации, с помощью которой получены представленные здесь результаты, увеличивает число граней полиэдра до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. что четное число граней (линия 2) приводит к лучшей аппроксимации точной поверхности,, из рис.2 видно, что четное число граней (линия 2) приводит к лучшей аппроксимации точной поверхности, чем нечетное (линия 1) на 1/4 часть. [6]

Рисунок 2. Что четное число граней (линия 2) приводит к лучшей аппроксимации точной поверхностию

Для получения общей характеристики сходимости приближенных оценок несущей способности оболочек к точной оценке будем далее рассматривать результаты, полученные только для четного числа граней вписанных и описанных полиэдров (рис.3) в зависимости от целевой функции.

Теперь рассмотрим переход от без моментной постановки задачи к моментной. Взамен первого уравнения равновесия n_x=N_xN_o^-1; n_y=N_y N_o^-1; n_xy=N_xyN_o^-1;=fb; e=hf^-1; p= _o^-1q  имеем

                      (2)

где:

Условие текучести (2) примет вид

                 (3)

Переход к моментной постановке задачи требует построения вписанных и описанных полиэдров в шестимерном пространстве внутренних усилий   Размер матрицы задачи линейного программирования при этом заметно увеличивается, однако не настолько, чтобы привести к принципиальным затруднениям:

Рассмотрим условие пластичности Мизеса для оболочек из равно сопротивляющегося материала в виде (4) то есть в моментной постановке. Известно [4], что (3) представляет собой гиперповерхность второго порядка в Е⁶ пространстве. После некоторых преобразований (3) принимает следующий вид:

(4)

Рисунок 3. Полученные только для четного числа граней вписанных и описанных полиэдров в зависимости от целевой функции

                           (5)

Сопоставлением (5) и (3) можно получить следующие значения полуосей гиперэллипсоида [5]

a = 1,41; b' = 0,58, С = 0,82, d = 1,41;е =0,58, f=0,82.

В целях линеаризации гиперэллипсоида (5) произведем преобразования вида (4) и получим численным способом координаты (вершин) узлов сетки на гиперэллипсоида. Они имеют вид: [4]

;

                                        (6)

Или   

;

                              (7)

Пользуясь выражениями (6), получим ряд дискретных упорядоченных точек в Е⁶ пространстве, удовлетворяющих условиям и

Результаты вычислений приведены в табл. 2.

Таблица 2.

Результаты вычислений

Итак, мы имеем коэффициенты граней секущих или касательных полиэдров, которые являются элементами главной матрицы матрица условия пластичности в задаче линейного программирования, которое в свою очередь вычисляет нижнюю границу несущей способности оболочек покрытий. Полученные результаты вычислений представлены на рис. 4.

Рисунок 4 Это нижний предел несущей способности поверхности оболочки

Полученные здесь нижние оценки несущей способности оболочки, а также результаты работы [1] позволяют предположить, что в большинстве практических расчетов приемлемая точность может быть достигнута уже при небольшом числе граней. При этом гарантией достоверности служит одновременное построение вписанного и описанного полиэдров. Тем не менее, могут встретиться и такие случаи расчета, когда заданная точность достигается при большом числе граней. Поэтому описанная методика линеаризации оформлена как подпрограмма и может входить в состав любого пакета для однопараметрических или оптимизационных расчетов оболочек.

Подход, описанный здесь, позволяет с одинаковых позиций рассматривать не только регулярные, но и кусочно-гладкие условия текучести, например, условия с "ограниченным взаимодействием" [2] .

Список литературы:

1. Ковалев С.Н., Петрова А.Т. Вопросы координатного преобразования пространства. – В кн.: реферативная информация о научно-исследовательских работах в Вузов УССР. Прикл. Геом.и инж. Графика, вып.2, Изд-во Вищф школа, Киев, 1978, с.13-14.
2. Ахмедов Ю. " The use of digital technology in the computer-aided design of surfaces for architectural and construction ornaments and technical forms." Journal  For Innovative  Development  in Pharmaceutical  and  Technical  Science ISSN(O):  2581-6934For Volume-4, Issue-03,Mar-2021 in JIDPTS International Journal
3. Ахмедов Ю. Journal  For  Innovative  Development  in Pharmaceutical  and  Technical  Science ISSN(O):  2581-6934For Volume-4, Issue-03, Mar-2021 in JIDPTS International Journalwww.econferenceglobe.com Hosted from Telavi,Georgia on 17th -18th March, 2021 129-134
4. Ахмедов Ю.Х. Автоматическая аппроксимация односвязных гиперповерхностей полиэдрами применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий.: дисс... Кандидат технических наук, К.:, 1985,-202с.
5. Махмудов М. Ш. Автоматическая линеаризация выпуклых гиперповерхностей и несущая способность оболочек //Universum: технические науки. – 2022. – №. 2-1 (95). – С. 34-37.
6. Махмудов М.Ш. Обобщенный эрмитовый сплайн в Е⁴ пространстве // Universum: техническиенауки:электрон.научн.журн.2022.3(96).URL:https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13297 (дата обращения: 21.04.2022).
7. Махмудов М. Ш. Элементы гиперсетей и их взаимопринадлежность //Polish Science Journal.-Warsaw. – 2020. – №. 9. – С. 30.
8. Махмудов М. Ш. Использование многомерного пространства в графоаналитическом описании многофакторных событий и процессов // Международный журнал Orange Technologies. – Т. 2. – №. 10. – С. 124-127.
9. Махмудов М. Ш. Построение гиперсети с использованием метода конечных разностей в пространстве E⁴ //JournalNX. – 2020. – Т. 6. – №. 11. – С. 238-239.