МЕТОД ОЦЕНКИ КУЧНОСТИ НАРЕЗНОГО ГРАЖДАНСКОГО ОРУЖИЯ

 

АННОТАЦИЯ

В статье представлен авторский метод оценки кучности нарезного гражданского оружия по «таблице оценки кучности», который мы предлагаем внедрить как один из стандартов.  Проведен анализ различных показателей кучности, и на основе статистических моделей кучности описан предложенный метод оценки кучности при использовании в качестве показателя кучности D среднего значения максимального расстояния d между пробоинами в каждой группе выстрелов:

,

где: n - количество групп.

Проведенные многофакторные статистические расчеты кучности стрельбы с использованием генератора случайных чисел позволили предложить точные, простые и понятные стрелкам таблицы кучности, позволяющие по результатам стрельбы группами оценить точность показателя кучности, или по заданной точности выбрать количество выстрелов в группе и количество групп. Статья полезна спортсменам, занимающимся стрелковым спортом, охотникам, а также всем любителям стрельбы из нарезного оружия.

ABSTRACT

The article describes the author's method for assessing the shot grouping of rifled civilian weapons. The analysis of various indicators of shot grouping was carried out, and on the basis of statistical models of shot grouping, the proposed method for assessing accuracy was described using the average value of the maximum distance d between holes in each group of shots as an indicator of shot grouping D:

,

where n is the number of groups.

Based on the multifactorial statistical calculations of the shot grouping using a random number generator, simple and understandable tables of shot grouping for shooters were proposed, which allow, based on the results of firing in groups, to evaluate the accuracy of the shot grouping indicator, or, according to a given accuracy, select the number of shots in a group and the number of groups.

The article is useful for athletes involved in shooting sports, hunters, as well as all lovers of rifle shooting.

 

Ключевые слова: показатель кучности нарезного гражданского оружия, метод оценки кучности, таблица кучности, выборка, генеральная совокупность, статистические распределения, генератор случайных чисел.

Keywords: accuracy index of rifled civilian weapons, accuracy assessment method, accuracy table, sample, general population, statistical distributions, random number generator.

 

По данным Росгвардии, в России официально зарегистрировано 6,5 млн единиц оружия, которым владеют 3,7 млн физических лиц. Из них почти миллион граждан имеют нарезное оружие. А в мире владельцев нарезного оружия сотни миллионов. И все они, без сомнения, хотели бы знать точность и кучность своего оружия.

Точность и кучность – два показателя, которые необходимы для оценки результатов стрельбы по целям [1]. Точность – это мера того, насколько близко выстрелы располагаются от точки прицеливания, или предполагаемой точки попадания, или центра мишени. Кучность – это то, насколько плотно выстрелы по мишени группируются друг к другу. Оценка кучности нарезного гражданского оружия – задача, актуальная для спортсменов, занимающихся стрелковым спортом, а также для охотников и многочисленных любителей стрельбы из нарезного оружия. В этой статье мы описываем практичный и понятный метод оценки кучности, доступный каждому стрелку. Разработанная на основе многофакторных статистических исследований таблица позволяет оценивать точность определения показателя кучности по количеству выстрелов в группе и количеству групп.

В практике спортивной стрельбы различают кучность ствола, патрона, винтовки, стрелкового комплекса, стрелка, а также кучность стрельбы с учетом влияния ветра и других внешних условий. В дальнейшем мы будем для определенности говорить о кучности винтовки.

Грубую оценку кучности ствола и винтовки с использованием заводских патронов делают при разработке, создании, испытаниях и приемо-сдаточном контроле гражданского оружия. При этом производители применяют свои профессиональные методы оценки кучности, основанные на результатах большого объема отстрела, преследующего свои задачи отработки и приемки оружия. Тонкая настройка кучности конкретной винтовки с использованием специально снаряженных патронов обеспечивается уже владельцем оружия. Поэтому оценка кучности доступным методом представляет большой интерес для стрелков. Им нужен вызывающий доверие, простой, удобный и практичный метод обработки мишеней, не требующий сложных вычислений не очень понятных им статистических показателей.

В стрелковом спорте, где кучность очень высокая, для повышения различимости пробоин, как правило, стреляют малыми группами по разным мишеням. При этом размер группы часто определяют как максимальное расстояние d между центрами наиболее удаленных пробоин [12]. Кучность винтовки D на основе значения d для каждой группы можно принять как среднее значение d по всем группам:

,

где: n - количество групп.

Кроме указанного значения d, при оценке кучности оружия применяют и другие показатели: среднее квадратическое отклонение между пробоинами SD, срединное вероятное отклонение, средний радиус группы R_ср, медиана, круговое вероятное отклонение Р₅₀, Р₉₀, Р₉₅, Р₉₉, Р₁₀₀, показатели D₅, D₁₀ [7, 8, 10, 11, 15, 17]. Показатель d, несмотря на меньшую информативность, выделяется среди всех своей надежностью и простотой: стрелкам остается всего лишь точно измерить максимальное расстояние между центрами или краями пробоин в каждой группе и вычислить среднее между группами.

Целью нашей работы было создание простых и понятных стрелкам таблиц кучности на основе оценок интервала нахождения показателя D(n) в зависимости от числа выстрелов в группе m и числа групп n.

Предлагаемый метод оценки кучности не зависит от выбранного показателя и его конкретного математического выражения, дает надежный результат при применении ко всем указанным выше показателям кучности. Мы выбрали показатель D(n) для дальнейших исследований как пример одного из наиболее часто применяемых показателей кучности в стрелковом спорте. Можно обсуждать научность этого показателя, можно спорить, почему пробоины всех групп не объединяются в общую статистику и почему выбрана сумма, а не стандартное отклонение, можно показывать, сколько информации теряется при учете всего двух крайних пробоин, сомневаться, репрезентативны ли малые выборки спортивной стрельбы группами для построения достоверных статистических моделей, и т. д. Просто мы пошли навстречу стрелкам, которые применяют показатель d, выбрали практичность и решили для них эту задачу. Согласитесь, очень удобно измерить максимальное расстояние между центрами или краями пробоин в каждой группе, потом вычислить среднее между группами и по таблице оценить вероятный диапазон кучности. Все другие обработки мишеней более трудоемкие, менее надежные и требуют специальных знаний.

В практике стрельбы широко распространена точечная оценка показателя кучности, то есть представление его одним числом независимо от количества выстрелов. Однако кучность по определению – статистический показатель, мера разброса точек попадания, вызванного случайными факторами. А значит, точечная оценка кучности может оказаться далеко от истинной. Случайная природа этого показателя указывает, что правильнее находить интервал, который в зависимости от количества выстрелов в группе и количества групп с определенной вероятностью накроет истинное значение кучности.

Проведенная нами обработка множества реальных мишеней показала, что при небольшом числе выстрелов одному и тому же распределению пробоин могут соответствовать разные законы распределения: равномерный, нормальный, с особым распределением. С увеличением числа выстрелов большая часть представительных групп статистических распределений пробоин на мишенях приближается к нормальному, иногда (при очень высокой кучности) – ближе к равномерному закону.

Кроме того, работа с реальной статистикой выстрелов выявила проблему формирования больших однородных выборок. Основной метод математической статистики состоит в том, что для изучения генеральной совокупности из неё производится выборка, состоящая из элементов, которая хорошо характеризует всю совокупность (свойство представительности). В стрельбе же мы имеем дело с очень ограниченными выборками, по которым нет гарантии, что они получены в однородных условиях. По ним зачастую сложно не только выявить закон распределения генеральной совокупности, но даже оценить принадлежность элементов к одной статистической группе. 

Эту проблему мы решили, применив генераторы случайных чисел с распределениями, полученными из реальных выборок. С помощью генератора случайных чисел мы можем задать любой закон распределения пробоин на мишени, соответствующий реальному, сформировать любые ограничения, и также можем дополнить реальную статистику. Применение генератора случайных чисел также решает проблему случайных больших отрывов (флайеров) пробоин, вызванных не статистической природой однородной группы выстрелов, а одномоментным влиянием внешних сил, резко увеличивающих максимальное расстояние между пробоинами. Учитывая, что при большом количестве однородных пробоин выборочная статистика чаще всего проявляет себя как нормально распределенная, или точнее, как распределение Рэлея, рассмотрим решение задачи на примере двумерного усеченного нормального закона распределения. Но отметим, что предлагаемый метод применим при любом другом распределении.

Выберем модель рассеивания пуль. Представляя физическую картину выстрела, мы понимаем, что источником рассеивания пуль в разных направлениях и с разной скоростью является дульный срез ствола. Поэтому привязка центра рассеивания пуль к оси ствола более естественная, более близкая к физической сути реального процесса, чем представление их рассеивания в прямоугольных координатах. Однако, с математической точки зрения, в каких исходных координатах представлять пробоины на мишени – это вопрос чисто математических операций, поскольку декартова система координат легко преобразуется в полярную систему координат и наоборот.

Приведем известные формулы нормального закона распределения пробоин на мишени для двумерной математической модели рассеяния в декартовых координатах [2, 3, 4] и для распределения Рэлея в полярных координатах [13]. Непрерывная система случайных величин (х, у), распределенная по нормальному закону и описывающая случайное распределение пробоин на мишени, имеет совместную плотность распределения:

   (1)

Если случайные величины х и у некоррелированы, а значит независимы (r_ху = 0), то выражение (1) примет вид:

                 (2)

где: f(х)  — нормальный закон распределения случайных величин х с параметрами т_х, σ_x, и f (у) — нормальный закон распределения случайных величин у с параметрами т_у, σ_y.

В геометрической интерпретации совместная двумерная нормальная плотность распределения в координатах (х, у) представляет собой поверхность с одним экстремумом (рис. 1), вершина которого находится над точкой (т_х, т_у) плоскости (х 0 у). Оси симметрии эллипса, центр которого находится в точке (т_х, т_у), образуют с осью (0 х) углы α и α + π/2 (рис. 1) определяемые из условия:

                                            (3)

 

Рисунок 1. (a) Геометрическая интерпретация двухмерного распределения случайных величин (х, у) и (б) представление их эллипса рассеивания на плоскости (х 0 у)

 

Если координатные оси совпадают с осями симметрии эллипса рассеивания, то уравнение эллипса рассеивания будет иметь простейший (канонический) вид. В соответствии с рис. 1, для приведения уравнения эллипса к каноническому виду достаточно перенести начало координат в точку (т_х, т_у), а координатные оси повернуть на угол α. В преобразованной системе координат (x’0’y') система случайных величин (х', у') будет выражаться через исходную систему случайных величин (х, у) формулами:

                                        (4)

В новых осях (x’0' у') каноническая форма нормального закона системы случайных величин (х', у’) имеет вид:

                               (5)

где  σ'_х и σ_y' называются главными средними квадратическими отклонениями:

 

                                    (6)

Найдем вероятность попадания случайной точки (х, у), распределенной по нормальному закону с параметрами т_х = т_у = 0; σ_х; σ_у в эллипс рассеивания, центр которого совпадает с началом координат, а полуоси а_х и а_у

пропорциональны средним квадратическим отклонениям σ_х и σ_у (а_х — ка_х; а_у — ка_у) и направлены по координатным осям. Уравнение эллипса В_к будет иметь вид:

                                                      (7)

Вероятность попадания случайной точки (х, у) в эллипс рассеивания будет равна:

                  (8)

Двумерное нормальное распределение называется круговым с центром в точке (т_х, т_у), если случайные величины х и у некоррелированы (r_ху = 0). В этом случае эллипс рассеивания превращается в круг и случайные величины остаются независимыми при любом выборе системы декартовых координат, т. е. при любом повороте координатных осей.

Найдем интеграл (8), перейдя от декартовой системы координат (х, у) к полярным координатам , которые больше подходят для описания физики процесса выстрела (рис. 2).

 

    

Рисунок 2. (а) Прямоугольная система координат и (б) полярная система координат

 

Преобразуем прямоугольные координаты (х, у) в полярные координаты (r, ϕ) с помощью уравнений связи:

           

;                             (9)

Рассмотрим случайную величину с координатами (х, у), распределенную вокруг начала координат (0, 0) по круговому нормальному закону: т_х = т_у = 0, σ_х = σ_у  = σ. Введем в рассмотрение величину R₁ — расстояние от случайной точки (х, у) до центра рассеивания. Вероятность того, что случайная точка (х, у) попадает внутрь круга с радиусом r определяется по формуле (10) при k = r/σ:

 (10)

Функция распределения случайной величины R₁ = r будет равна:

                                            (11)

Соответственно, плотность распределения случайной величины R₁ = r будет равна:

                                      (12)

Закон распределения случайной величины R₁ (11, 12) называется законом Рэлея, зависящим от одного параметра r. Можно доказать следующее утверждение: если расстояние R₁ от начала координат до точки (х, у) подчинено закону Рэлея с параметром r, а угол ϕ распределен равномерно в интервале от 0 до 2π и не зависит от случайной величины R₁, то система случайных величин (х, у) имеет нормальное круговое рассеивание с параметрами:  

т_х = т_у = 0; σ_х = σ_у = σ                                                  (13)

Вероятность того, что пуля попадет в круг с радиусом r, в центре которого находится точка прицеливания, в полярных координатах будет равна:

                                                  (14)

Соответственно, вероятность того, что из n независимых выстрелов хотя бы одна пуля попадет в круг радиусом r_п будет равна:

                                    (15)

Формулы (14, 15) могут быть использованы в практике дальнего выстрела по гонгам и для оценки вероятности попадания в круг мишени радиусом r. Если стрельба корректируется, выстрелы нельзя считать независимыми, и тогда формула (15) будет описывать худший случай. При необходимости для зависимых выстрелов также может быть представлена формула оценки вероятности поражения цели (мишени, гонга) радиусом r.

Обратим внимание, что функции (10–15) в нашем примере зависят только от параметра k. Формулы (1–15) создают основу решения задачи определения кучности винтовки при нормальном распределении пробоин на мишени и сохраняют логику решения для любых распределений.

Теперь решим задачу оценки кучности винтовки на основе приведенных выше формул (1–15) с помощью генератора случайных чисел [6, 9, 14] с объемом выборки 100 000 случайных пар чисел, достаточной, чтобы получить необходимую точность оценки параметров генеральных совокупностей. В простейших случаях можно усеченный закон распределения в прямоугольных координатах формировать прямоугольником, а в полярных координатах кругом. В более сложных случаях усечение задается системой неравенств.

Обозначим количество выстрелов в группе m, а количество групп n. Оценим распределение максимального расстояния между пробоинами d по одной группе выстрелов (n = 1) при различном количестве выстрелов в группе (m = 2, 3, 4, 5...) Для этого последовательность случайных пар чисел с данными для координат (х, у), обозначающих пробоины в мишени относительно центра попаданий (х 0 у), преобразуем в последовательность случайных групп по m = 2,3,4,5…. Затем в каждой последовательности случайных групп рассчитаем расстояние между точками (центрами пробоин) а_i, i = 1….m, найдем максимальное расстояние d = max{ а₁…a_m}  и сформируем новые последовательности случайных значений максимального расстояния между пробоинами d. На практике все значительно проще: размер d замеряется напрямую. Но мы вынуждены проделать все необходимые математические операции, чтобы вычислить скалярную величину d и определить закон ее распределения через исходные координаты точек пробоин(х, у).

Функция распределения случайных величин d_m= max { а₁…a_m}, как известно [18], равна F_dm (x) = (F_a1(x))^m . Фрагмент такой последовательности приведен на рис. 3 (а) для числа пробоин в группах m = 3,4 и 5. Гистограммы распределений d для m = 2, 3, 4, 5 приведены на рис. 3 (б).

 

 

Рисунок 3. (а) Фрагмент последовательности случайных величин d для числа пробоин в группе 3, 4 и 5, и числа групп 36, и (б) гистограммы распределения максимального расстояния между пробоинами d для одной группы (m = 1) из 2, 3, 4 и 5 пробоин в группе

 

Видно, что случайные значения максимального расстояния между пробоинами d в каждой последовательности с m = 3, 4 и 5 в статистических опытах имеют очень большой разброс, соизмеримый с выборочным средним значением d. То есть, по любой одной группе m и по одному значению d для m < 5 невозможно с высокой достоверностью определить кучность D (m,1) ни по трем, ни по четырем, ни по пяти пробоинам в группе. Более или менее представительная статистика начинается с одной группы в 10 выстрелов. Математическое ожидание D (m, 1) растет при увеличении числа выстрелов m в группе примерно как корень из m, и на рис 4 (а) оно максимально в группе из m = 10 выстрелов.

 

          

Рисунок 4. (а) Отношение D(m)/ D(3),  для m = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, и (б) зависимость коэффициента вариации v,% от общего количества выстрелов при различных m

 

Группа по 10 отличается, например, от совмещенной на мишени суммы групп 3, 3 и 4 тем, что в последнем случае не учитываются перекрестные расстояния между пробоинами разных групп. Оценки кучности D(n), полученные с разными значениями m, являются несопоставимыми и поэтому должны быть приведены к какому-то стандарту. Например, к кучности при m = 3, тогда для m = 2 коэффициент примерно 0.72, для m = 4 коэффициент 1.16, для m = 5 коэффициент 1.26 и т. д. (рис. 4, а). Эти коэффициенты для m = 1…10 приведены в таблице 1.

Коэффициент вариации v (n) показателя кучности D (n) зависит от количества общих выстрелов в большей степени, чем от количества выстрелов в группе. У нас получился для практики примерно одинаковый результат по общему числу выстрелов с m> 2 независимо от числа выстрелов в группе m (рис. 4, б) при небольшой тенденции уменьшения общего числа выстрелов при увеличении m в области m> 2.

Поскольку d как функция случайных координат пробоин (х, у) и случайных величин а_i, d = max{ а₁…a_m} тоже является случайной величиной, то и показатель кучности D(n) при заданном числе n, как среднее суммы случайных величин d,  также является случайной величиной, стремящейся к математическому ожиданию величины d при увеличении n в соответствии с предельной теоремой Чебышева [19]. При этом с увеличением n показатель кучности D(n) все более приближается к нормальному закону распределения. В нашем случае случайные величины d и D имеют усеченные распределения, так как они являются положительными и, кроме того, ограничены сверху предельным углом направления полета пули из практики стрельбы. Так как у нас случайные величины d в сумме D(n) взяты из одной генеральной совокупности, у них совпадает математическое ожидание µ и дисперсия σ².

Пусть µ = E[X_n] и σ² = var(x_n) < ∞. В соответствии с законом больших чисел [5] вероятность P того, что среднее арифметическое D(n) = S_n/n отклонится от математического ожидания µ на уровень больше, чем t, где t любое сколь угодно малое число, сводится к нулю при n → ∞:

P (│S_n/n − µ│> t) → 0 при n →∞                                       16)

S_n/n → µ                                                          (17)

var (S_n/n) =1/ n² ∙  var (S_n) =1/ n² ∙ (var (x₁) + ... + var (x_n)) =

=1/ n² ∙ nσ² = σ²/ n                                                      (18)

На основании этого мы примем выборочное значение D(n) равным математическому ожиданию d и значение дисперсии равным нулю при n → ∞.    При определенном значении n математическое ожидание суммы случайных величин МD = µ находится в интервале D (m, n) - t < МD < D (m, n) +t, t = kv, а стандартное отклонение равно коэффициенту вариации v, умноженному на выборочное значение среднего: σ (m, n) = v (m, n) х D.  

Мы хотели бы обратить внимание на один важный вопрос, из неполного понимания которого у некоторых стрелков сформировалось представление, что для получения узкого интервала вероятного нахождения среднего значения скорости пули или кучности необходимо большое количество выстрелов. Возможно, причина в том, что обычно оценку доверительных интервалов делают с помощью общепринятых таблиц коэффициентов Стьюдента. Но статистика Стьюдента не делает никаких предположений в отношении именно нашей выборки [16]. Кроме того, генеральное распределение отождествляется с нормальным законом, что также предполагает получение больших значений критических точек и необоснованное расширение интервала неопределенности. В довершение ко всему сказанному, для оценок доверительных интервалов по Стьюденту часто берется доверительная вероятность 0.95 или даже 0.99, явно избыточная по отношению к таким и без того неопределенным по концам распределений выборкам, как группы пробоин на мишени. Для сужения интервала неопределенности без потери точности мы использовали в расчетах взятые из практики конкретные закономерности и ограничения, которым подчиняются данные испытаний по стрельбе. В области небольших выборок пробоин на мишени, имеющих существенные особенности, мы определили коэффициент вариации v (m, n) прямым расчетом параметров генерации случайных чисел для стандартного распределения µ = 0 и σ = 1 для различных  m и n с последующим пересчетом и усечением системой ограничений. На основе последовательности случайных значений распределения d для n = 1, 2, 3, 4, 5 … были рассчитаны случайные последовательности значений показателя кучности D(n) при различном количестве пробоин в группе m. На рис. 5 (а) приведены графики вероятных случайных событий показателя кучности D(n) для группы из 3-х выстрелов от 1 до 100 групп в серии n.

 

 

Рисунок 5. (а) Зависимость вероятных событий показателя кучности D(n) для трех пробоин в группе от количества групп в диапазоне n = 1–100 и (б) Зависимость коэффициента вариации v (n) от n

 

Зависимость коэффициента вариации v (n) показателя кучности D (m, n) от числа групп n в области нашего диапазона n примерно описывается степенной зависимостью (рис. 5, б), обратно пропорциональной корню из n, как это и следует из уравнения (18).

При большом числе реализаций случайных чисел D (m, n) в каждом сечении n выборочные средние значения D (m, n), стандартные отклонения σ (m, n) и коэффициенты вариации v (m, n) приближаются к генеральным показателям этих распределений в сечениях (m, n).   Поэтому, если мы уже знаем генеральное значение коэффициента вариации v (n), нам не нужно определять вероятный интервал нахождения величины D (n) специальными методами интервальных оценок по выборочным значениям ограниченой выборки среднего D (n) и стандартного отклонения σ (n) в сечении n [16].  При достаточно большом количестве случайных величин D (n) в сечении n интервал нахождения случайной величины D (n) определяется прямыми соотношениями: D (1 - k v) < M(D) < D (1 + k v). То есть, для оценки интервала неопределенности достаточно выборочного значения D (m, n) по результатам отстрела, количества выстрелов в группе m и количества групп n. Это существенный момент в разработке нашего метода оценки кучности винтовки, отличающий его от предшествующих работ [1, 15]. Мы установили, что замена статистических показателей ограниченной выборки реальных отстрелов на показатели генерального распределения, полученного путем моделирования, не ухудшает, а в большинстве случаев улучшает интервальные оценки показателя кучности, особенно в диапазонах малых выборок в силу высокой неопределенности выборочных значений статистических показателей. Мы посчитали, что для такой внутренне неопределенной задачи, как оценка показателя кучности винтовки,  достаточно для упрощения принять симметричный интервал и взять вероятность р = 0.8 нахождения случайной величины D (n) в диапазоне {(1 – kv), (1 + kv)}, хотя не исключаются р = 0.5, р = 0.95, р = 0.99 и другие интервалы, если в этом возникнет необходимость.

Построив статистическую модель оценки кучности винтовки и получив распределения d (m) и D (m, n) при различных m и n, мы смогли провести исследование рассеивания показателя кучности D (m, n), определить диапазон, соответствующий вероятности нахождения в нем случайных величин D (m, n) и установить, какое количество групп нужно сделать для оценки показателя D с требуемой точностью при различных значениях m и n.

На основе произведенных расчетов мы построили различные графики и таблицы, по которым можно определить необходимое количество испытаний для оценки кучности винтовки с ошибкой не хуже kv, или наоборот, оценить ошибку kv определения показателя D по группам проведённых отстрелов.

В силу очень большого размера и количества исследовательских графиков и таблиц мы можем себе позволить привести здесь лишь одну упрощенную «таблицу оценки кучности» для практического применения. Таблица 1 содержит количество групп n, количество выстрелов в каждой группе m и точность определения показателя кучности в зависимости от них. Как этой «таблицей кучности» пользоваться, показано в примерах ниже. Для еще большего удобства планируется разработка приложения для гаджетов.

Таблица 1.

Оценка кучности

		Количество выстрелов в группе
		2	3	4	5	6	8	10
		Коэффициент приведения к стандарту (группа 3)
		0.72	1	1.16	1.26	1.4	1.5	1.59
		Необходимое количество групп для подтверждения оценки точности
		m=2	m=3	m=4	m=5	m=6	m=8	m=10
Требуемая точность оценки кучности, %	50%	2
	45%	3
	40%	3	1
	35%	4	2	1
	30%	5	3	2	1	1
	25%	7	4	3	2	2	1	1
	20%	10	5	4	3	2	2	1
	19%	13	6	5	4	3	2	2
	18%	15	7	5	4	3	2	2
	17%	17	8	6	4	4	3	2
	16%	20	9	7	5	4	3	3
	15%	23	11	8	6	5	4	3
	14%	27	14	11	8	6	4	4
	13%	33	17	13	9	7	5	5
	12%	40	21	17	12	10	8	6
	11%	46	25	20	16	13	10	8
	10%	52	31	23	18	14	10	9
	9%		39	28	22	18	13	11
	8%		44	32	25	21	15	13
	7%		58	42	33	27	20	16
	6%			52	41	34	25	21
	5%					47	35	29

 

Жирным шрифтом в таб. 1 выделен рекомендуемый диапазон для практического планирования стрельбы на кучность 10–25%.

На основе приведенного подхода можно не только решать задачи оценки кучности стрельбы, но и моделировать другие задачи. Например, разработанным методом решаются задача установления отличия групп при разных навесках пороха и глубине посадки пули при настройке винтовки на экстремальную кучность, задача определения вероятного интервала нахождения средней точки попадания (СТП) и количества выстрелов для совмещения точки попадания и точки прицеливания или точки выноса при настройке прицела, задача установления необходимого числа выстрелов для оценки точности винтовки, задача совмещения результатов стрельбы по разным мишеням на одной общей мишени по вероятным СТП и другие задачи. 

ПРИМЕР 1. Оценка кучности винтовки

Рассмотрим решения задачи оценки кучности винтовки Sauer 100 калибром 6.5 Creedmoor, результаты реального отстрела из которой приведены на рис. 6, с помощью таблицы кучности. Стрельба производилась на дистанции 100 метров. Изготовителем винтовки в инструкции было записано «кучность 1 МОА». Линейные размеры d на мишени были переведены в угловые величины МОА пересчетом d = Х, мм/25.4/1.094.

 

                

Рисунок 6. 14 групп по 3 выстрела, полученные при оценке кучности винтовки Sauer 100 на дистанции 100 м

 

Из винтовки было отстреляно 14 групп по 3 выстрела в группе.  В группах по 3 информация теряется лишь об одной пробоине из трех, поэтому информативность оценки кучности приближается к оценке по показателю среднего радиуса. Результаты приведены на рис. 6 и в таблице 2. d – максимальное расстояние между центрами отверстий, переведенное в МОА. Найдем D(n) – показатель кучности винтовки как среднее суммы d по группам, что позволит оценить кучность винтовки по этим 14 группам.

Результаты проведенных испытаний приведены в табл.2. Данные  для 14 групп соответствуют значению D(n) = 0.54 МОА, которая получена сложением максимального размера между центрами пробоин d от 1 до 14 и последующим делением на количество групп (14):

D (14) = (0.29+0.64+1.21+0.29+0.43+0.32+0.43+

0.61+0.98+0.54+0.43+0.59+0.37+0.46)/14=0.54 МОА.

Таблица 2.

Результаты стрельбы на кучность группами по 3

 

В табл. 1 в столбце «m=3» в группе столбцов «Необходимое количество групп для подтверждения оценки точности» находим первую строку, в которой для количества групп указано значение 14. Если соответсвующее значение с количеством групп в столбце отсутсвует, то выбираем данные для ближайшего к нему число групп, которые меньше заданного в испытаниях. Для конкретного примера это строка 13 в блоке расчетных данных. Определяем какая точность соответствует данному количеству групп, для чего выбираем значение из группы «Требуемая точность оценки точности, %», которая находится во втором столбце табл.1 в той же строке, что и найденная ячейка таблицы с количеством групп. Выполяем просмотр по строке влево и видим точность - 14%.

По результатам проведенных испытаний данные в табл.2 для 14 групп было найдено значение D(n) = 0.54 МОА, которое и используем в дальнейшем. К числу 0.54 МОА прибавляем и отнимаем от него 15% полученного значения D(n).  в результате получим два значения: 0.46 и 0.62.

Таким образом, кучность винтовки лежит в диапазоне (0.46–0.62) МОА.

ПРИМЕР 2. Задача планирования оценки кучности

Задача планирования оценки кучности формулируется по образцу: оценить кучность винтовки с точностью 15% при стрельбе группами по 3.

Для решения задачи с указанными параметрами находим в таблице 1 строку со значением 15% и в столбце «количество групп по 3», на пересечении строки находим цифру 11.

Видим, что  для оценки кучности винтовки с точностью +/- 15% нам нужно отстрелять 11 групп по 3 выстрела в каждой группе, итого 33 контрольных патрона, плюс на загрязнение плюс на перестрелку. Итого нужно примерно 40-45 патронов.

ПРИМЕР 3. Планирование оценки кучности с приведением к стандарту группы по 3

В предыдущем примере  стреляли группами по 3, поэтому коэффициент приведения к стандарту 3 равен единице. Но предположим, что принято решение для оценки кучности отстрелять 2 группы по 5 выстрелов в каждой группе. В результате стрельбы получена оценка кучности 0.5 МОА. Для приведения к стандарту группы по 3 выстрела умножаем полученную цифру на 0.8 и получаем  приведенную оценку кучности 0.4 МОА.

Находим в Таблице 1 в столбце группы 5 цифру 2, идем влево по этой строчке, видим, что ей соответствует точность 25%. От 0.4 отнимаем и прибавляем 25%, получаем вероятный диапазон кучности (0.3 – 0.5) МОА.

Как видим, предложенные таблицы позволяют легко и быстро решить задачи, связанные с оценкой кучности без специальных знаний и поэтому подходят не только для спортсменов, но и для стрелков любителей. Надеемся, что применение таблиц кучности положит конец спорам среди стрелков о применении различных методов оценки кучности и окажется полезным как спортсменам, так и любителям высокоточной срельбы. В силу практичности и простоты метода мы бы предложили внедрить его как один из стандартов.

Мы детально исследовали показатель экстремального расстояния между пробоинами d, потому что он один из самых простых в использовании. В следующих работах мы распространим наш метод на более информативные показатели кучности  - медиану, средний радиус, среднее квадратичное отклонение пробоин относительно СТП и другие [15].

Метод оценки кучности по медиане полностью повторяет описанный метод по экстремальному расстоянию между пробоинами d с той лишь разницей, что убираются крайние пробоины, что исключает попадание в статистику грубых отрывов (флайеров). Если в качестве показателя кучности принять не среднее D, а среднее квадратическое отклонение, в алгоритме расчета также мало что изменится, кроме формулы для расчета показателя.

Для профессиональной оценки кучности более информативны показатели среднего радиуса R_ср и стандартного отклонения SD относительно СТП, но они требуют большего количества расчетов.  Средний радиус попаданий определяется по формуле:

R_ср = 1/n ∑ r_i ,

где: r_i - расстояние от выборочного СТП до центра пробоины.   

Метод измерения кучности по среднему радиусу группы R_ср дает информацию о каждом выстреле в группе, а не только о двух худших пробоинах группы, как это имеет место при измерении максимального расстояния между пробоинами d. Этот метод требует более сложных расчетов, поскольку требуется определить выборочный СТП, измерить от него радиусы до каждой пробоины и вычислить значение среднего. Радиусы r, в отличие от скалярной величины d, при совмещении мишеней нельзя просто сложить. Определение СТП группы, определение расстояния от СТП до каждой пробоины и вычисление среднего радиуса пробоин в группе выполняется стандартными способами.

Если мишени накладываются друг на друга, то возникает вопрос, каким образом выполнить их совмещение.  Например, в бенчресте и не ставится задача попасть в центр мишени и можно собрать максимально тесную группу в любом месте. В этом случае более правильно будет совмещение СТП каждой группы.

Если же целью является объединение разных мишеней для повышения представительности выборки, то логично накладывать мишени по их центрам прицеливания. В этом случае результаты расчета показателя R_ср при совмещении мишеней по СТП и центру прицеливания будут несопоставимы.  Не следует забывать, что показатель R_ср не может быть представлен только конкретным числом, как и показатель D, а его истинное значение также с заданной вероятностью принадлежит определенному диапазону значений.

Как и в случае с показателем d, показатель R_ср можно предложить определять при стрельбе как одной, так и несколькими группами. При стрельбе одной группой находим выборочную СТП, определяем  расстояния (радиусы) до центра пробоин r_i и рассчитываем выборочное значение среднего радиуса  R_ср .

Далее в зависимости от количества выстрелов m определяем точность оценки среднего радиуса и вычисляем вероятный интервал нахождения истинного значения.

При стрельбе несколькими группами также используем алгоритм расчета точечной оценки R_ср  одной группы и n групп. Можно применить такое же объединение, как и в случае оценки показателя D, а можно объединить пробоины при совмещении СТП с расчетом «среднего средних» радиусов, или при совмещении центров прицеливания, и в этом случае пересчитать СТП, радиусы r_i и средний радиус R_ср объединенной выборки. Это будут два разных показателя. Далее в зависимости от количества выстрелов в группе m и количества групп n определяем точность оценки среднего радиуса и вычисляем вероятный интервал нахождения истинного значения R_с._р

Оценка кучности по среднему квадратическому отклонению SD требует еще больше математических вычислений, но по алгоритму ничем не отличается от предыдущего случая.

Как определять СТП группы, как определить расстояния от СТП до каждой пробоины, всем известно. Если показатель SD вычисляется от СТП, то формула будет следующей:

Полученный показатель, естественно, отличается от дисперсии R_ср , для которой  формула будет следующей:

.

В случае отстрела нескольких групп объединение результатов идет по схеме предыдущего раздела. Далее в зависимости от количества выстрелов m в группе и количества групп n определяется точность оценки среднего радиуса и вычисляется вероятный диапазон нахождения истинного значения показателя.

В случае доказанных представительными выборками несимметричных распределений пробоин на мишени находятся главные оси распределения и задача оценки кучности решается по каждой главной оси.

Постепенно в своих работах мы опишем, как с применением предложенного метода рассчитываются эти и другие показатели кучности.

Выводы

1. Выбрано и обосновано в качестве основного показателя кучности нарезного гражданского оружия при стрельбе группами по m выстрелов и серией из n групп среднее значение D(n) максимального расстояния di между центрами или краями пробоин в каждой группе выстрелов:

,

где: n - количество групп.  

При этом отмечено, что показатели среднего радиуса и среднего квадратического отклонения более информативны для профессиональной оценки кучности.

2. Предложена методика оценки кучности D нарезного гражданского оружия, позволяющая существенно сократить количество испытаний. Точность оценки D с заданной вероятностью определяется по выборочному среднему D при заданном количестве выстрелов в группе m и заданном количестве групп n без вычисления выборочного среднего квадратического отклонения и проведения интервальных оценок с доверительной вероятностью.

3. Приведена одна из возможных таблиц кучности для р = 0.8, которая удобна для практического применения и позволяет определить необходимое количество выстрелов для оценки вероятного диапазона, в котором находится значение кучности, по соотношению: D (1 - kv) < МD (n) < D (1 + kv), где МD – математическое ожидание величины D, D – полученное стрельбой выборочное значение величины D. Мы бы предложили эту таблицу принять за стандарт оценки кучности нарезного гражданского оружия.

4. Предложено в практической оценке кучности винтовки остановиться на точности 10–25 % и тратить на оценку кучности от 10 до 100 патронов. В ходе дальнейшего настрела винтовки предлагается добавлять результаты и уточнять кучность.

5. Предложенный подход к оценке кучности винтовки с построением таблиц кучности можно распространить на любые распределения пробоин на мишени и на любые показатели кучности, включая средний радиус пробоин относительно СТП, среднеквадратическое отклонение между пробоинами, срединное вероятное отклонение, круговое вероятное отклонение Р50, Р95, Р99, Р100, показатели D5, D10 и другие.

6. Показан алгоритм использования таблицы кучности на примере реального отстрела на кучность спортивной винтовки Sauer 100 калибра 6.5 Creedmoor.

 

Список литературы:

1. Bryan Litz.  Accuracy and Precision for Long Range Shooting: A Practical Guide for Riflemen. Applied Ballistics LLC, 2011.-578 p.
2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей; Учебник для вузов.  - 6-ое изд. - М.: «Наука», 1999 - 576с.
3. Двумерный закон распределения случайной величины //Wikipedia [Электронный ресурс] URL www.wikipedia.org . (Дата обращения 20.10.2022).
4. Двухмерное нормальное распределение // Bstudy.net [Электронный ресурс] URL www.bstudy.net. (Дата обращения 20.10.2022).
5. Доказательство закона больших чисел // DVRKTS [Электронный ресурс] URL https://devrockets.ru/2021/12/04/analitik-dannyx-chast-19-summy-sluchajnyx-velichin-predelnye-teoremy-neravenstva-koncentracii . (Дата обращения: 20.10.2022).
6. Дроздова И. И., Жилин В. В. Генераторы случайных и псевдослучайных чисел // Технические науки в России и за рубежом: материалы VII Междунар. науч. конф. (г. Москва, ноябрь 2017 г.). — Москва : Буки-Веди, 2017. — С. 13-16. — URL: https://moluch.ru/conf/tech/archive/286/13233 . (Дата обращения: 20.10.2022).
7. Geladen. Разбросало кучу // www.geladen.livejournal.com. [Электронный ресурс] URL https://geladen.livejournal.com/tag/%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%B0%D0%BB%D0%BE%20%D0%BA%D1%83%D1%87%D1%83. (Дата обращения 20.10.2022).
8. Записки Флинта: два, три, четыре, пять…// Оружейный форум [Электронный ресурс] URL https://guns.allzip.org/topic/2/483355.html . (Дата обращения 20.10.2022).
9. Кадомкин В.В. Применение численных методов в теории надежности систем защиты: Учебно-методическое пособие / Кадомкин В.В., Журавлев, С. И., Трубиенко О.В. - М.: МИРЭА – Российский технологический университет, 2020 -144с.
10. Chris Long, AKA techshooter. Статистический анализ размера групп // 6mmbr.com [Электронный ресурс] URL https://forum.accurateshooter.com/threads/group-analysis.3888603 . (Дата обращения 20.10.2022).
11. Наставление по стрелковому делу. Основы стрельбы из стрелкового оружия. -М.: Военное издательство, 1984 -177с.
12. Официальная мишенная система //Арсенал-Инфо. [Электронный ресурс] URL https://arsenal-info.ru/b/book/1407702771/14 . (Дата обращения 20.10.2022).
13. Связь полярных координат с прямоугольными // Matematicus.ru. net [Электронный ресурс] URL www.matematicus.ru . (Дата обращения: 20.10.2022).
14. Слеповичев И.И. Генераторы псевдослучайных чисел //Studylib. [Электронный ресурс] URL https://studylib.ru/doc/6222742/slepovichev-i.i.-generatory-psevdosluchaynyh-chisel-2017-1 . (Дата обращения: 20.10.2022).
15. Статистика для стрелков. PrecisionRifleBlog.com [Электронный ресурс] URL .https://translated.turbopages.org/proxy_u/en-ru.en.6a7bfd3b-63594fb5-3f36a848-74722d776562/https/precisionrifleblog.com /2020/12/12/measuring-group-size-statistics-for-shooters/ (Дата обращения: 20.10.2022).
16. Статистические оценки параметров генеральной совокупности //Высшая математика для заочников и не только [Электронный ресурс] URL http://mathprofi.ru/matematicheskaya_statistika.html . (Дата обращения: 20.10.2022)
17. TARAN. Инструкция по эксплуатации // Guns@Ptosis [Электронный ресурс] URL guns.ptosis.ch . (Дата обращения 20.10.2022).
18. Чернова Н.И. «Теория вероятностей. 1 курс ЭФ отделение экономики». Курс лекций //Кафедра теории вероятностей иматематической статистики механико-математического факультета НГУ [Электронный ресурс] URL https://tvims.nsu.ru/chernova/tv/portr.pdf . (Дата обращения: 20.10.2022)
19. Центральная предельная теорема теории вероятностей // Математический форум Math Help Planet [Электронный ресурс] URL mathhelpplanet.com . (Дата обращения: 20.10.2022).