ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РУНГЕ – КУТТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается вариант решения уравнения по методу Рунге – Кутты как способом нахождения нескольких вариантов по предложенным параметрам. Исследование проводилось в представлении аналитической формы с использованием интегрированных операций. В ходе работы выясняется, что данный метод переносится на системы дифференциальных уравнений.

ABSTRACT

The article considers a variant of solving the equation using the Runge-Kutta method as a way to find several options for the proposed parameters. The study was conducted in the representation of an analytical form using integrated operations. In the course of the work, it turns out that this method can be transferred to systems of differential equations.

Ключевые слова: уравнение, решение, метод Рунге – Кутта, функция

Keywords: equation, solution, Runge-Kutta method, function

1. Введение

В настоящее время проведено немало исследований на предмет исследования окружающего мира. Само понятие мира несет в себе как гуманитарный, так и технический аспект, а вместе с этим возникает функциональная зависимость между величинами n_y. Задача исследовательской работы заключается в решении поставленного нами уравнения на примере описания метода Рунге – Кутта.

2. Основной текст статьи

Одной из простых величин, описанных в литературе [4], содержат уравнения произвольной функции первого порядка:

где  y – искомая функция открытого множества, x – переменная с независимой от функции f (x,y)  в следствии как x,y. Но стоит отметить, что при аналитическом решении уравнений для f не станет возможным. Исключением выступает случай с подходящей величиной как это пишут в справочной литературе [5,6], где мы увидим функцию открытого множества.

На сегодняшний день технический прогресс в вычислительной технике дает возможность использовать математические модели для решения тех или иных задач. И одним из методов, использованный в этой работе - Метод Рунге – Кутта, как всецело объединяющий группу модификаций.

Стоит отметить, что применение Метода Рунге – Кутта использовались во многих научных работах [1,7]. Так, в работе Геворкяна М.Н. [2] был применен универсальный метод для решения уравнения Хилла. Для рассмотрения использовалось уравнение следующего вида:

где  u(z) и f(u(z)) выступает как гладкая функция. В ходе решения уравнения через h была обозначена следующая численная сетка:

При решении данного уравнение использовался одношаговый метод, где в первую очередь определялась задача выведения численной схемы, так как необходимо практическое применение.

Также в работе Рыбкова М.В. [8] использовался данный метод при численно решении задач Коши. По мнению автора, в данном уравнении:

Применение методы Рунге – Кутты позволяет получить следующее решение:

где   также представлены как гладкие вещественные. Данный тип уравнения имеет алгоритм устойчивости, благодаря которым возможно построить метод с заданной формой в степени m = 13.

В нашем случае уравнение имеет следующий вид:

Пусть необходимо подобрать решение данного дифференциального уравнения, подходящее под следующее условие: z = z₀ при k = k_0.

Можно предположить, что в рассматриваемой нами области  имеется подходящая частная производная при порядке n. В таком случае решение непрерывная производная до порядка n + 1 будет выглядеть следующим образом:

Предлагаем обозначить –  = . Имея малую h необходимо отбросить в уравнение o , для приближенной искомой:

_.

Для получения точности  мы можем не использовать все члены уравнения и найти производные, входящие в правую часть:

Таким образом получаем,

Для предотвращения громоздкости нашего уравнения ведем операторы:

В таком случае равенства будет иметь следующий вид:

Для подтверждения применения оператора  к функции  получение дифференцированной функции по отношению , предполагая, что z является решением этого дифференциального уравнения.

При написании работы стоит заметить, что нами использовался один из методов Рунге – Кутта.

Безусловно, существуют и другие варианты решения данного уравнения на примере систем первого порядка [1,4,5].

3. Заключение

Таким образом, метод Рунге – Кутта отличается порядком (наличие групп этих методов). Для подробного решения систем уравнений первого порядка можем наблюдать в книгах [3,9.] Отметим преимущество решения уравнений по методу Рунге – Кутта в производительности посредством разделения на части.

Список источников:

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений [Текст], Т.2. М.:ГИФМЛ, 1959. – 620 с.
2. Геворкян М.Н. Применение методов Рунге – Кутты – Нюстрема для решения уравнения Хилла [Текст]// T-Comm – Телекоммуникации и Транспорт, vol. 7, no. 10, 2013, С. 41-43
3. Деккер К Устойчивость методов Рунге – Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений [Текст], Мир. – 1988. – 336 с.
4. Демченко В.В.. Метод Рунге – Кутты решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [Текст] – М.: МФТИ, 2004. – 20 с.
5. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст]. – М.: Наука – Физмалит, 2001. – 576 с.
6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст]. – М.: Наука – Физмалит, 1971. – 576 с.
7. Лихтарников Л.М. Применение методы Рунге – Кутта для решения интегро – дифференциальных уравнений типа Фредгольма [Текст], Ж. вычисл. матем. и матем. Физ., 1967, том 7, №4, С. 895-899
8. Рыбков М.В. Методы Рунге – Кутты первого порядка с согласованными областями устойчивости / М.В. Рыбков. – [Текст]: непосредственный // Молодой ученый. – 2016. – №11 (115). – С. 64-69
9. Тумаков Д.Н. Дифференциальные и интегральные уравнения численные методы решения / Д.Н. Тумаков, К.Н. Стехина [Текст], учебно – методическое пособие. – Казань, 2014. – 35 с.