ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КРОСС ДИФФУЗИИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

АННОТАЦИЯ

В работе исследуется асимптотика автомодельных решений нелинейной системы кросс диффузии, связанной с нелокальными граничными условиями. Получен главный член асимптотики автомодельных решений. Для численного исследования рассматриваемой задачи предложен способ выбора подходящего начального приближения для итерационного процесса. Используя асимптотические формулы в качестве начального приближения для итерационного процесса, произведены численные расчеты и анализ результатов.

ABSTRACT

Asymptotic behavior of self-similar solutions of a nonlinear cross-diffusion system coupled in the non-local boundary conditions is studied in the paper. The main term of the asymptotics of self-similar solutions is obtained. For a numerical study of the problem under consideration, a method is proposed for choosing an appropriate initial approximation for the iterative process. Using asymptotic formulas as an initial approximation for the iteration process, numerical calculations and analysis of the results are conducted.

Ключевые слова: кросс диффузия, критические экспоненты, глобального существование, неограниченные решения, автомодельный анализ.

Keywords: cross diffusion, critical exponents, global existence, unbounded solutions, self-similar analysis.

В настоящей работе исследуются качественные свойства решений нелинейной системы кросс диффузии, связанной с нелинейными граничными условиями

                            (1)

                           (2)

                                        (3)

где     и  - неотрицательные непрерывные функции с компактным носителем в.

Процесс кросс диффузии (перекрестной диффузии) означает, что пространственное перемещение одного объекта, описываемого одной из переменных, происходит за счет диффузии другого объекта, описываемого другой переменной [6].

Модели кросс диффузии встречаются в различных областях естествознания. Например, в физических системах (физике плазмы) [1-3], в химических системах (динамике электролитических растворов), в биологических системах (кросс-диффузионном транспорте, динамике популяционных систем), в экологии (динамике возрастной структуры леса), в сейсмологии – модель Бурриджа-Кнопоффа, описывающая взаимодействие тектонических плит [4-7]. При исследовании биологической популяции и движения тектонических плит активно применяются математические модели с кросс-диффузией [4, 5].

Известно, что системы вырождающихся уравнений могут не иметь классическое решение в области, где . В этом случае изучается обобщенное решение системы (1), имеющей физический смысл в классе

,

и удовлетворяющие системе (1) в смысле распределения [1, 3].

Изучению условий глобальной разрешимости и неразрешимости задачи (1)-(3) при различных значениях числовых параметров посвящено большое количество работ [5-15] (подробно см. в библиографии [6]). Авторы работ [8, 9] изучали условия глобальной разрешимости и неразрешимости по времени решения и установили оценку решения вблизи времени взрыва нелокальной задачи диффузии

                                           (4)

                                     (5)

.                                      (6)

Доказали, что если , то всякое решение задачи (4)-(6) является глобальным.

В работе [10] исследованы следующие задачи

                                        (7)

                                (8)

                                          (9)

Показано, что решение задачи (7)-(8) является глобальным, если . Были получены условия для числовых параметров систем (7)-(9), при которых решение задачи взрывается за конечное время.

Также следует отметить работу [11], в которой исследовалась система (7) со следующими краевыми условиями

Доказали, что , где

, ,

, ,

является критической экспонентой типа Фуджита.

Данная работа посвящена исследованию асимптотики автомодельного решения задачи (1)-(3). Построены различные автомодельные решения задачи (1)-(3) для случая медленной диффузии (), являющиеся асимптотикой решений рассматриваемой задачи. Для численного исследования предлагаются способы выбора подходящего начального приближения для итерационного процесса, сохраняющие качественные свойства задачи (1)-(3). Также сконструирован итерационный процесс и проведены численные расчеты, показывающие быструю сходимость к точному решению.

Система уравнений (1) при   описывает процессы с конечной скоростью распространения возмущений. Уравнения (1) при ,  являются вырождающимися, поэтому задача (1)-(3) допускает обобщенное решение, не имеющее в точках вырождения необходимой гладкости.

Система (1) имеет ограниченные автомодельные решения с компактным носителем следующего вида

                             (10)

где  , , , , а функции  являются решением следующей задачи

                                   (11)

                                               (12)

которая получается после подстановки (10) в (1)-(3) и некоторых упрощений. Рассмотрим следующие функции

                                                (13)

где .

Теорема 1.  Пусть  и ,  тогда решение с компактным носителем системы уравнений (11) при   имеет асимптотику

                                           (14)

где   .

Доказательство. Ищем решение системы уравнений (11) в следующем виде

                                              (15)

где  , ,  - неотрицательные и ограниченные функции,   при . После подстановки (15) в (11) получим следующую систему

        (16)

где  , .

Отметим, что изучение решений последней системы уравнений является равносильным изучению тех решений системы уравнений (11), каждое из которых в некоторой промежутке  удовлетворяет неравенствам:

, .

Покажем, что решения  системы уравнений (16) имеют конечные пределы при . Пусть

                                                 (17)

Тогда систему (16) приведем к виду

Для анализа решений последней системы уравнений рассмотрим следующие вспомогательные функции

где  ,  - действительные числа. Видно, что в соответствующей правой части последнего тождества функций ,  сохраняют знак, т.е. удовлетворяют одно из неравенств

                                             (18)

в некотором промежутке . Допустим, что для функций ,  пределы при  не существуют. Тогда в силу колеблемости функций , , прямая  пересекает бесконечное число раз их графиками на интервале . Но, на интервале  выполняется одно из неравенств (18) и поэтому пересечение их графиков бесконечное число раз невозможно. Следовательно, графики функций ,  пересекают прямую  на интервале  только один раз. Тогда, для функций ,  существует предел при . Следуя (17) для , , имеем

Поэтому необходимо, чтобы

Отсюда, с учетом следующего предельного перехода

,

легко убедиться в том, что ,  при  .

Теперь построим численную схему, основанную на метод конечных разностей. Для этого уравнения система (1) аппроксимируется со вторым порядком точности по пространственным координатам и с первым порядком по t. Построим итерационный процесс, во внутренних шагов итерации значения узлов вычисляются методом прогонки. Известно, что выбор подходящего начального приближения для итерационного процесса в общем случае является основной трудностью численного решения нелинейной задачи. При решении конкретных задач используются функции, отражающие некоторые свойства искомого решения и полученное на основе качественного анализа нелинейной задачи. Эта трудность, в зависимости от значения числовых параметров уравнений, преодолевается путем удачного выбора начального приближения, в качестве которого при вычислениях брались выше установленные асимптотические формулы. На основе выше приведенных результатов были произведены численые расчеты. Ниже приведем численные схемы и некоторые результаты вычислительных экспериментов.

Рассмотрим систему уравнений (1) с начальными данными (3) и краевыми условиями (2) и

Для удобства перепишем систему (1) следующим образом

                                                 (19)

где  , .

Теперь построим равномерную сетку  по  с шагом :

и временную сетку

Построим разностную схему. Для этого используем метод баланса и неявную разностную схему:

             (20)

, ,

                              (21)

                      (22)

                               (23)

где  ,  вычисляются по одной из следующих формул

а)                                                        24)

б)                                                   (25)

Видно, что системы алгебраических уравнений (20) нелинейны относительно  и . Для численного решения таких систем нелинейных уравнений применимы различные итерационные методы. Используем для них метод простой итерации:

                   (26)

где  .

Известно, что итерационные методы требуют подходящего начального приближения, обеспечивающего быструю сходимость к точному решению и сохраняющего физический смысл задач. При этом в качестве подходящих начальных приближений выбираются выше полученные асимптотические формулы.

Значения начальной итерации для каждого шага по времени ,  берутся из предыдущего шага по времени: , . При счете по итерационной схеме задается точность итерации, при которой процесс продолжается до тех пор, пока не выполняются условия

Введем обозначения , . Тогда разностные уравнения (26) можно записать в виде

                                   (27)

где  , , , , , , ,  учитывая формулы (25), определяются следующим образом:

  .

Для численного решения системы алгебраических уравнений (27) применяется метод прогонки. Согласно методу прогонки

                                                 (28)

где   - коэффициенты, которые вычисляются по следующим формулам:

где  . Значения , , ,  находятся из краевых условий (22).

Используя вышеизложенные численные схемы, проведен вычислительный эксперимент. Приведем некоторые результаты численных экспериментов. Шаг сетки достаточно мелкий h=0.05, число узлов N=2500 и точность итерации задается . Счет проводился до t=2 с шагом . В качестве начального приближения для итерационного процесса брались формулы (10), (14).

Рисунок 1. Численное решение задачи (1)-(3) при 

Рисунок 2. Численное решение задачи (1)-(3) при 

Рисунок 3. Численное решение задачи (1)-(3) при 

На рис. 1-3 представлены графики результатов численного решения задачи (1)-(3) при , соответствующей случаю медленной диффузии. При , как следует из асимптотических формул (10), (14) и графиков, перемещение объекта происходит с конечной скоростью. Глубина проникновения диффузионной волны зависит от времени и фронта волны (точка, в которой ,  обращаются в нуль) для каждой среды, находящейся в конечной точке: .

Список литературы:

1. Z. Q. Wu, J. N. Zhao and J. X. Yin, et al., “Nonlinear Diffusion Equations,” World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge: 2001. – 500 p.
2. Арипов М.М. Методы эталонных уравнений для решения нелинейных краевых задач. Ташкент: Фан, 1988. – 189 C.
3. Калашников А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // УМН. – 1987 - т.42. 2 (254) – C.135–176.
4. Murray J.D. Mathematical Biology, 3rd ed., Berlin: Springer, 2002-2003.
5. Malchow H, Petrovskii SV, Venturino E. Spatiotemporal patterns in ecology and epidemiology: theory, models, and simulations. London: Chapman & Hall/CRC Press; 2008.
6. M.A. Tsyganov, V.N. Biktashev, J. Brindley, A.V. Holden, G.R. Ivanitsky, Waves in cross-diffusion systems – a special class of nonlinear waves// UFN – 2007 - vol. 177, issue 3 – P.275-300.
7. Levine, H., The role of critical exponents in blowup theorems// SIAM Rev. - 1990 - 32(2) – P.262-288.
8. Wang S, Xie C H, Wang M X. Note on critical exponents for a system of heat equations coupled in the boundary conditions.// J Math Analysis Applic, - 1998 – 218 – P.313–324.
9. Wang S, Xie C H, Wang M X, The blow-up rate for a system of heat equations completely coupled in the boundary conditions. // Nonlinear Anal – 1999 – 35 – P.389–398.
10. Quiros F, Rossi J D. Blow-up set and Fujita-type curves for a degenerate parabolic system with nonlinear conditions. // Indiana Univ Math J – 2001 – 50 – P.629–654.
11. Zheng S N, Song X F, Jiang Z X. Critical Fujita exponents for degenerate parabolic equations coupled via nonlinear boundary flux.// J Math Anal Appl – 2004 – 298 – P.308–324.
12. Rakhmonov Z. On the properties of solutions of multidimensional nonlinear filtration problem with variable density and nonlocal boundary condition in the case of fast diffusion // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 2016 - 9(2), 236–245.
13. Рахмонов З. Оценки решений нелинейной системы уравнений теплопроводности с переменной плотностью и с нелокальным граничным условием // Вестник НУУз – 2016 - №1(2) – C.145-154.
14. Aripov M.M., Matyakubov A.S. To the qualitative properties of solution of system equations not in divergence form of polytrophic filtration in variable density. //Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics – 2017 - 8(3) – P.317-322.
15. Aripov M.M., Matyakubov A.S. Self-similar solutions of a cross-diffusion parabolic system with variable density: explicit estimates and asymptotic behavior. //Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2017 - 8(1) – P.5-12.