ОБ АНАЛИЗЕ ТОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОВАРИАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ В GNSS ИЗМЕРЕНИЯХ НА ГЕОДИНАМИЧЕСКОМ ПОЛИГОНЕ “ТАВАКСАЙ”

АННОТАЦИЯ

В данной работе приведены данные об оценке точности координат пунктов базисной линии геодинамического полигона “Таваксай”. Изложены вопросы минимизации поправок систем условных уравнений для геодезической сети. Основной акцент делается на первичную обработку результатов ГНСС измерений. Выполнен анализ коэффициентов диагональных элементов ковариационной матрицы по результатам навигационных измерений с помощью навигационного приемника GNSS Trimble R4. Более детально описывается методика исключения грубых ГНСС данных при уравнивании геодезической сети. Построены графики зависимости точности координат от количества геодезических измерений. Рассматривается стохастическая модель тестирования результатов измерений и вычислений прямоугольных координат геодезических пунктов. Предлагается провести исследования массива наблюдений на степень доверия и корреляционные связи между исходными данными.

ABSTRACT

This paper provides data on the assessment of the accuracy of the coordinates of the points of the basic line of the geodynamic polygon “Tavaksay”. The issues of minimizing the amendments of the systems of conventional equations for the geodetic network are set out. The main emphasis is on the primary processing of the results of GNSS measurements in this article. The analysis of the diagonal elements of the covarization matrix was performed according to the results of navigation measurements using the GNSS Trimble R4 navigation receiver. In more detail, the methodology for the exclusion of gross GNSS data when equalizing the geodetic network is described. Graphs of the dependence of the accuracy of the coordinates were built on the number of geodetic measurements. The stochastic model of testing the results of measurements and calculations of rectangular coordinates of geodetic points is considered. It is proposed to conduct a study of an array of observations for the degree of trust and correlation relations between the initial data.

Ключевые слова: уравнивание, след матрицы, точность, ГНСС, базис, СКО, дисперсия, тестирование, геодинамический полигон.

Keywords: adjustment, matrix trace, accuracy, GNSS, basis, RMS, variance, testing, geodynamic polygon.

В [10,13,14] приведены методы навигационных измерений с помощью GNSS приемников на геодезических пунктах, геодинамическом полигоне и основных реперах гидрологических постах Республики Узбекистан. В этих работах основное внимание уделялось исследованию геометрического фактора (DOP), дисперсии измерений, методам оценки точности прямоугольных координат (x,y) в проекции Гаусса-Крюгера и пространственных координат (X,Y,Z) в системе WGS84.

Обычно в традиционных геодезических работах, выполненных с помощью высокоточных теодолитов и нивелиров, систему условных уравнений преобразуют в нормальную систему уравнений путем линеаризации исходной функции F(x,y,h,β), которая зависит от координат пунктов, высот и измеренных углов. При этом важную роль играет избыточность данных (r), которая приводит к увеличению точности вычислений и достоверности результатов наблюдений.

В спутниковых наблюдениях также используется небольшое число приемников для определения координат большого количества станций. Интервал наблюдений может быть варьироваться в зависимости от цели и задачи исследований, а также от размера геодезической сети. Например, для геодезической сети применяется метод быстрого разрешения неоднозначностей, где интервал наблюдений может быть несколько минут. При наблюдении несколько часов или дней, достигается высокая точность для глобальных сетей. Если же будут использованы ГНСС измерения, то необходимо обратить внимание на методы совместного уравнивания спутниковых и традиционных наблюдений, т.к. измерения выполняются относительно разных систем относимости. Предварительное или первичное уравнивание можно произвести по программе, которая встроена в навигационный приемник. Программное обеспечение позволяет выдавать результаты в плоских прямоугольных координатах проекции Гаусса-Крюгера, а также геодезические координаты в сферической геоцентрической системе отсчета относительно определенного эллипсоида [6]. Ограниченное уравнивание выполняется после успешного минимально ограниченного уравнивания для включения вновь построенной сети в существующую сеть, в ее координатную систему. Для этого новая сеть должна быть связана с двумя станциями существующей сети. При свободном или минимально ограниченном уравнивании можно произвести передачу дисперсий для вычисленных расстояний, углов или любых других функций координат. Основная проблема состоит в том, что классические угловые и линейные измерения выполняются с использованием уровня, т.е. ось вращения инструмента приводят к направлению равнодействующего вектора ускорения силы тяжести. Что касается GNSS приемника, то он также устанавливается по цилиндрическому уровню инструмента, но базовой отсчетной системой является общеземной эллипсоид WGS84, который широко используется во всех топографо-геодезических и инженерно-изыскательских работах. Для корректного приведения данных к одной системе координат необходимо знать высоту геоида и параметры перехода между двумя системами координат [8-9].

Целью уравнивания является минимизация значений невязок между теоретическими и измеренными величинами, а также оценка внешней и внутренней точности координат. Для достижения этих целей используются известные методы, имеющие достоверные статистические обоснования.

Теоретическая интерпретация уравнивания базовой линии

В геодезии в качестве базовой линии используют координаты двух фундаментальных или опорных пунктов для решения задач передачи координат на измеренные пункты или контрольные точки, построенные на основе проектирования геодезической сети. Длину базисной линии определяют аналитическими расчетами или же методом трилатерации.

Базовую линию АВ с компонентами в виде вектора можно представить разностью координат между двумя GNSS приемниками [1,2]:

.                       (1)

Этому вектору соответствует матрица  размером 3х3 по главной диагонали.

Рисунок 1. Схема базисной линии между пунктами А и В на полигоне “Таваксай”

Если уравнивание производится в прямоугольных пространственных координатах параметрическим методом, то математической моделью является обычное уравнение в векторной форме:

 ,                                                    (2)

где - уравненный вектор наблюдений, а - уравненные координаты станций. Вектор наблюдений между станциями А и В имеет вид

.                                            (3)

Координаты станций  через их априорные значения  и поправки к ним  можно получить по формуле

,                                               (4)

уравнение для одной базовой линии можно записать в виде

,                                        (5)

или

,                                                (6)

где - вектор поправок в измеренные компоненты вектора базовой линии ,

,                                               (7)

 - свободный член, определяемый выражением:

 .                                                     (8)

Система уравнений поправок для всей сети записывается в виде [7]:

.                                                         (9)

Вектор неизвестных поправок в параметры  состоит из векторов поправок  в координаты пунктов:

        (10)

а вектор свободных членов  и вектор поправок  входят в компоненты базовой линии.

Одним из распространенных методов уравнивания геодезической сети является стохастическая модель, которая дает информацию о точности измерений [12]. Если же модель содержит ошибочную информацию, то результаты уравнивания и заключение о нем могут оказаться ненадежными. Стохастическая модель сети представляется ковариационной матрицей , полученной при решении отдельных базовых линий:

,                           (11)

где диагональные члены это дисперсии приращений координат базовых линий, а недиагональные члены - их ковариации.

Часто более важно получать оценки точности относительных положений точек, а не их абсолютных положений. В случае плановых координат матрица имеет вид:

,                                              (12)

При решении базовой линии приращение координат получается с точностью до миллиметра, особенно при удачном разрешении неоднозначностей по двойным разностям. В то же время невязки в замкнутых фигурах имеет величину на сантиметровом уровне. Хотя ковариационная матрица базовой линии не дает возможности судить о реальной точности координат, но по ней можно составить некоторые выводы об условиях наблюдений. Обычно по результатам уравнивания спутниковой сети получают прямоугольные, геодезические координаты и высоты пунктов сети, а также характеристики их точности.

Для определения закономерностей распределения ошибок координат, полученных в тех или иных условиях, проводят исследования рядов измерений. Следует отметить, что определение закона распределения и определение его параметров можно точно решить, если получены из наблюдений все значения случайной величины, которые представляют генеральную статистическую совокупность. Однако для непрерывных случайных величин это невозможно, а для дискретных величин практических невозможно. Поэтому на практике применяют выборочный метод, где из генеральной совокупности получают лишь часть значений, т.е. делают статистическую выборку. Выборку делают таким образом, чтобы она распределялась равномерно и наилучшим образом отражала свойства случайной величины.

Приближенные значения случайной величины (математическое ожидание и дисперсии) получают по формулам [3]

,                                             (14)

,                                (15)

где x_i - измеренные величины, n- число наблюдений.

Точного значения стандарта или средней квадратической ошибки не существует, но опытом установлено, что величину стандарта можно вычислить по формуле

,                                       (16)

где n ≥ 20.

Конкретными задачами исследования ряда измерений является отбраковка грубых данных и определение критериев согласия с нормальным распределением. Полное исследование имеет смысл лишь при наличии достаточного большого числа результатов n ≥ 50. Если истинные значения неизвестны, то из исследования ряда дискретных точек можно вынести суждение о влиянии лишь случайных ошибок.

Для выявления грубых ошибок необходимо знать среднюю квадратическую ошибку  m

,                                           (17)

где m_Δ – средняя квадратическая ошибка, характеризующая влияние случайных ошибок;

m_δ – средняя квадратическая ошибка, характеризующая влияние систематических ошибок.

В этом случае применяют правило утроенной средней квадратической ошибки 3m.

В качестве эксперимента были использованы GNSS наблюдения между двумя пунктами государственной геодезической сети геодинамического полигона “Таваксай”, выполненных в 2021 году сотрудниками национального университета Узбекистана и Самаркандского государственного архитектурно-строительного института.

Рисунок 2. Геодезическая сеть полигона “Таваксай”

Были получены прямоугольные координаты и высоты в системе референц-эллипсоида и WGS84. Помимо этого, в процессе обработки наблюдений получены хорды между пунктами, погрешности вычислений, треугольную ковариационную матрицу и графики изменний ошибок для каждого интервала времени.

Ниже приведены значения элементов ковариационной матрицы первой дискретной точки из всего массива данных.

,             (13)

где диагональные элементы K_ii = σ² – квадрат средней квадратической ошибки, - не диагональные элементы.  Что качается внешней точности, то они получены путем обработки результатов приема сигналов σ_xy = ±0.0047 для горизонтальной составляющей и σ_h = ±0.0070 для вертикальной составляющей. Общая средняя квадратическая ошибка единицы веса σ_rms = ±0.0070.

По результатам ГНСС измерений базовой линии геодезической сети полигона “Таваксай” были вычислены значения средних квадратических ошибок координат двух пунктов, которые представлены в виде ковариационной матрицы по диагональным элементам (Таб.1).

Таблица 1.

Значения следа ковариационной матрицы и ошибок измерений

Из таблицы 1 видно, что числовые значения дискретных точек близки между собой, что говорит о генеральной совокупности измеренных величин, которые подчиняются нормальному закону распределения Гаусса. Действительно, геодезические пункты геодинамического полигона расположены на вершинах холмов, что говорит о хороших условиях приема сигналов со спутников, хотя последние исследования показали о влиянии вершин гор на траекторию движения сигнала [11]. Но эти помехи можно устранить или уменьшить длительностью измерений или установкой предела зоны видимости спутников в период сеанса наблюдений. Ниже на рисунке 2 представлены величины ошибок ГНСС измерений на 2 пунктах (базис) геодезической сети  геодинамического полигона “Таваксай” с течением времени.

Рисунок 3. Вариация ошибок по результатам наблюдений и диагональным элементам ковариационной матрицы

Из рисунка 3 видно, что имеется постоянная систематическая разность между внутренними и внешними ошибками. Выше было указано о влиянии некоторых геометрических параметров на коэффициенты ковариационной матрицы, но эту поправку можно выявить при окончательном уравнивании.

Для этих же точек были вычислены значения расстояний по встроенной программе (рис.4). Ход изменения величин расстояний между двумя пунктами говорит об определенной стабильности измерений после четвертой дискретной точки, хотя имеются незначительные флуктуации, которые не влияют на окончательную точность измерений.

Рисунок 4. Вариация значений длины базиса по ГНСС измерениям

Таким образом, можно сделать вывод о том, что уравнивание координат геодезического базиса по методу наименьших квадратов требует предварительного расчета точности координат пунктов. Поэтому результаты уравнивания должны быть проверены и протестированы, чтобы устранить ошибочные данные [4-5]. Из практики известно, что критерий  является самым оптимальным методом проверки надежности и достоверности результатов геодезических измерений. В каждом конкретном случае должен быть индивидуальный подход, который вытекает из практического опыта. Особенно это касается статистической обработки результатов наблюдений. Имея данные об ошибках измерений и элементах ковариационной матрицы, можно произвести тестирование на степень доверия, а также определить параметры эллипса погрешности вычисленных координат. Ковариационная матрица решения  содержит дисперсии оцененных параметров и корреляции между ними, которые могут быть использованы для построения эллипса ошибок.

Список литературы:

1. Баранов В.И., Бойко Е.Г., Краснорылов И.И.- др. Космическая геодезия. Учебник для вузов. М.: Недра. -  1986. – 407с.
2. Бойко Е.Г., Кленицкий Б. М., Ландис И. М., Устинов Г. А. Построение, уравнивание и оценка точности космических геодезических сетей. – М.: Недра. - 1972. – 208 с.
3. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И., Практикум по теории математической обработки геодезических измерений. М.: Недра. - 1984. -  352 с.
4. Герасименко М.Д. К вопросу о выявлении грубых ошибок измерений // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2010.  - № 6. С. 3–6.
5. Герасименко М.Д., Каморный В.М. О методах поиска и отбраковки грубых ошибок геодезических измерений // Вестник инженерной школы ДВФУ. – 2018. - № 3(36),.- С.128-133.
6. Закатов П.С.  Курс высшей геодезии. М.:Недра. - 1976. - 512с.
7. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основа теории  обработки наблюдений. М.: Физматгиз. - 1966. - 349с.
8. Макаренко Н.Л., Демьянов Г.В., Зубинский В.И., Кафтан В.И., Майоров А.Н. Системы координат спутниковых навигационных систем GPS и ГЛОНАСС // Геодезия и картография. – 2000. -  №6. - С.16-22.
9. Маркузе Ю.И. Алгоритм объединения наземных и спутниковых геодезических сетей // Геодезия и картография. 1997. - №9. - С.23-29.
10. Мирмахмудов Э.Р. Ниязов В.Р., Тошонов Б., Махаматова В. Анализ метода трилатерации для локальных изменений координат пунктов на геодинамическом полигоне “Таваксай” // Научный журнал: 7 Universum. Москва. – 2021. - №6 (87). –С. 28-31.
11. Мубораков Х., Мирмахмудов Э., Рузиев А., Тошонов Б. Определение предварительных координат контрольных точек с помощью GNSS измерений для учебных целей //Научно-технический журнал. Проблемы архитектуры и строительства. Специальный выпуск.Самарканд.-  2019.  - C. 53-58.
12. Han S. and Rizos C., Standardization of the variance-covariance matrix for GPS rapid static positioning. Geomat. Res. Aust., 62, 37–54, 1995.
13. Mirmakhmudov E., Niyazov V., Tleumuratova G., Toshonov B. GNSS in Uzbekistan for hydrology// COORDINATES. 2021. -  Vol. XVII,. - № 6. -  Pp.12-15.
14. Mirmakhmudov  E,, Niyazov V., Makhamatova V., Muminova N.  Analysis of changes in the coordinates of the “Tavaksay” geodynamic polygon // E3S Web of Conferences. Volume 310 (2021). Annual International Scientific Conference “Spatial Data: Science, Research and Technology 2021”. Moscow, May 24-26, 2021.