АННОТАЦИЯ

В правые части системы гиперболических уравнений, описывающих пространственные движения вязко линейно- и нелинейно-упругой нити всегда входят слагаемые, содержащие смещенные производные по времени и координате. Предлагается методика исследования влияния смещенных производных на свойств волнового движения нити. Доказано, что в нити, изготовленной из вязко нелинейно-упругого материала всегда возникают продольные и продольно-поперечные волны, на фронтах которых относительная деформация и все её производные (по времени и координате) терпят разрывы. Установлены выражения, позволяющие проводит качественный анализ поведения параметров движения, относительной деформации и её производных по времени и координате на фронтах разрывов, возникающих в рассматриваемом материале.

ABSTRACT

The right-hand sides of the system of hyperbolic equations describing the spatial motion of a viscously linear and non-linear elastic thread always contain terms containing shifted time and coordinate derivatives. A method for investigating the effect of shifted derivatives on the properties of the wave motion of the thread is proposed.

It is proved that in the filament made of viscous non-linear elastic material, longitudinal and longitudinal-transverse waves always arise, at the fronts of which the relative strain and all its derivatives (in time and coordinate) suffer discontinuities. Expressions allowing for a qualitative analysis of the behaviour of motion parameters, relative strain and its time and coordinate derivatives at discontinuity fronts in the considered material are derived.

Ключевые слова: нить, волна, продольная волна, поперечная волна, разрыв, коэффициент разрыва, вязкая среда, нелинейно-упругий материал.

Keywords: thread, wave, longitudinal wave, transverse wave, discontinuity, discontinuity coefficient, viscous medium, non-linear elastic material

Как известно, наиболее общие дифференциальные уравнения, описывающие плоские и пространственные движения получены и исследованы в работах [1-5]. Доказано, что систему дифференциальных уравнений, описывающих плоские и пространственные движения всегда следует рассматривать совместно с неголономными (не интегрируемыми отдельно от основных дифференциальных уравнений) уравнениями связи, характеризующими геометрическими положениями частиц нити в области исследования.

Уравнения связи вытекают из условия гибкости (отсутствие жесткости материала на изгиб и кручение) и возможности занимать элементов нити в области движения произвольные геометрические конфигурации.

Приобщение уравнения связи часто приводит к повышению степени нелинейности дифференциальных уравнений и появлению в правых частях гиперболических уравнений движения слагаемых, содержащих со смешанными частными производными по времени и координате. Последние приводят к появлению некоторых усложнений при исследовании дифференциальных уравнений плоских и пространственных движений гибкой нити по сравнению с аналогичными гиперболическими уравнениями, описывающие, например, малые колебания струны [1-8].

В работе [1] исследуется система гиперболических дифференциальных уравнений пространственного движения нелинейно-упругой нити, где уравнения характеристических кривых и, дифференциальные условия, имеющие место на этих кривых определяются несколько иными по сравнению с традиционными, изложенными в [7, 8] методами.

В работе [1] доказано, что под действием внешней нагрузки вдоль нелинейно-упругой нити распространяются продольная волна, передний фронт которой, двигается со скоростью волны Римана в данной среде и, поперечная волна, идущая вдоль нити с меньшей по сравнению с продольной волной скоростью. В зависимости от свойства материала на фронте продольные волны все параметры движения, кроме касательной к рассматриваемой точке нити, претерпевают сильные или слабые разрывы, а на фронте поперечной волны – относительная деформация нити остается неразрывной. Приведены методы определения уравнения характеристических кривых гиперболических уравнений и, дифференциальных условий, имеющих место на этих кривых, а также выражения для оценки коэффициентов скачка параметров движения при переходе фронтов продольных и поперечных волн.

Работы [2, 3] посвящены развитию теории распространения волн в гибкой нити, разработанную в работе [1].

Доказано, что в некоторых материалах возникает не поперечная волна, не несущая разрыва деформации, продольно-поперечная волна несущая одновременно все параметры движения, в том числе и относительной деформации. Методы определения уравнения характеристических кривых гиперболических уравнений и, дифференциальных условий, имеющих место на этих кривых, а также выражения для оценки коэффициентов скачка параметров движения при переходе фронтов продольных и поперечных волн, изложенные в [2, 3] несколько отличается от методов, изложенных в [1].

Методика определения выражения для качественной оценки коэффициентов скачка параметров движения при переходе фронтов продольных и поперечных волн, предложенная в [2, 3] является более удобной по сравнению с методикой, приведенной [1].

Исследования и установления характеристических кривых гиперболических уравнений и дифференциальных условий, имеющих место на этих кривых, а также выражения для оценки коэффициентов скачка параметров движения при переходе фронтов продольных и поперечных волн играют важную роль, прежде всего, в построении алгоритма численно-экспериментальных расчетов теоретических и прикладных задач. Развития исследования свойств волн в различных средах и решения теоретических и прикладных волновых задач, можно найти, например, в работах [8-11].

В данной работе уравнения характеристических кривых, дифференциальные условия и скачки параметров движения вязко нелинейно-упругой нити, исследуются по методике, полученной путем комбинации методов, изложенных в работах [1-3].

Предполагается, что натяжение нити является произвольной функцией относительной деформации и скорости деформации. Излагается схема определения уравнения характеристических кривых, дифференциальные условия и скачки параметров движения нелинейно-упругой нити. Особое внимание обращается установлению выражения для оценки влиянию (или не влияния) слагаемых со смещенными производными, содержащихся в правых частях системы гиперболических уравнений, на свойства волн и параметры волнового движения рассматриваемой нити. Доказано, что в нити, изготовленной из рассматриваемого материала всегда возникают продольные и продольно-поперечные волны, на фронтах которых относительная деформация и все её производные (по времени и координате) терпят разрывы.

Работы [12-25] выполнены используя отдельные положения предлагаемой здесь методики. Статьи Х.А.Рахматулина, посвященные развитию теории распространения волн, возникающих в нитях и стержнях, изготовленных из различных (однородных) материалов, приведены в работе [13]

. Преобразование дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения пространственного движения вязко нелинейно-упругой нити имеют следующий вид [1–5, 12, 13, 23]

где:  – время;  – координата Лагранжа; , ,  – координаты рассматриваемой точки нити в декартовой системе координат ;  – натяжение; – относительная деформация; , ,  – составляющие внешних сил  на оси , ,  соответственно; , ,  – углы, образованные между касательной к данной точке нити и осями координат , , ;  – плотность недеформированной нити. Здесь и в дальнейшем;

; ; ; ; .

Последние три выражения являются неголономными (не интегрируемыми отдельно от основных дифференциальных уравнений) уравнениями связи, характеризующими геометрическими положениями частиц нити в каждый момент времени.

Раскрывая скобки в правых частях и подставляя выражение

,

дифференциальные уравнения движения преобразуем так

,      (2)

где

Из последние равенства системы (1), найдем

,

Учитывая, что в данном случае

, , ,

исключая производную , при помощи соотношения (3), и произведя группировку подобных слагаемых, уравнения (2) представим в виде

где

 , , ,

, , ,

, .

. Определение характеристики дифференциальных уравнений. Поступая как в работах [1-3, 13, 23], к рассматриваемой системе присоединим следующие дифференциальные соотношения

,

где:  – неизвестные пока функции, ;  – угловой коэффициент касательной к характеристической кривой ; , функции  в общем случае не могут одновременно равняться нулю [1-12].

Из соотношения (5), находим

Подставляя соотношения (6) в дифференциальные уравнения (4), будем иметь

,

На характеристической кривой  вторые производные ,  и  имеют не единственные значения. Основной определитель системы (7) равен нулю и уравнения последней системы является линейно зависимыми. Умножим последние два уравнения системы (7) на неизвестные пока коэффициенты  и  соответственно и рассмотрим сумму всех уравнений данной системы

.

Далее, потребуем, чтобы коэффициенты при производных и  были равны нулю (так как l и m – произвольные коэффициенты). В результате получаем следующую систему

,

Разрешая уравнения (8) относительно l и m , получаем

 .                              (10)

Исключая отсюда коэффициенты , находим

 .                        (11)

Исключая теперь коэффициенты ,  и , из первого уравнения системы (9), найдем следующие уравнения характеристических кривых

                                       (12).

Из выражения (11) и (12) видно, что коэффициент  в зависимости от значения характеристической скорости принимает две различные значения, а коэффициент  от скорости  не зависит. Соответствующие значения этих коэффициентов следующие:

;        (13)

 .                                (14)

Отсюда следует, что коэффициент  зависит от физико-механических свойств материала и параметров движения нити, а коэффициенты  и  зависят только от параметров движения.

. Найдем дифференциальные условия, имеющие места на характеристических кривых. Последние два уравнения системы (5) умножим на ,  соответственно и рассмотрим сумму всех уравнений данной системы

.                                   (15)

Путем подстановки соответствующие выражения , , ,  и  можно убедиться, что

                           (16)

Таким образом, дифференциальные условия (15) на фронтах волн  и  принимают следующий окончательный вид соответственно:

;                                    (17)

.                                   (18)

. Найдем значения разрывов смешенной производной  относительной деформации на фронтах рассматриваемых волн. На характеристических кривых полные дифференциалы, входящие в уравнения (5), (17) и (18) не имеют разрывы. Применив операцию скачок , и учитывая, что составляющие массовой силы на фронтах рассматриваемых волн не имеют разрывы, из уравнения (17) и (18) находим:

;                                                               (19)

. (20)

Отсюда следует, что второй производный относительной деформации на фронте волны  не имеет разрыва, т.е.  и дифференциальные условия, имеющие места на фронте волны  от скачка производной  не зависит. Применяя операцию скачок, и учитывая второе уравнение системы (9) и (17), из уравнения (15), получаем . Отсюда следует, что на фронте поперечной волны  скачок производной  принимает произвольные значения.

. Разрывы на характеристических кривых на волне . Применив операцию скачок к уравнениям (5) можно убедится, что функции  на фронте данной волны не имеют разрыва. Используя последние условия, из уравнения (7), получаем

Отсюда, используя уравнения (3), из рассматрываемой системы, найдем следующие соотношения, устанавливающие функциональные связи между коэффициентами скачка:

– вторых производных перемещения

, ,  ;

– составляющих ускорения и вторых производных перемещения

, , ,

, ,

, , , ;

– производных относительной деформации и вторых производных перемещения

, , ;

– углы ,  и

.

. Разрывы на характеристических кривых на волне . Уравнения (7) на фронте данного разрыва принимают вид

В данном случае, скачок , входящий в соотношения (5) может принимать произвольные значения. Поэтому на рассматриваемой волне разрывы  также могут принимать произвольные значения. Пусть . Применим к уравнениям (6) операцию скачок

Подставляя последние соотношения в уравнения (21) будем иметь

где

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

,

,

.

Уравнения (22) устанавливают связи между коэффициентами скачка составляющих ускорения и вторых производных перемещения по координате.

Найдем разрывы производной относительной деформации. Подставляя в уравнения (22) соотношение (3), будем иметь

.

Не трудно проверить, что коэффициенты при вторых производных последнего уравнения отличны от нуля. Таким образом, в рассматриваемом случае, производная относительной деформации по координате имеет отличные от нуля разрывы. При отсутствии вязкости на фронте волны первые производные относительной деформации и натяжение не имеют разрывы [1–3].

Найдем разрывы углов , , . Подставляя соотношения (22) в выражения

 , , ,

которые следуют из соотношения (1), будем иметь

,

,

.

Таким образом, на фронте волны  функция  имеет разрывы и все параметры, которые здесь исследуются, терпят разрывы. Такая волна, как известно в случае упругой нити называется продольно-поперечной волной [3]. При отсутствии вязкости, волна, распространяющаяся со скоростью , будет поперечной волной [1, 2].

. Частные случаи. Если допустить, что , то соотношения (22) становятся однородными и такие уравнения не будут всегда тождественными к исходным уравнениям (1). Следовательно, в рассмотренном выше наиболее общем случае .

В частности, если , то в такой нити возникает только одна продольно-поперечная волна , так как в этом случае .

Выводы

1. Построена схема определения свойства волн, возникающих в вязко нелинейно-упругой нити, уравнения характеристических кривых, дифференциальные, условия, имеющие место на характеристических кривых, коэффициентов скачка параметров при переходе частиц нити фронтов разрывов.

2. Установлено, что в вязко нелинейно-упругой нити возникает продольная волна, обладающая свойствами, качественно совпадающими со свойствами волн в линейно и нелинейно-упругой нити и всегда возникает продольно-поперечная волна, на фронте которой, в отличие от случая линейно и нелинейно-упругой нити, все параметры движения, в том числе, относительная деформация и все её производные терпят разрывы.

Список литературы:

1. Рахматулин Х.А., Демянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: Физматгиз, 1961.
2.  Павленко А.Л. Обобщение теории поперечного удара по гибкой нити// Изв. АН РФ. ОТН. 1960. Вып. 2.
3.  Павленко А.Л. О распространении разрывов в гибкой нити// Изв. АН РФ. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 4.
4.  Кристеску Н. К распространению волн в резине// ПММ. Т. ХХI. 1957. Вып. 2.
5.  Кристеску Н.К. Распространение волн в гибких нитях (влияние скоростей деформации)// ПММ. Т. 21. 1957. Вып. 4.
6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.
7.  Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.
8.  Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1978.
9.  Сагомонян А.Я. Воны напряжения в сплошных средах. М.: МГУ. 1985.
10.  Крауфорд. Волны. Т.3. М.: Наука, 1984.
11.  Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Наука. 1977.
12.  Эргашов М. Исследование процессов распространения упругих волн в намоточных связях при учете эффектов их вращения при растяжении// ПММ. Т. 56. 1992. Вып. 1. (Пер. на анг. язык: Ergashov M. A study of the propagation of elastic waves in wend structures taking into account their rotation under extension. J. Appl. Maths. Mesh. Vol. 56. 1992. No. 1. Printed in Great Britain).
13. Волны Рахматулина в нитях и стержнях. Под ред. Х.А.Алимовой, М.Т.Мамасаидова, К.Жуманиязова, М.Эргашова. Ташкент. Фан, 2000.
14. Эргашов М. Теория распространения волн в намоточных связях. Тошкент. Фан, 2001.
15.  Эргашов М. Исследование деформаций, возникающих при поперечном ударе прямоугольным брусом по нити. Изв. АН РФ. МТТ. 1987. №1.
16.  Эргашов М. Свойства и взамодействия волн в нити. Т.: Фан, 2001.
17.  Эргашов М. Вопросы соударения нити с твердыми телами. Т.: Фан, 2001.
18.  Эргашов М., Ахунбабаев О.А. Методы расчета натяжения нелинейных нитей основы взаимодействующих с рабочими органами модернизированного шелкоткацкого станка. Т.: Fan va texnologiya. 2016.
19.  Эргашов М. Поперечный удар прямоугольным брусом по гибкой нити. Изв. АН РФ. МТТ. 1991. № 5.
20.  Эргашов М., Саидова Р.А. Поперечный удар прямоугольным брусом, движущимся со скачкообразно меняющейся скоростью по нити. Прикладная механика. Т.: 33. № 10. 1997.
21.  Эргашов М., Саидова Р.А. Удар клином по гибкой нити. Изв. АН. РФ. МТТ. . 1998. № 6.
22.  Эргашов М., Мавлонов М.Т.Скольжение нити по поверхности твердого тела. Прикладная механика. Т.: 38. № 7. 2002.
23. Эргашов М., Мардонов Б. Исследование дифференциальных уравнений пространственного движения нити// Проблемы механики. 1994. № 2.
24. Эргашов М., О.А.Ахунбабаев. Теория расчета натяжения нити основы в шелкоткацких станках. Т.: “Fan va texnologiya”, 2010.
25. Ахунбабаев О.А., Эргашов М. Валиев Г,Н. Вопросы динамики взаимодействия шелковых нитей с рабочими орrанами текстильньх машин. Т.: «Fап va texnologiya», 2019.