ЗАДАЧА О КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрены три общих колебания вязкоупругого слоя. Это нестационарные поперечные, продольно-радиальные и крутильные колебания. По этим колебаниям можно проверить крутильные колебания отдельно от продольно-радиальных колебаний.

ABSTRACT

The article considers three general oscillations of a viscoelastic layer. These are non-stationary transverse, longitudinal-radial and torsional vibrations. From these vibrations, it is possible to check the torsional vibrations separately from the longitudinal-radial vibrations.

Ключевые слова: вязкоупругий слой, тензор, нестационарный, гидроупругий, радиальный,

Keywords: viscoelastic layer, tensor, nonstationary, hydroelastic, radial,

Введение. Уравнения движения рассматриваемой нами гидроупругой системы представляют собой волновые уравнения вязкоупругого тела. Для того чтобы иметь определенные решения при интегрировании системы этих уравнений, необходимо использовать граничные условия, а в случае нестационарного движения — начальные условия.

На основании изложенных выше соображений граничных и начальных условий рассматриваемой задачи поставим решаемой основную краевую задачу. Для этого напомним, что крутильные колебания вязкоупругого стержня переменного радиуса симметричны относительно его оси. В этом случае тензоры напряжений и деформаций и все компоненты вектора перемещений не зависят от координаты -угла поворота и

Из формулы  у нас есть выражение. Видно, что только  потенциал подходит для  вращательного или крутильного смещения точек штока. Другими словами, крутильные колебания отличаются от потенциалов всего на .

При этом только ,  компонент вектора   смещения компонент напряжения отличны от нуля [8]. С учетом этих случаев уравнения движения рассматриваемого стержня  сводятся к следующему уравнению относительно  потенциалов:

здесь

; 

;

 - скорость распространения поперечных волн в стернальном материале;

 - коэффициент Ламе;

 - плотность материала стержня;

- радиус поперечного сечения стержня;

 - радиальная координата;

- продольные координаты.

Радиус рассматриваемого стержня является переменной, т. е. R-переменной, которая меняется с продольной координатой и имеет непрерывную функцию. Другими словами

где F — заданная непрерывная функция. Кроме того, предполагалось, что функция F (z) имеет производные нужного порядка (рис. 1).

Рисунок 1. Вязкоупругий стержень переменного радиуса

В любой точке М на поверхности стержня переходим в ортогональную систему координат . В этом случае  лежат в плоскости движения в точке М (перенесенной на поверхность стержня): т. е. перпендикулярны осям координат , а значит, лежат перпендикулярно плоскости движения.

Во введенной ортогональной системе координат  нормальные и касательные напряжения на поверхности стержня выражаются через напряжения в цилиндрической системе координат  следующим образом [8].

здесь

Предполагается, что крутильные колебания круглого стержня вызываются напряжениями на его поверхности , т. е. краевым условием задачи является.

или

Учитывая, что

Предположим, что начальные условия задачи равны нулю [5]. Таким образом, задача о крутильных колебаниях вязкоупругой цилиндрической оболочки сводилась к интегрированию системы интегро-дифференциальных уравнений   с  граничными , условиями и начальными условиями, равными нулю.

Заключение. Как указывалось выше, следующие деформации, напряжения и перемещения при крутильных колебаниях вязкой жидкости внутри цилиндрической оболочки отличны от нуля, а формулы для их выражения через -потенциал существенно упрощаются:

Перемещение   выражается формулой, т.е.

Компоненты тензора деформации в точках стержня.

,           ;

Компоненты тензора напряжения в точках стержня.

,            .         

Список литературы:

1. Амензаде Ю.А. Теория упругости. – М: Высшая школа, 1996. – 272с.
2. Болотин В.В. Колебания и устойчивость упругой цилиндрической оболочки в потоке сжимаемого газа // . Сборник. – 1976. – 24.-С.3-16.
3. Ляв А. Математическая теория упругости. – М. – Л.: ОНТИ, 1935. – 674с.
4. Никифоров А.Ф., Уварова В.Б. Специальные функции математической физики. – М. «Наука», 1998. – 320с.
5. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем // Исследования по упругости и пластичности.- Л.:»Изд-во ЛГУ», 1996. №5.-С. 3-33.
6. Филиппов И.Г, Худойназаров Х.Х. Уточнение уравнений продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки // Прикл. мех.-1990.-26,№2.-с.63-71.
7. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. – Кишенев: «Штиинца», 1998. – 190с.
8. Худойназаров Х.Х. Нестационарное взаимодействие круговых цилиндрических упругих и вязкоупругих оболочек и стержней с деформируемой средой. – Ташкент: «Изд-во им. Абу Али ибн Сино», 2003.-325с.
9. Xudoyberdiyev, S. I., Ashurov, B. I., Khudoyberdiyev, S. I., & Ashurov, B. I. (2021). QOVUSHOQ-ELASTIK STERJENDA TEBRANISH JARAYONIDA REZONANS HOSIL BO'LISHI. Academic research in educational sciences, 2(3).