СУБОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ НЕИСПРАВНОСТЕЙ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО КАНАЛА В СИСТЕМАХ КОНТРОЛЯ РЕЛЬСОВЫХ ЛИНИЙ

АННОТАЦИЯ

В статье для заданных моделей системы контроля рельсовых линии (КРЛ) определены субоптимальные алгоритмы оценивания вектора состояния, с использованием которых получены алгоритмы субоптимальной фильтрации для случая, когда параметрическая переменная представляет собой марковскую цепь. Приведена последовательность вычислений вектора состояния и марковской параметрической переменной. Разработана структурная схема и проанализированы результаты математического моделирования субоптимального фильтра

ABSTRACT

In the article, for the given models of the rail line monitoring system (RLM), suboptimal algorithms for estimating the state vector are determined, with the use of which suboptimal filtering algorithms are obtained for the case when the parametric variable is a Markov chain. The sequence of calculations of the state vector and the Markov parametric variable is given. A block diagram is developed and the results of mathematical modeling of the suboptimal filter are analyzed.

Ключевые слова: система контроля состояния рельсовых линии, модель информационного сообщения, уравнений состояния и наблюдения, субоптимальные алгоритмы оценивания вектора состояния, алгоритм субоптимальной фильтрации, вычисления апостериорных вероятностей.

Keywords: rail line state control system, information message model, equations of state and observation, suboptimal algorithms for estimating the state vector, suboptimal filtering algorithm, calculation of a posteriori probabilities.

Применение микропроцессов приводит к увеличению работоспособности систем автоматики и телемеханики, в частности, их подсистемы контроля состояния рельсовой линии (КРЛ) в условиях воздействия дестабилизирующих факторов. Поэтому, для обоснованного выбора формы полезного сигнала, его мощности, способов обработки и определении принципов построения, методов технической реализации приемо-передающей аппаратуры рельсовых цепей возникает необходимость проведения детальных исследований [1].

Таким образом, в условиях нормального функционирования всех элементов системы KPЛ основными задачами исследования являются синтез алгоритмов оптимальной фильтрации при известных динамических свойствах системы и заданных характеристиках канала измерения [2].

Пусть модель информационного сообщения системы KPЛ описывается с помощью уравнения состояния:

x_h+1 = Ф_h+1,hx_h + w_h,                                                                          (1)

а модель канала измерение – с помощью уравнений наблюдения вида

y_h = H_hx_h + γ_hv_h                                                                             (2)

где γ_h – случайная величина, принимающая два значения: γ_h = 1 (режим нормальной работы) и γ_h = σ>>1 (режим аномальных измерений при наличии отказов в канале) [3].

Для заданных моделей системы КРЛ найдем практически реализуемые субоптимальные алгоритмы оценивания вектора состояния при различных моделях параметрической переменной γ_h.

Оценивание при марковской параметрической переменной. Получим теперь, алгоритм субоптимальной фильтрации для случая, когда параметрическая переменная γ_h представляет собой марковскую цепь с двумя состояниями γ₁ = l и γ₂ = σ. Начальные вероятности этих состояний ||P₀|| = ||p₁  p_σ|| и матрица перехода марковской цепи:

                                                                            (3)

заданы. Система KPЛ определена своими уравнениями состояния (1) и наблюдений (2).

Будем использовать субоптимальной алгоритмы оценивания [4]. Для этого используем допущение о том, что плотность распределения вероятностей оценок экстраполяции может быть аппроксимирована гауссовской плотностью с вектором средних  и корреляционной матрицей P_h,h-1 , т. е.:

                                                       (4)

Для нахождения оптимальной оценки вида , необходимо вычислить апостериорную плотность распределения вероятностей  при фиксированной выборке наблюдений . По аналогии с выражением:

пользуясь сглаживающими свойствами условного среднего, искомую апостериорную плотность можно записать в следующем виде:

                   (5)

Вычислим условные плотности распределения вероятностей: , определяющие частные оценки, пользуясь методикой, изложенной в [5] при выводе рекуррентных соотношений фильтра Калмана [6].

Используя формулу Байеса, получаем:

                                (6)

Рассмотрим теперь по отдельности плотности вероятностей, входящие в это выражение [7, 8]. Так как шумы измерений по предположению гауссовы, то из уравнения наблюдения (2) непосредственно следует, что:

                                     (7)

Распределение оценок экстраполяции в соответствии с принятым допущением вида (4) тоже гауссовское [9,10]. Что касается условной плотности, входящей в знаменатель выражения (6), то, как было установлено в [11, 12], ее можно записать как

                     (8)

Следовательно, выражение (6) является гауссовской плотностью и частные оценки  и , в рассматриваемом случае могут быть вычислены по рекуррентным соотношениям фильтра Калмана, причем:

                                          (9)

                                 (10)

где  – общий для обеих частных оценок “обновляющий” процесс, так как оба фильтра на каждом шаге используют одну и ту же оценку экстраполяции, что является прямым следствием допущения (4).

Для вычисления апостериорных вероятностей вида P(γ_h = i|Y₁^h)), i = l,σ, возможно воспользоваться общей формулой:

которая с учетом того, что в данном случае  – так как значения γ_h и γ_h-1, как элементы цепи Маркова, оказывается связанными между собой [13, 14]. Поэтому для расчета условных вероятностей вида P(γ_h= i|Y₁^h) следует воспользоваться общей формулой, которая в данном следует примет вид:

                           (11)

Принимая во внимание Марковские свойства γ_h, из которых следует, что:

 .

Используя для сокращения последующей записи обозначения

                                                (12)

                                            (13)

выражение (11) можно записать в следующей форме:

                                               (14)

где                          .

Таким образом, величина p_h(l) представляет собой рекуррентно рассчитываемую вероятность того, что при заданном векторе наблюдений Y₁^h величина γ на данном шаге примет значение 1, т. е. канал измерения на данный h-й момент времени находится в исправном состоянии.

На основании (5) общее выражение для субоптимальной оценки в рассматриваемом случае можно представить как:

,

которое после подстановки в него формулы (9) приводится к виду:

 ,                                           (15)

где матричные коэффициенты усиления фильтра K_1h и K_σh определяются на основании (10), а начальным условием является равенство

                                                                       (16)

Выражение для корреляционной матрицы ошибок фильтрации можно получить непосредственно от общей формулы:

                                         (17)

Принимая во внимание, что  [2], и вводя обозначения:

                                                                     (18)

                                                                  (19)

выражение (17) после простых тождественных преобразований можно привести к следующему окончательному виду:

                                (20)

где корреляционная матрица ошибок экстраполяции P_h,h-1 вычисляется по обычным формуле Калмановской фильтрации:

                                            (21)

и начальное значение корреляционной матрицы ошибок фильтрации задается равенством:

P_(0,0) = Р₍₀₎                                                                  (22)

Таким образом, последовательность вычислений при субоптимальной фильтрации вектора состояния x_h и марковской параметрической переменной γ_h в линейной ДС с каналом измерения вида (2) включает в себя:

1) по результатам оценивания на предыдущем шаге рассчитывается оценка экстраполяции  и по формуле (21) находится корреляционная матрица ошибок этих оценок;

2) определение апостериорных вероятностей исправного состояния канала измерения p_h(l) в соответствии с формулой (14);

3) вычисление значений K_1h и K_σh по формуле (10);

4) определение в соответствии с отношением (15) результирующей оценки  и расчет корреляционной матрицы ошибок фильтрация с использованием выражения (20).

Структурная схема рассмотренного субоптимального фильтра приведена на рис. 1. Матричный коэффициент усиления этого фильтра изменяется в зависимости от значения апостериорной вероятности p_h(l), которая определяет вес текущих изменений в образовании оценки. Если в состоянии отказа дисперсия шумов измерений существенно больше, чем в режиме нормального функционирования, т. е. γ = σ>>1, то, как это следует из (10), матричный коэффициент усиления K_σ,h→0, и результирующую оценку в том случае можно рассчитать следующим образом:

                                           (23)

Другими словами, данный фильтр отличается от калмановского только наличием множителя p_h(l) перед матричным коэффициентом усиления.

При p_h(l) = l этот фильтр совпадает с фильтром Калмана, при p_h(l) = 0 – вырождается в экстраполятор. Однако во всех случаях он остается нелинейным фильтром вследствие зависимости р_h(l) и K_ih от текущих измерений. При σ>>1 упрощается соответственно и выражение (20) для корреляционной матрицы ошибок субоптимального оценивания:

            (24)

так как при σ>>1 К_δh = (K_1h – К_σh) → K_1h и К_σh → 0.

Рисунок 1. Структурная схема субоптимального фильтра

Используем теперь это алгоритм субоптимального фильтра на исследования рельсовых цепей в шунтовом режиме для случая воздействия импульсной составляющей сопротивления поездного шунта. Пусть модель информационного сообщения описывается с помощью уравнения состояния (1), а модель канала измерения – с помощью уравнений наблюдения вида (2). Параметрическая переменная γ_h представляет собой марковской цепь с двумя состояниями γ₁ = R_ш1, γ₂ = R_ш2. Начальные вероятности этих состояний ||Р₀|| = ||P₁ P₂|| и матрица перехода марковской цепи:

 .

Рисунок 2. Волновые диаграммы реализацией наблюдений y_h, состояний х_h и субоптимальной оценки при воздействии импульсной помехи, обусловленной нестабильностью сопротивления поездного шунта

Рисунок 3. Расчетные значения апостериорной вероятности исправного состояния канала измерения p_h(1) и корреляционной матрицы ошибок фильтрации P_h,h

Проанализируем результаты математического моделирования алгоритма субоптимального фильтра. На рис. 2 приведена волновые диаграммы реализации наблюдений y_h, состояний х_h и субоптимальной оценки  при воздействии импульсной помехи, обусловленной нестабильностью сопротивления поездного шунта.

Рис. 3 иллюстрируют расчетные значения апостериорной вероятности исправного состояния канала измерения p_h(l) и корреляционной матрицы ошибок фильтрации P_h,h при воздействии импульсной помехи, обусловленной нестабильностью сопротивления поездного щунта.

В моменты времени, в которые моделировались нарушения исправного состояния канала измерения, вектор наблюдений y_h скачка меняется. Зависимость апостериорных вероятностей р_h(l) от времени, рассчитанная по формуле (8).

Эта зависимость, как следует из (9), однозначно определяет и поведение коэффициента усиления фильтра. Из графиков видно, что в моменты появления отказов величина р_h(l) резко падает, что влечет за собой пропорциональное уменьшение коэффициента усиления фильтра, последний теряет чувствительность к вновь поступающим данным и в качестве текущей оценки выдает оценку экстраполяции.

Список литературы:

1. Гришин Ю. П. Дискретная фильтрация в радиотехническом измерителе при случайных пропаданиях сигналов. - Изв. Вузов, сер. Радиоэлектроника, 1977, №4 с. 65-72.
2. Гришин Ю. П., Каразинов Ю. М. Динамические системы, устойчивые к отказам.- М.: Радио и связь, 1985.- 176 с.
3. Азизов А.Р., Садиков А.Н. Разработка схемы увязки микропроцессорного импульсного реле с существующими системами железнодорожной автоматики и телемеханики. Республиканская научно-техническая конференция с участием зарубежных ученых «Ресурсосберегающие технологии автоматики, электрической связи и энергообеспечения железнодорожного транспорта.». – Ташкент, ТашИИТ. 2017. - С.176-178.
4. Азизов А.Р., Юлдашев Ш.М., Садиков А.Н. Моделирование и оптимизация алгоритма работы электромеханического импульсного реле. //Вестник транспорта Поволжья, ноябрь-декабрь 2018г. №4.
5. Aripov N., Sadikov A., Ubaydullayev S. Intelligent signal detectors with random moment of appearance in rail lines monitoring systems. // E3S Web of Conferences 264, 05039 (2021). CONMECHYDRO – 2021
6. Sadikov A., Aripov N. Time characteristics of the flow of the impulse component of the train shunt resistance. // Design Engineering. – 2021. Vol 2021: Issue 09. pp. 13694 – 13706
7. Nazirjon Aripov, Azamat Sadikov. Experimental studies of the impulse component of the resistance of a train shunt. // Vidyabharati International Interdisciplinary Research Journal. – 2021. Special Issue. pp. 3863 – 3869
8. Sadikov A.N. Analysis of promising systems for monitoring the state of rail lines for the railways of the Republic of Uzbekistan. // European Scholar Journal. – 2021. Vol. 2 No. 8, August 2021. pp. 81-83
9. Sadikov A.N. Methods of Technical Implementation of Receivers of Systems for Monitoring The State of Rail Lines for Railways Uzbekistan. // International Journal on Orange Technologies. – 2021. Volume 3 | No 10 (Oct 2021). pp. 43-46
10. Azizov A.R., Ametova E.K., Ubaydullayev S.Q. Model of circuits against repeated relays of shunting routes. // Harvard Educational and Scientific Review. – 2022. Vol. 2 No. 1 (2022)
11. Bulavsky P.E., Vaisov O.K. Modeling the processes of electronic document management of technical documentation using Petri nets. // Automation in transport. - 2019. - V.5. - No. 3. – S. 375–390.
12. Bulavsky P.E., Vaisov O.K., Bystrov I.N. Modeling and estimation of the search time and troubleshooting of railway automation and telemechanics systems using Petri nets. // Automation in transport. - 2019. - V.5. - No. 4. – S. 478–492.
13. Sapozhnikov V.V., Sapozhnikov Vl.V., Efanov D.V., Abdullaev R.B. Features of the organization of functional control systems for combinational circuits based on polynomial codes. // Bulletin of the Petersburg University of Communications. - 2018. - V.15. - No. 3. – S. 432-445.
14. Ubaydullayev S.Q. Methods For Implementing the Microelectronic Operation of The Automatic Push-Button Circuit and The Arrow Control Circuit and The Control Block Npm-69-M. // Galaxy International Interdisciplinary Research Journal. – 2022. 10 (2), 303-307