ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАБОТЫ СИСТЕМЫ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА (КРИТЕРИЮ Χ2)

RELIABILITY ASSESSMENT OF THE SYSTEM PERFORMANCE INDICATORS ACCORDING TO THE PEARSON CRITERION (X2 CRITERION)
Цитировать:
Бурзун М.С., Ковальчук В.В. ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАБОТЫ СИСТЕМЫ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА (КРИТЕРИЮ Χ2) // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2022. 5(98). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13693 (дата обращения: 19.07.2024).
Прочитать статью:

 

АННОТАЦИЯ

В статье описан пример оценки показателей надежности безотказной работы системы и проверки гипотезы о непротиворечивости предполагаемого закона распределения отказов по критерию Пирсона.

ABSTRACT

The article describes an example of evaluating the reliability of the system's failure-free operation and testing the hypothesis of consistency of the assumed law of failure distribution according to the Pearson criterion.

 

Ключевые слова: доверительный интервал, закон распределения,  испытания, надежность, число отказов.

Keywords: confidence interval, distribution law, tests, reliability, number of failures.

 

Для утверждения вида неизвестного распределения используют статистические модели. Для количественной оценки согласованности теоретического и эмпирического распределений применяют критерий Пирсона (критерий χ2).

Для построения статистического ряда время испытаний разбивают на интервалы (разряды).

Задавшись теоретическим законом распределения и определив параметры надежности, находят для каждого разряда вероятность отказа qi. При экспоненциальном распределении qiэ подсчитывалось по формуле (1), а при нормальном законе распределения отказов – по формуле (2).

При экспоненциальном законе распределения отказов

                                                                         (1)

При нормальном законе распределения отказов

                                                                   (2)

Для каждого разряда определятся также мера расхождения

                                                                                   (3)

На основании этих расчетов определяется суммарная мера расхождения:

                                                                             (4)

Число степеней свободы равно

R=k–S,                                                                                           (5)

где k – число разрядов статистического ряда;

S – число связей, наложенных на экспериментальные данные.

Связи, накладываемые на экспериментальные данные:

1. Совпадение математических ожиданий теоретического и статистического распределений М =М* (Тср = Т*ср ) .

2. Совпадение значений среднеквадратического отклонения теоретического и статистического распределений σ = σ* и т. д [3, с. 65].

Производят расчет параметров надежности испытаний, проведенных в течение 100 часов на 100 деталях, 34 из которых вышли из строя.

Время испытаний разбивают на заданное число разрядов (интервалов). Число разрядов, на которые следует группировать статистический материал, не должно быть слишком большим (тогда ряд распределения становится невыразительным, и часто в нем обнаруживают незакономерные колебания), с другой стороны, оно не должен быть слишком малым (свойства распределения при этом описываются статистическим рядом слишком грубо) [2, с.14].

В данном примере количество разрядов равно 10 (продолжительность 10 часов). Для каждого интервала производят расчет, и результаты заносят в таблицу.

Для практических расчетов важно знать вид функции распределения вероятности показателей надежности, сделать обоснованный выбор закона распределения, лучше всего согласующегося с эмпирическими данными.

Наиболее распространенной вероятностной моделью надежности является экспоненциальная модель распределения времени до отказа. Нормальный закон является наиболее универсальным.

Результаты вычислений представлены в таблице Excel (Таблица 1). 

Таблица 1.

 Результаты расчета основных показателей испытаний

Параметр

Разряды

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

n*

5

3

5

2

2

3

3

3

5

3

qiэ

0,042

0,041

0,039

0,037

0,036

0,035

0,033

0,032

0,03

0,029

qiн

0,015

0,018

0,022

0,025

0,030

0,036

0,038

0,042

0,045

0,048

χ2 iэ

0,152

0,295

0,310

0,781

0,711

0,071

0,027

0,013

1,333

0,003

χ2 iн

8,371

0,8

3,778

0,115

0,306

0,106

0,160

0,323

0,060

0,657

χ2 э

3,697934414

χ2 н

14,67585717

 

Суммарная мера расхождения составила для экспоненциального закона     = 3,69 и для нормального закона  = 14,67.

Из таблицы квантилей χ2 – квадрат распределения находят, что вероятность непротиворечивости статистических данных экспоненциальному закону составила менее 1 % (число степеней свободы – 10), а нормальному закону – около 2,3 % (число степеней свободы – 9)[1].

Причины расхождения результатов эксперимента и теоретических характеристик могут быть вызваны малым объемом выборки, неудачным способом группировки наблюдений, ошибками в выборе гипотезы о виде распределения генеральной совокупности и др.

Определение показателей надёжности необходимо для формулирования требования по надежности к проектируемым устройствам или системам.

Поскольку отказы и сбои элементов являются случайными событиями, то теория вероятностей и математическая статистика являются основным аппаратом, используемым при исследовании надежности, а сами характеристики надежности должны выбираться из числа показателей, принятых в теории вероятностей [5, с.13].

 

Список литературы:

  1. ГОСТ 27.002-89 Надежность в технике (ССНТ). Основные понятия. Термины и определения.
  2. Методы расчета и анализа надежности технических систем : метод. пособие / сост. Л.Н. Герасимов. – Иркутск : ИрГУПС, 2013. – 51 с.
  3. Коваленко, В. Н. Надежность устройств железнодорожной автоматики, телемеханики : учеб. пособие / В. Н. Коваленко. – Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 2013. – 87, [1] с.
  4. Программирование на VBA MS Excel: учебное пособие / Н. Г. Кудрявцев, 116 с.- Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2015 -Д. В. Кудин, М. Ю. Беликова.
  5. Федотов, А. В. Основы теории надежности и технической диагностики: конспект лекций / А. В. Федотов, Н. Г. Скабкин. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010 – 64 с.
Информация об авторах

аспирант кафедры математики, информационных систем и программного обеспечения Мурманского государственного технического университета, РФ, г. Мурманск

Graduate student, Department of Mathematics, Information Systems and Software, Murmansk State Technical University, Russia, Murmansk

профессор кафедры математики, информационных систем и программного обеспечения Мурманского государственного технического университета, РФ, г. Мурманск

Professor, Department of Mathematics, Information Systems and Software, Murmansk State Technical University, Russia, Murmansk

Журнал зарегистрирован Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), регистрационный номер ЭЛ №ФС77-54434 от 17.06.2013
Учредитель журнала - ООО «МЦНО»
Главный редактор - Ахметов Сайранбек Махсутович.
Top