ОТОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ С ОДНОЙ ТОЧКОЙ ИЗЛОМА

АННОТАЦИЯ

В данной статье изучено однопараметрическое семейство гомеоморфизмов окружности с одной точкой излома. Доказано, что в случае рационального числа вращения число периодических траекторий не превышает двух.

ABSTRACT

In this article, we study a one-parameter family of circle homeomorphisms with one break point. It is proved that in the case of a rational rotation  number the number of periodic trajectories does not exceed two.

Ключевые cлова: гомеоморфизмов окружности, ренормализация, число вращения.

Keywords: circle homeomorphism, renormalization, rotation number.

Рассмотрим однопараметрическое семейство отображений единичной окружности [1]:

где скобка - обозначает дробную часть числа, а -удовлетворяет следующим условиям:

 при фиксированном  -непрерывная монотонно возрастающая функция;

  для любого  ;

 непрерывная кривая;   

 при каждом фиксированном  для  , при некотором   и

Обозначим   число вращений, отвечающее [2]:

Из условий  вытекает, что  при каждом фиксированном значении параметра имеет только одну точку излома . Число  называется величиной излома .

Всюду в дальнейшем мы будем обозначать через -ую суперпозицию функции . Легко видеть, что  монотонно (не строго) зависит от параметра . Заметим, что каждому рациональному  отвечают невырожденный отрезок (значений  таких, что , в том время как иррациональному  отвечает единственно  ).

Пусть - интервал Фария го уровня [1]:

1) 

2) Все рациональные числа внутри интервала  имеют вид . Рациональное число с минимальным знаменателем равно .

Выберем произвольную точку  на окружности и отрезок траектории этой точки . Обозначим  и  отрезки  и , соответственно. Обозначим также образы этих отрезков под действием  через  и  [1]:

  .

Следующее утверждение было доказано в [1] и в нашей ситуации работает без каких-либо изменений.

Лемма 1. Предположим . Отрезок траектории разбивает окружность на непересекающиеся отрезки  и .

Обозначим построенное разбиение . Положим , . Рассмотрим произвольную траекторию , такую, что .

Лемма 2. Предположим  или . Тогда

.

Пусть - интервал Фарея го ранга [1], а - некоторой интервал Фарея ранга , содержащий . Пусть . Выберем  - произвольным элемент разбиения , содержащий . Обозначим через .

Лемма 3. Положим  

.

Пусть разложение  в непрерывную дробь имеет вид

Обозначим  отрезок значения параметра  таких, что . Зафиксируем некоторой  и обозначим . Для рационального числа вращения  всегда существует по крайней мере одна периодическая траектория периода . Пусть  произвольная периодическая траектория. Обозначим  отрезок, образованный траекторий  и содержащий особую точку . Перейдем к перенормированным координатам:

и определим функцию, отвечающую  в перенормированной системе координат:

.

Обозначим  перенормированную координату точки

и определим функцию  

Теорема 1. Существует константа  такая, что

.                                             (1)

Доказательство. Рассмотрим разбиение окружности, порождённое траекторией . Обозначим  Очевидно . Не трудно показать [1], что  Функцию  можно представить как суперпозицию двух функций  и , отвечающих отображениям . Определим относительные координаты внутри отрезков

.

Тогда функции  и можно записать в виде:

При этом

.                                                             (2)

В работе [1] доказано

                               (3)

где

     (4)

Поскольку , получаем

                             (5)

Легко видеть, что функция  близка к кусочно-линейной функция , где

                                  (6)

Поскольку  справедлива оценка:

Используя (2)-(6) получаем (1).  

Из теоремы 1 вытекает выпуклость  при  и вогнутость при . Действительно, прямым вычислением легко убедится, что

  при

  при .

Положим

.

Обозначим интервал  Положим . Обозначим меру Лебега на  через .

Теперь сформулируем основные результате нашей работы.

Теорема 2. При всех  справедливы следующие утверждения:

(а) если  или , то  имеет единственную периодическую траекторию периода  

(в) при  существует равно две периодические траектории периода .

Теорема 3. Мера Лебега множества  равно нулю, т.е. .

Список литературы:

1. K.M.Khanin and E.B.Vul. Circle Homeomorphisms with weak Discontinuities. Advances in Soviet Mathematics, v. 3, 1991, p. 57-98.
2. И.П. Корнфельд, Я.Г.Синай, С.В.Фомин. Эргодическая теория. –М. Наука, 1980.
3. Х.К.Каршибоев. Поведение ренормализаций эргодических отображений окружности с изломом// Узб. матем. журнал. – Ташкент, 2009. -№4. -С.82-95.