канд. физ. -мат. наук, заведующий кафедрой “Высшей математики”, Самаркандский институт экономики и сервиса, Узбекистан, г. Самарканд
ОТОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ С ОДНОЙ ТОЧКОЙ ИЗЛОМА
АННОТАЦИЯ
В данной статье изучено однопараметрическое семейство гомеоморфизмов окружности с одной точкой излома. Доказано, что в случае рационального числа вращения число периодических траекторий не превышает двух.
ABSTRACT
In this article, we study a one-parameter family of circle homeomorphisms with one break point. It is proved that in the case of a rational rotation number the number of periodic trajectories does not exceed two.
Ключевые cлова: гомеоморфизмов окружности, ренормализация, число вращения.
Keywords: circle homeomorphism, renormalization, rotation number.
Рассмотрим однопараметрическое семейство отображений единичной окружности [1]:
где скобка - обозначает дробную часть числа, а
-удовлетворяет следующим условиям:
при фиксированном
-непрерывная монотонно возрастающая функция;
для любого
;
непрерывная кривая;
при каждом фиксированном
для
, при некотором
и
Обозначим число вращений, отвечающее
[2]:
Из условий вытекает, что
при каждом фиксированном значении параметра имеет только одну точку излома
. Число
называется величиной излома
.
Всюду в дальнейшем мы будем обозначать через -ую суперпозицию функции
. Легко видеть, что
монотонно (не строго) зависит от параметра
. Заметим, что каждому рациональному
отвечают невырожденный отрезок (значений
таких, что
, в том время как иррациональному
отвечает единственно
).
Пусть - интервал Фария
го уровня [1]:
1)
2) Все рациональные числа внутри интервала имеют вид
. Рациональное число с минимальным знаменателем равно
.
Выберем произвольную точку на окружности и отрезок траектории этой точки
. Обозначим
и
отрезки
и
, соответственно. Обозначим также образы этих отрезков под действием
через
и
[1]:
.
Следующее утверждение было доказано в [1] и в нашей ситуации работает без каких-либо изменений.
Лемма 1. Предположим . Отрезок траектории
разбивает окружность на непересекающиеся отрезки
и
.
Обозначим построенное разбиение . Положим
,
. Рассмотрим произвольную траекторию
, такую, что
.
Лемма 2. Предположим или
. Тогда
.
Пусть - интервал Фарея
го ранга [1], а
- некоторой интервал Фарея ранга
, содержащий
. Пусть
. Выберем
- произвольным элемент разбиения
, содержащий
. Обозначим через
.
Лемма 3. Положим
.
Пусть разложение в непрерывную дробь имеет вид
Обозначим отрезок значения параметра
таких, что
. Зафиксируем некоторой
и обозначим
. Для рационального числа вращения
всегда существует по крайней мере одна периодическая траектория периода
. Пусть
произвольная периодическая траектория. Обозначим
отрезок, образованный траекторий
и содержащий особую точку
. Перейдем к перенормированным координатам:
и определим функцию, отвечающую в перенормированной системе координат:
.
Обозначим перенормированную координату точки
и определим функцию
Теорема 1. Существует константа такая, что
. (1)
Доказательство. Рассмотрим разбиение окружности, порождённое траекторией . Обозначим
Очевидно
. Не трудно показать [1], что
Функцию
можно представить как суперпозицию двух функций
и
, отвечающих отображениям
. Определим относительные координаты внутри отрезков
.
Тогда функции и
можно записать в виде:
При этом
. (2)
В работе [1] доказано
(3)
где
(4)
Поскольку , получаем
(5)
Легко видеть, что функция близка к кусочно-линейной функция
, где
(6)
Поскольку справедлива оценка:
Используя (2)-(6) получаем (1).
Из теоремы 1 вытекает выпуклость при
и вогнутость при
. Действительно, прямым вычислением легко убедится, что
при
при
.
Положим
.
Обозначим интервал Положим
. Обозначим меру Лебега на
через
.
Теперь сформулируем основные результате нашей работы.
Теорема 2. При всех справедливы следующие утверждения:
(а) если или
, то
имеет единственную периодическую траекторию периода
(в) при существует равно две периодические траектории периода
.
Теорема 3. Мера Лебега множества равно нулю, т.е.
.
Список литературы:
- K.M.Khanin and E.B.Vul. Circle Homeomorphisms with weak Discontinuities. Advances in Soviet Mathematics, v. 3, 1991, p. 57-98.
- И.П. Корнфельд, Я.Г.Синай, С.В.Фомин. Эргодическая теория. –М. Наука, 1980.
- Х.К.Каршибоев. Поведение ренормализаций эргодических отображений окружности с изломом// Узб. матем. журнал. – Ташкент, 2009. -№4. -С.82-95.