ПЕРЕНОРМИРОВАННЫЕ КООРДИНАТЫ ДЛЯ ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОКРУЖНОСТИ С ОДНОЙ ТОЧКОЙ ИЗЛОМА

АННОТАЦИЯ

В настоящей работе, найдены соотношение между  и , (и ), а затем показано, что  и  являются почти дробно-линейными функциями от  и  соответственно, где предполагается, что определяющая функция, удовлетворяет условиям  и число вращения  иррационально.

ABSTRACT

In the present paper, we find the relation between  and , (and ), then it is shown that  and  are almost linear-fractional functions of and , respectively, where it is assumed that the defining function satisfies the conditions and the rotation number is  irrational.

Ключевые cлова: гомеоморфизмов окружности, ренормализация, число вращения.

Keywords: circle homeomorphism, renormalization, rotation number.

Введение. Рассмотрим сохраняющий ориентацию гомеоморфизм  единичной окружности  (1.1) где скобка - обозначает дробную часть числа, а -определяющая функция  , удовлетворяет следующим условиям:

 -непрерывная, строго возрастающая функция на ;

  для любого ;

 гомеоморфизм   в точке  имеет излом, т.е. существуют конечные односторонние производные  и; 

 -абсолютно непрерывная функция на  и  при некотором .

Число  называется величиной излома  в точке . Условие  называется условием гладкости Кацнельсона и Орнстейна.

Анализ и результаты. Пусть число вращения  иррационально и разложение  в непрерывную дробь имеет вид: .

Положим .

Числа -удовлетворяют разностному уравнению:

.

Обозначим особую точку  через  и рассмотрим ее итерации, т.е. . Обозначим -замкнутый отрезок, соединяющий точки  и .

Обозначим через  замкнутый интервал, соединяющий точки  и . Ясно, что . Интервал -называется -ой ренормализационной окрестностью точки . Определим отображение Пуанкаре по формуле:

                                             (1.2)

По общей схеме метода ренормализационной группы (РГ) нас интересует главным образом поведение отображения Пуанкаре  при . Поскольку длина отрезка  экспоненциально стремится к нулю и  при , поведение  удобно изучить в новых перенормированных координатах. Введем перенормированные координаты  на :

                                                                  (1.3)

Обозначим . Очевидно, что . При , соответствующие координаты  принимают значения от  до . В новых координатах отображению  соответствует следующая пара :

                                  (1.4)

Пара функции  называется -ой ренормализацией отображения . Положим . Пусть для определенности -нечетное число, тогда имеет место соотношение .

Система отрезков  образует разбиение окружности (см. [1]). При этом соседние два отрезки из  пересекаются одной лишь концевой точкой.

Введем относительные координаты , внутри отрезков  и , внутри отрезков  по формулам:

                                                    (1.5)

Лемма 1.1. Имеют место следующие равенства: 

                               (1.6)

Доказательство леммы 1.1. Лемма 1.1 доказывается прямым вычислением. Если ,  тогда . Используя равенство (1.3) получаем:  и . Из этого ; Точно также, если , тогда  и , .

Учитывая это получаем

.

Лемма 1.1 доказана.

В настоящем параграфе, мы найдем соотношение между  и , (и ), а затем покажем, что  и  являются почти дробно-линейными функциями от  и  соответственно. Ниже мы всюду предполагаем, что определяющая функция, удовлетворяет условиям  и число вращения  иррационально.

Введем следующие обозначения:. Ясно, что

,

Теорема 1.1. Справедливо следующее равенство:

                               (1.7)

Доказательство. Теорема 1.1 доказывается прямым вычислением.

Ясно, что  

,

где,  

Подставляя в выражение для , получаем:

Из это вытекает что

Используя это равенство получим:

 (1.8)

Решая уравнение (1.8) относительно , получим доказательство теоремы 1.1.

Список литературы:

1. Вул Е.Б., Ханин К.М. Гомеоморфизмы окружности с особенностями типа излома//Успехи математических наук. -1990. т.45. вып.3(273).-  С.189-190.
2. Katznelson Y., Ornstein D. The differentiability of the conjugation of certain diffeomorphisms of the circle// Ergodic Theory Dynam.Systems.-1989.- № 9(4).-P.643-680.
3. Джалилов А.А., Каршибоев Х.К. Предельные теоремы для времени попаданий отображений окружности с одной точкой излома // Успехи математических наук. – Москва, 2004.- Т. 59. вып. 1(355). С. 185-186.
4. Х.К.Каршибоев. Поведение ренормализаций эргодических отображений окружности с изломом// Узб. матем. журнал. – Ташкент, 2009. -№4. -С.82-95.