ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД МОЛЕКУЛЯРНО-ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА

АННОТАЦИЯ

Приведена молекулярно-механическая модель системы в зависимости от плотности и объёма элемента частиц. Предложен элемент базовой ячейки и взаимодействие частиц данного элемента с окружающими соседними элементами. Доказано, что объём хранимой информации счетное время пропорциально растёту с увеличением этих частиц.

ABSTRACT

The molecular-mechanical model of the system is given depending on the density and volume of the particle element. An element of the base cell and the interaction of particles of this element with surrounding neighboring elements are proposed. It is proved that the amount of stored information for a counting time grows proportionally with the increase in these particles.

Ключевые слова: метод молекулярной динамики, счетное время, базовая ячейка, оперативная память, ЭВМ, индекс Массива.

Keywords: molecular dynamics method, counting time, base cell, random access memory, computer, array index

Введение. Метод молекулярной динамики (МД), развитий в работах   получил широкое распространение при изучении термических и спектральных характеристик различных молекулярно-механических систем. При конкретной реализации МД расчетов сталкиваются с рядом ограничительных факторов, связанных с возможностями ЭВМ и применяемых алгоритмов. Естественно, метод МД  развивается  по пути совершенствования схем расчетов с целью сокращения используемых ресурсов ЭВМ (оперативной памяти и счетного времени).

В работах  рассматривается система частиц с периодическими граничными условиями, потенциал взаимодействия рассчитывается по всем возможным попарным  комбинациям частиц с ограничением по радиусу взаимодействия   (r-радиус обрезания потенциала взаимодействия). Число частиц  в базовой ячейке N  можно практически довести только до нескольких сотен, так как дальнейшему увеличению его препятствует квадратичный рост счетного времени, . В работе (5) был предложен способ уменьшения хранимой информации. Базовая ячейка с длиной ребра L разбивается на элементы с длиной ребра (–диаметр частиц). Элементам соответствует целочисленный одномерный массив длиной ()³. Если частица попадает в некоторый  элемент    базовой ячейки, причем в один элемент может попасть не более одной частицы, в соответствующее место целочисленного массива заносится номер данной частицы. Поиск ближайших соседей проводится с использованием информации, занесенной в массив, который отображает пространственную структуру базовой ячейки. Как указывает автор, счетное время для системы из 500 частиц близко к счетному времени, указанному в работе (4), а оперативной памяти для хранения информации требуется значительно меньше.  Таким образом, остается открытым вопрос построения схемы расчета МД с оптимальными свойствами, когда с увеличением числа частиц в базовой ячейке счетное время возрастало бы пропорционально  -N при минимальной используемой оперативной памяти ЭВМ. 

Результаты исследований. Рассмотрим молекулярно - механическую модель системы из N частиц, размещенных в кубическом объеме (базовой ячейке) с длинной ребра L. Разделим объем базовой ячейки на кубические элементы с длинной ребра (-число разбиений по ребру базовой ячейки) и пронумеруем элементы трехмерными индексами . Сопоставим элементам одномерный целочисленный массив NN размером ()³, индексы которого связаны с индексами элементов соотношением

                                     (1)

 Если частица попадает в некоторый элемент базовой ячейки, ее номер заносится в соответствующее место массива NN.

Рисунок 1.Схема, иллюстрирующая основную и расширенную матрицу

В зависимости от плотности частиц и объема элемента в один элемент может попадать до нескольких частиц, поэтому мы используем упаковку номеров частиц по три в одной ячейки массива , м в случае переполнения ее заполняется соответствующую ячейка дополнительного массива    Массив  содержит информацию о пространственной конфигурации частиц в базовой ячейки.  На рис. 1 показан двумерный аналог расширенного пространства, полученного дополнением базовой ячейки по M элементов с длинной ребра   со стороны каждой грани в одном измерении. Пространственная конфигурация частиц, попавших в элемент расширенного объема с индексами  (индексы изменяются от I до ), тождественно совпадает с элементом базовой ячейки с индексами   связанными соотношениями

                                   (2)

(для   - аналогично).

B (2) операции проводятся по правилам целых чисел. Координаты частиц в элементе  в расширенном пространстве отличаются от координат частиц в элементе  на величину L, домноженную на значение в круглых скобках выражения (2). Таким образом, без увеличения объема используемой оперативной памяти ЭВМ картину межмолекулярного взаимодействия частиц можно рассматривать в расширенном пространстве. Выберем определенный элемент базовой ячейке, тогда частицы этого элемента взаимодействуют друг с другом с частицами окружающих элементов в расширенном пространстве (рис.1). Последние легко идентифицируются с использованием формул (1), (2) и массива .

Рисунок 2. Время, затраченное на один шаг МД расчета: -запоминание ближайших соседей, 2-предложенная схема, ПЗ-период запоминания

Предложенный подход был реализован в МД расчете характеристик системы из 108 частиц гранецентрированной кубической решетки Ar с потенциалом взаимодействия Леннарда-Джонса (радиус обрезания  при температуре  и давления  бар. На рис 2 приведено счетное время, затраченное на один шаг МД расчета по алгоритму с запоминанием ближайших соседей через  шагов, который считается оптимальным для систем с малым числом частиц, и по предложенному алгоритму с формированием массива  через  шагов. Видно, что счетное время по первой схеме растет быстрее, и этот рост будет существенным с увеличением числа частиц в базовой ячейке.

Рисунок  3. Зависимость внутренней потенциальной энергии системы от времени: 1,2-аналогично рис.2

На рис. 3 приведены зависимости внутренней потенциальной энергии системы для различных схем. Как видно, они равны в пределах ошибки периодического граничного условия, хотя поиск ближайших соседей ведется различными способами.

Выводы. Резюмируя, можно сказать, что и рассматриваемом методы объем информации, хранимой в оперативной памяти ЭВМ, счетное время с увеличением числа частиц растут пропорционально . Простота алгоритма позволяет эту схему применить для изучения термических спектральных характеристик реальных систем с любым дальнодействующим потенциалом взаимодействия, систем с образованием кластеров, а также для поиска ближайших соседей в методе Монте-Карло.

Список литературы:

1. Норман Г.Э., Стегайлов В.В. Стохастическая теория метода классической молекулярной динамики // Математическое моделирование. 2012. Т. 24, №6. С. 3–44.
2. Френкель Д., Смит Б. “Принципы компьютерного моделирования молекулярных систем” // М.: “Научный мир” (2013).
3. Rapaport, D.C. The Art of Molecular Dynamics Simulation. Cambridge University Press, 2004.