О РАСХОЖДЕНИИ ОРБИТ ТОЧЕК ИЗЛОМОВ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ ОКРУЖНОСТИ С ДВУМЯ ИЗЛОМАМИ

АННОТАЦИЯ

В этой работе изучены инвариантные меры на пространстве односторонних последовательностей , порожденные гомеоморфизмами из . Пусть  – гомеоморфизм,  – инвариантная мера  и  – мера Лебега на .  последовательность динамических разбиений на окружности, порожденных бесконечной орбитой точки излома . При помощи инвариантных мер и длин отрезков динамических разбиений однозначно можно построить борелевские меры  и  на пространстве .

ABSTRACT

In this paper, we study invariant measures on the space of one-sided sequences  – generated by homeomorphisms from . Let  be a homeomorphism, M an invariant measure of, and  a Lebesgue measure on .  be a sequence of dynamic circle partitions generated by the infinite orbit of the break point . With the help of invariant measures and lengths of segments of dynamic partitions, one can uniquely construct Borel measures  and  on the space .

Ключевые cлова: гомеоморфизм окружности, инвариантные меры, равномерно распределена.

Keywords: circle homeomorphisms, invariant measures, uniformly distributed.

В этой работе мы изучим вопрос о расхождении орбит двух точек изломов.    Для нас важную роль играет понятие равномерной распределенности последовательностей. Изучение равномерной распределенности последовательностей – одна из классических задач эргодической теории (см., например, [1; 3]).

Пусть  характеристическая функция отрезка  т.е.

Нам необходимо следующее определение.

Определение 1.1 (см. [2; 5]). Последовательность  действительных чисел называется равномерно распределенной по модулю 1 (сокращенно mod 1), если для каждой пары  действительных чисел  справедливо следующее равенство:

где запись  указывает количество элементов в .

Таким образом, предел относительной частоты попадания в [a,b] зависит только от длины отрезка [a,b] и не зависит от место расположения этого отрезка на  Заметим, что понятие равномерной распределенности числовой последовательности было введено Г. Вейлом, и ему принадлежат первые фундаментальные результаты в этом направлении (см., напр. [Kuip. Nied]).

Справедлива следующая важная теорема из теории равномерно распределенных последовательностей.

Теoрема 1. (см. [5]) Пусть  и  последовательность функций удовлетворяющих следующим условиям:

для любых  функции  являются монотонными на , кроме того

где константа  не зависит от  и  Тогда последовательность  почти для всех  (по мере Лебега) является равномерно распределенной на  

Теoрема 2. Пусть  иррациональное число и  времени первого возвращения числа  Рассмотрим любую ее подпоследовательность . {q_{m_{n}},n=1,2,…}.

Тогда последовательность

почти для всех  (по мере Лебега) является равномерно распределенной на отрезке

Пусть  Рассмотрим последовательность  Отметим, что эта последовательность не всегда равномерно распределена на отрезке .

Вопрос о структуре множества

является важным при изучении многих задач теории информации (см., напр. [Larcher]).

Теперь сформулируем две важные теоремы, касающиеся множества

Теорема 3. (см. [4]). Пусть  иррациональное число «ограниченного типа» и  времени первого возвращения для . Тогда

 если и только если  

В общем случае, если  является иррациональным числом «неограниченного типа», то утверждение теоремы 2.2.3 неверно.

Теорема 4. (см. [4]). Существует иррациональное число  «неограниченного типа», такое, что для любого  имеет место соотношение

где  времени первого возвращения для .

Рассмотрим иррациональный поворот окружности  mod1,  Возьмем любые две точки  На окружности  положительным считается направление от 0 в сторону 1. Расстояние между точками  и  определяется как

                                      (1)

Теорема 5. Пусть  – линейный поворот на  и  Предположим, что  – иррациональное число «ограниченного типа». Тогда

                                                                    (2)

в том и только в том случае, если точки  и  лежат на одной орбите.

Расположения точек изломов

Теперь мы приведем необходимые факты о расположении точек изломов  (см. [3]). Кроме того, приведем равенство Данжуа для отображений окружности  с двумя изломами.

Пусть  гомеоморфизм окружности с двумя изломами в точках  и , лежащих на разных орбитах. Предположим, что число вращения  иррационально. Единственную инвариантную меру обозначим через

Отображение  имеет  точек изломов. Множество всех точек изломов обозначим

где , и , .

Множество всех точек изломов определяет разбиение окружности, которое обозначим через

Рассмотрим динамические разбиения  точки излома  

где  есть отрезок, соединяющий точки  и  а

В дальнейшем нам необходимы факты о расположении точек изломов отображения  на атомах динамических разбиений (см. [4]).

Для нас важно расположение второй точки излома  на атомах разбиения  первой точки излома

Для второй точки излома возможны следующие три взаимоисключающие случая:

  для некоторого

  для некоторого

  для некоторого

Теперь сформулируем три леммы, описывающие расположение 2 точек изломов  в каждом вышеуказанном случае отдельно.

Следующая лемма соответствует случаю

Лемма 1. (см. [3]). Пусть  для некоторого   Тогда точки излома  of  принадлежат следующим интервалам динамического разбиения  

 •  

 • ;

 • ;

 • .

Теперь сформулируем лемму, соответствующую случаю

Лемма 2. (см. [3]). Предположим, что  для некоторого  Тогда точки излома отображения  принадлежат следующим интервалам динамического разбиения , соответствующего точке излома  

 •  

 • , ;

 • , .

Следующая лемма соответствует случаю

Лемма 3. (см. [4]). Если  для некоторого  , то точки излома  принадлежат следующим интервалам динамического разбиения  точки излома

 • ;

 •  

Отметим, что эти леммы верны и для любого иррационального вращения  с любыми двумя точками , чьи прообразы под сопряжения  соответствуют точкам излома гомеоморфизма . В частности, эти леммы верны и для любого кусочно-линейного гомеоморфизма окружности  с двумя изломами и иррациональным числом вращения.

Положим , и все обозначения для точек изломов оставим без изменения. Хорошо известно, что для кусочно-гладких отображений окружности с иррациональным числом вращения среднее  по инвариантной мере  равно нулю (см. [4]). Отсюда, используя утверждения лемм 1–3, можно получить явные выражения для  ( см. [4]).

В случаях леммы 1 и леммы 3 точки излома , происходящего от , и точки излома  происходящего от , чередуются на окружности  Предположим, что  нечетное.

Пусть точки излома  и  удовлетворяют условиям леммы 1. Очевидно, что эти точки излома определяют систему непересекающихся интервалов окружности :  соответственно

Объединяя эти системы интервалов, определим следующие подмножества

                                           (3)

При предположениях леммы 2.2.3 получаются следующие интервалы

 соответственно,

которые мы объединяем в подмножества

Для четного  ориентация в указанных интервалах меняется в обратном направлении. Поэтому в случае леммы 1 мы имеем следующую систему непересекающихся интервалов соответственно,

В случае леммы 3 имеем следующие интервалы  соответственно,

В случае леммы 1 и четного , соответственно, в случае леммы 3 и нечетного  подмножества  и  можно определить как и раньше. Приведенные выше конструкции показывают, что границы каждого интервала в подмножествах  и  состоят из точек излома из множества  соответственно, из  По определению величина излома  в точке излома  есть  Теперь сформулируем первую теорему о значениях кусочно-постоянной функции

Теорема 6. (см. [3; 4; 2]). Пусть  – кусочно-линейный гомеоморфизм окружности с иррациональным числом вращения  и двумя точками изломов  и  лежащими на разных орбитах.

Теорема 7. (см. [3]) Пусть  – кусочно-линейный гомеоморфизм окружности с иррациональным числом вращения  и двумя точками излома  и  лежащими на разных орбитах. Предположим, что  удовлетворяет условиям леммы 2. Тогда для всех  

Сформулируем основной результат нашей работы.

Теорема 8. Предположим, что  – гомеоморфизм окружности с двумя точками излома  и  Пусть число вращения  «ограниченного типа». Тогда, орбиты точек изломов  и  расходятся.

Список литературы:

1. Корнфельд И.П., Синай Г.Я., Фомин С.В. Эргодическая теория. – М. : Наука, 1980.
2. Herman M. Measure de nombre de rotation, Geometry and Topology // Lecture Notes in Mathematics. – Berlin, Heidelberg, New York : Springer, 1977. – № 597. – P. 271–293.
3. Katok A., Hasselblatt B. Introduction to the modern theory of dynamical systems. – Cambridge : Cambridge University Press, 1995.
4. Khanin K.M., Vul E.B. Circle homeomorphisms with weak discontinuities // Advances in Soviet Mathematics. – 1991. – № 3. – P. 57–98.
5. Swiatek G. Rational rotation number for maps of the circle // Comm. Math. Phys. –1988. – № 119 (1). – Р. 109–128.