ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПЕРЕТОКА В МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ УОРРЕНА-РУТА НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ

АННОТАЦИЯ

В работе поставлена и численно решена обратная задача по определению коэффициента перетока в модели Уоррена-Рута для фильтрации однородной жидкости в трещиновато-пористых средах. Для решения задачи использованы методы идентификации первого порядка. Установлено, что коэффициент перетока при различных нулевых приближениях с невозмущенными исходными данными восстанавливаются достаточно хорошо при небольших числах итераций.

ABSTRACT

In this paper, the inverse problem of determining the flow coefficient in the Warren-Root model for filtering a homogeneous fluid in fractured-porous media is posed and numerically solved. To solve the problem, first-order identification methods were used. It has been established that the flow coefficient at various zero approximations with unperturbed initial data is restored quite well at a small number of iterations.

Ключевые слова: метод идентификация, обратная задача, фильтрация, трещиновато-пористая среда, устойчивость решения.

Keywords: identification method, inverse problem, filtration, fractured-porous medium, solution stability.

Введение

Теория фильтрации однородных жидкостей в трещиновато-пористых средах (ТПС) рассмотрены в [3, 4]. Согласно по этой теории ТПС описывается как взаимодействующая среда, состоящая из системы трещин и пористых блоков. Уравнения движения и сохранения массы записываются независимо для каждой среды, т. е. в каждой точке вводятся две проницаемости, пористости, скорости фильтрации и два давления. Переток жидкости из одной среды в другую учитывается введением функции источника-стока в уравнениях сохранения массы. Предполагается, что пласт однороден, изотропен и течение в обеих средах происходит в пределах справедливости закона Дарси. Жидкость слабосжимаема, обе среды – упругие, происходит обмен жидкостью между трещинами и пористыми блоками и масса протекающей из блоков в трещины жидкости  подчиняется соотношению

                                                                  (1)

где  – безразмерный коэффициент, зависящий от геометрических характеристик пористых блоков;  – плотность при первоначальном давлении ,  – динамическая вязкость жидкости,  – давления в трещинах и пористых блоках, соответственно .

При этих предпосылках уравнения фильтрации в одномерном случае принимают вид:

                                                  (2)

где

 – проницаемости,  – пористости,  – пористости при ,  – скорость фильтрации,  – коэффициент сжимаемости жидкости,  – коэффициент сжимаемости среды,  – плотность жидкости, индекс  соответствует трещинам,  – пористым блокам.

Из обобщенной модели (2) в условиях , , , получается упрощенная система уравнений

                                                  (3)

Уоррен и Рут [17] учитывали сжимаемости трещин, но пренебрегали движением жидкости в пористых блоках. В этих соображениях из (2) получается следующую систему уравнений

                                                 (4)

В некоторых источниках система уравнений (4) называется «усеченной».

Модели (2), (3), (4) широкое применяется в анализе процессов разработки залежей нефти с трещинными и трещиновато-пористыми коллекторами [5, 9, 16].

Некоторый анализ моделей движения жидкостей в ТПС можно найти в работах [11, 16]. Постановка задач для упрощенных и «усеченных» систем уравнений (3), (4) имеет ряд особенностей, этими сведениями можно ознакомиться в [10, 11].

Некоторые коэффициентные обратные задачи фильтрации жидкости в пористых и трещиновато-пористых средах решались в [6, 8, 12, 13, 14].

В этой работе используя систему уравнений (4) решается коэффициентная обратная задача по определению параметра перетока . В качестве исходных данных для обратной задачи принимается решение прямой задачи в определенных точках области исследования. Следовательно, проводиться квазиреальный вычислительный эксперимент.

Постановка обратной задачи

Система уравнений фильтрации однородной жидкости в ТПС (4), называемой уравнениями Уоррена-Рута, записываем в виде

                                                 (5)

Для решения системы уравнений (5) задается началные и граничные условия в виде

                                              (6) 

                                            (7) 

Задача (5), (6), (7) соответствует прямой постановке. Для решения обратной задачи по определению  необходимо задать дополнительные условия, в качестве которых используем решение задачи (5), (6), (7) при известном  в заданных точках области. Пусть такая информация дается в точке  как решение , которого обозначим как .

Обратная задача ставится следующим образом: определить коэффициент перетока  из условия минимума следующего функционала

                                                             (8)

где  – решение задачи (5) - (7) при заданном .

Решение обратной задачи

Условие стационарности функционала (8)  запишется в виде

                                     (9)

где  – функция чувствительности [1, 2] по коэффициенту .

Разложим в ряд функцию  в окрестности  с точностью до членов второго порядка [2]

                                               (10)

где  – -ое приблежение , ,  – приближения, соответствующие  и .

Подставляем разложение (10) в соотношение (9) получим следующие соотношение:

из последнего выражения можно вычислить приближение , если функции  и  известны

                                          (11)

Дифференцировав систему уравнений (5) по коэффициенту  получим следующую систему уравнений

                 (12)

где  – функции чувствительности [1, 2] по коэффициенту .

Начальные и граничные условия для системы уравнений (12) получаются из условий (6), (7) дифференцированием по :

                                                    (13)

                                              (14)

Численный алгоритм определения коэффициента  можно построить следующим образом:

1) Выбирая начальное приближение  (полагая );

2) Решается задачу (5) - (7) от  до  и определяется функцию . Вычисляется значение функционала (8). После этого решается задачу (12) - (14) от  до  и определяется функцию ;

3) По формуле (11) вычисляется приближение ;

4) Повторяется этапы 2), 3) до выполнения условия

где  – допустимые погрешности.

В рамках квазиреального эксперимента [15] сначала рассматривается прямая задача (5) - (7) с известным . Эта задача решается численно методом конечных разностей [7]. По результатам численных расчетов определяется сеточная функция  Кроме того, при решении обратной задачи сеточная функция  зашумляется случайными погрешностями [15] следующим образом:

                                                               (15)

где  – случайная функция, равномерно распределенная на интервале ,  – уровень погрешности.

Для численного решения задачи (5) - (7) использованы следующие исходные значения параметров:  с,  м,  м²,  МПа,  МПа×с,  МПа^-1,  м/с. График  представлен на рис.1.

Рисунок 1. График функции  

Разностные задачи

Задачи (5) - (7), (12) - (14) при  решаются численно с помощью метода конечных разностей [7]. В области  введем равномерную сетку

,

где  – шаг сетки по координате ,  – шаг сетки по времени . Вводим обозначения , , , , , .

Для разностной аппроксимации задачи (5) - (7) используем чисто неявную разностную схему:

                                     (16)

где        

Функционал (8) после аппроксимации принимает вид

Аналогично аппроксимируем задачу (12) - (14)

                                   (17)

После аппроксимации приближение  (11) вычисляется следующим образом

Системы разностных уравнений (16), (17) решаются методом прогонки [7], и находятся разностные решения , , , .

Результаты численных расчетов

Сетка разбивала координатный отрезок  на 120 интервалов, временный отрезок  – на 4000 интервалов. «Данные измерения»  (15) подготовлены на основе этого решения в 200 точках «время». Результаты расчетов восстановления коэффициента  с невозмущенными исходными данными при различных начальных приближениях представлены на Рис. 2-3.

В случае, когда начальное приближение до три раза больше (или четыре раза меньше) чем точное значение искомого коэффициента, для восстановления параметра  достаточно 5-7 итераций (Рис.2.а., Рис.2.б.). В случае, когда начальное приближение в 3-5 раза больше чем точное значение искомого коэффициента, требуется 10-23 итераций (Рис.2.в., Рис.2.г.). А в случае, когда начальное приближение от пяти до шести раза больше чем точное значение искомого коэффициента, требуется 28-75 итераций (Рис.3.а., Рис.3.б.). Чем больше начальное приближение удаляется от точки равновесия, требуется тем большее число итерации.

Результаты расчетов с возмущенными исходными данными представлены в табл. 1. Численные расчеты проведены с начальным приближением . Относительные погрешности восстановления коэффициента  изменяется в пределах 0,000028 % до 7,912444 %. Как видно из табл. 1 относительная погрешность определения  с увеличением погрешности исходных данных увеличивается.

Рисунок 2. Восстановление коэффициента   с невозмущенными исходными данными (при  ),   – использованное при подготовке исходных данных значение параметра  .

Рисунок 3. Восстановление коэффициента  с невозмущенными исходными данными (при ),  – как на Рис. 2.

Таблица 1.

Восстановление коэффициента  с возмущенными исходными данными

Заключение

В данной работе рассмотрена обратная коэффициентная задача фильтрации однородной жидкости для модели Уоррена-Рута в трещиновато-пористых средах. Искомым параметрам коэффициент перетока находится из решения обратной задачи.

Для того чтобы подготовить дополнительную информацию для решения обратной задачи рассматривалась соответствующая прямая задача с известным значением коэффициента перетока. Таким образом подготавливается «исходные данные» для решения обратной задачи. Проводились также расчеты с возмущенными исходными данными, которые подготовлены путем зашумления данных случайными погрешностями.

Для решения обратной задачи использован метод идентификации первого порядка. Метод идентификации основан путем минимизации функционала невязки. Минимум функционала определяется из условия стационарности по искомому коэффициенту. Результаты расчетов показывают, что если в итерационном процессе начальные приближения близки к точке равновесия, коэффициент перетока восстанавливается достаточно быстро. При удалением начальные приближения от точки равновесия, при восстановление коэффициента перетока требуется больше итераций.

Список литературы:

1. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1988. – 288 с.
2. Бабе Г.Д., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Идентификация моделей гидравлики. – Новосибирск: Наука, 1980. – 161 с.
3. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П. Об основных уравнениях фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах. // ДАН СССР, – 1960. – Т. 132, - №3. – С. 545-548.
4. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // ПММ. – 1960. – Т. 24, вып. 5. – С. 852-864.
5. Майдебор В.Н. Особенности разработки нефтяных месторождений с трещиноватыми коллекторами. – М.: Недра, 1980. – 288 c.
6. Нармурадов Ч.Б., Холияров Э.Ч., Гуломкодиров К.А. Численное моделирование обратной задачи релаксационной фильтрации одно однородной жидкости в пористой среде // Проблемы вычислительной и прикладной математики. – 2017. – №2. – С. 12-19.
7. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука. 1989. – 616 с.
8. Хайруллин М.Х., Хисамов Р.С., Шамсиев М.Н., Фархуллин Р.Г. Интерпретация результатов гидродинамических исследований скважин методами регуляризации. М. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. – 172 с.
9. Шаймуратов Р.В. Гидродинамика нефтяного трещиноватого пласта. – М.: Недра, 1980. – 223 с.
10. Barenblatt G.I., Entov V.M., Ryzhic V.M. Theory of Fluid Flows through Natural Rocks. London, 1990.
11. Chen Z.-X. Transient flow of slightly compressible fluids through double-porosity, double-permeability systems // Transport in Porous Media. 1989. Vol. 4. P. 147-184.
12. Khairullin M.H, Abdullin A.I., Morozov P.E., Shamsiev M.N. The numerical solution of the inverse problem for the deformable porous fractured reservoir // Matem. Mod. – 2008. Vol. 20. № 11, – P. 35–40.
13. Khuzhayorov B., Kholiyarov E. Inverse problems of elastoplastic filtration of liquid in a porous medium // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. – 2007. Vol. 8. № 3. – P. 517-525.
14. Khuzhayorov B., Ali Md. F., Sulaymonov F., Kholiyarov E. Inverse coefficient problem for mass transfer in two-zone cylindrical porous medium // AIP Conference Proceedings. – 2016. Vol. 1739. 020028.
15. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics. Berlin: Walter de Gruyter, 2007. – 438 p.
16. Van Golf-Racht, T.D., Fundamentals of Fractured Reservoir Engineering. Developments in Petroleum Science, Elsevier Scientific, Amsterdam, Oxford, New York. 1982. – 365 p.
17. Warren, J.E. and Root, P.J. The behavior of naturally fractured reservoirs // Soc. Petrol. Eng.J. 1963, Sept., - P. 245-255.