АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

АННОТАЦИЯ

В данной работе представлен обзор современных технологий и этапов в изучении обратных задач теплопроводности. Проведен анализ новых методов моделирования и обзор современных решений обратных задач теплопроводности с использованием актуальных моделей и методов. В работе показаны различные подходы в решении задач теплопроводности и некоторое применение обратных задач в решении современных актуальных физических задач. Данная работа позволит понять на каком этапе находится современное изучение проблем в прикладной теплометрии, интерпретирует проблемы обратных задач теплопроводности и граничных условий теплообмена, и их восстановления, путем исследования современных трудов специалистов в области теплофизики.

ABSTRACT

This paper provides an overview of modern technologies and stages in the study of inverse heat conduction problems. An analysis of new modeling methods and a review of modern solutions of inverse heat conduction problems using current models and methods are carried out. The paper shows various approaches to solving heat conduction problems, and some application of inverse problems in solving modern topical physical problems. This work will make it possible to understand at what stage the modern study of problems in applied heat measurement is, interprets the problems of inverse problems of heat conduction and boundary conditions of heat transfer, and their recovery, by studying the modern works of specialists in the field of thermal physics.

Ключевые слова: обратная задача теплопроводности, теплообмен, теплопроводность, модель, эксперимент, современные методы, численные измерения.

Keywords: inverse problem of thermal conductivity, heat transfer, thermal conductivity, model, experiment, modern methods, temperature measurement, numerical measurements.

В настоящее время в быстро развивающейся мировой науке и технике, дальнейший технологический прогресс зависит от решения множества проблем прикладной теплометрии, одни из них — это измерения локальных плотностей тепловых потоков на поверхностях различных объектов исследования, контроля или управления.

Решение задач теплопроводности позволяет продвинуть теплофизику и науку в целом, так как будет возможно увеличить максимальный порог в тепловом режиме, увеличить работоспособность приборов и устройств, будь это вычислительные приборы, полупроводниковые материалы, оптические проводники и прочее.

На современном этапе развития теплофизики существуют множество задач, которые необходимо решить. Одними из них являются – обратные задачи теплопроводности.

В настоящее время активно идет прогресс вычислительной техники, что позволяет выполнять множество сложнейших вычислений. Это позволило открыть все больше новых методов при исследовании сложных физических явлений. В новых методах все чаще встречаются методы решения задач теплопроводности путем компьютерного моделирования. С применением различных новых методов моделирования обратных задач теплопроводности можно получить ряд важных для практики результатов, повысить точность и улучшить качество визуализации.

АНАЛИЗ И НОВЫЕ МЕТОДЫ В ИЗУЧЕНИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Один из новых методов в изучении обратных задач теплопроводности это метод последовательного сопряженного градиента для оценки теплового потока для нелинейной обратной задачи теплопроводности [1]. Данный метод имеет название (IHCP) в зарубежной интерпретации. Этот модифицированный метод сочетает в себе достоинства метода последовательной спецификации функций (SFSM) и метода сопряженных градиентов (CGM). Предлагаемый метод позволяет эффективно устранить опережающую ошибку, которая неизбежно генерируется в SFSM из-за существования временного допущения о неизвестных параметрах, и сократить время вычисления нелинейного IHCP.

Для оценки предложенного метода используются прямоугольные и синусоидальные тепловые потоки, а также изучается влияние количества будущих временных шагов и ошибок измерения на прогнозируемые результаты.

Численные эксперименты подтверждают эффективность и своевременность предложенного нелинейного алгоритма IHCP при восстановлении теплового потока. Результат решений данного метода показывает, что предлагаемый метод более точен по сравнению с методом последовательной спецификации функций SFSM в условиях больших ошибок измерения, а время вычислений намного быстрее, чем у метода сопряженных градиентов CGM.

Методом обратной теплопроводности также можно определить термические характеристики материалов с фазовым переходом [2]. Этот экспериментальный подход основан на решении обратной задачи теплопроводности, для оценки параметров затвердевания солей полимерных композиционных материалов (ПКМ). Метод позволяет оценить межфазный тепловой поток «плесень-соль» и применяется для расчета скрытой теплоты солевых ПКМ с использованием калориметрических уравнений баланса энергии. Этот метод более точен по сравнению с методами компьютерного анализа кривой охлаждения (CACCA), поскольку он устраняет недостатки, связанные с расчетами подгонки базовой линии и ошибки, возникающие из-за неправильного выбора точек затвердевания. Для проверки этого метода использовались чистые солевые ПКМ, такие как KNO₃ и солнечная соль. Для демонстрации влияния скорости охлаждения на характеристики затвердевания были приняты как воздушное охлаждение, так и охлаждение печи. Была проанализирована смачиваемость образцов соли на поверхности из мягкой стали, чтобы учесть разницу в термическом поведении солей.

Далее рассмотрим новый общий подход к решению трехмерных нестационарных нелинейных обратных задач теплопроводности в нерегулярных сложных конструкциях [3]. Данный метод комплексного дифференцирования переменных (CVDM) впервые введен в коммерческое программное обеспечение «ABAQUS» для метода конечных элементов (FEM) для решения трехмерных обратных задач теплопроводности.

Для этого сначала устанавливаются комплексные переменные FEM, которые затем инновационно разрабатываются с помощью подпрограммы пользовательских элементов (UEL) в ПО ABAQUS. Затем точно оцениваются ключевые параметры в алгоритме Левенберга-Марквардта для решения обратных задач, коэффициенты матрицы чувствительности с использованием стандартных решателей CVDM и ABAQUS с UEL. Наконец, проводились несколько численных тестов, для того чтобы проверить эффективность нового подхода к решению трехмерной нестационарной нелинейной обратной задачи теплопроводности в нерегулярной сложной структуре.

РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПОМОЩЬЮ СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ

Помимо прочих методов решения существуют и другие методы, к примеру метод решения двумерных нестационарных обратных задач теплопроводности на основе метода граничных элементов и метода задания последовательных функций [4]. Здесь представлены метод граничных элементов (BEM) и метод последовательной спецификации функций (SFSM), которые используются для исследования обратной задачи идентификации граничного теплового потока в двумерной системе теплопроводности. Будущий временной шаг в SFSM оптимизируется за счет введения принципов остаточной ошибки для получения более точных результатов инверсии.

В методе прямые задачи BEM использовались для расчета требуемого значения температуры дискретной точки, в обратных задачах обсуждалось влияние различных будущих временных шагов, положение точки измерения и ошибки измерения на результаты инверсии. Кроме того, в работе выполняется сравнение для оптимального временного шага, полученного путем введения принципа остаточной ошибки и собственного будущего временного шага. [4]

Наряду с другими, также, существует проблема, относящаяся к инверсии внутренних характеристик или тепловых граничных условий системы теплопередачи, с использованием других известных условий системы и в соответствии с некоторой информацией, которую система может наблюдать. Данная проблема прослеживается в двумерной нестационарной обратной задаче теплообмена. Её можно решить с использованием метода конечных разностей и метода прогнозного управления модели [5]. Это широко видно в областях техники, связанных с измерением теплопередачи, таких как аэрокосмическая промышленность, технология атомной энергии, машиностроении и в металлургии. Здесь используется метод конечных разностей (FDM) и метод прогнозируемого управления моделью (MPCM) для изучения обратной задачи в граничном коэффициенте теплопередачи третьего типа, участвующем в двумерной нестационарной системе теплопроводности. Принцип невязки вводится для оценки оптимизированного параметра регуляризации в методе управления прогнозированием модели, тем самым получая более точный результат инверсии. Метод конечных разностей (FDM) принят для прямой задачи расчета значения температуры в различных квантах времени в необходимой дискретной точке, а также проверки температурного поля по кванту времени, в то время как обратная задача обсуждает влияние различных ошибок измерения и положения точек измерения на обратный результат. Как показал эмпирический анализ, предложенный метод остается высокоточным, несмотря на наличие ошибок измерения или близкое расстояние положения точки измерения от граничного углового угла точки.

Также для решения двумерной обратной задачи теплопроводности можно использовать модифицированный квазистационарный квазиграничный метод [6]. Здесь рассматривается задача, которая определяет температуру поверхности и распределение теплового потока на основе данных измерений в фиксированном месте. Проблема была поставлена некорректно и ей была присуща условная устойчивость. В работе [6] предлагается модифицированный метод квазиграничной регуляризации для решения некорректной задачи.

С помощью этого метода, выбирая подходящие параметры регуляризации и вводя некоторые технические неравенства, возможно получить довольно точные оценки погрешности между приближенным решением и его точным решением.

Далее рассмотрим работу, где производилось решение прямых и обратных задач теплопроводности в функционально-градиентных материалах с использованием точного и надежного численного метода [7]. Здесь авторы представили численный подход к решению стационарных задач теплопроводности в функционально-градиентных материалах (FGM). Были рассмотрены два различных типа градаций материала для пространственно изменяющейся теплопроводности FGM, такие как: квадратичная градация материала и экспоненциальная градация материала. Предлагаемая численная процедура основана на методе конечных разностей и разработана для решения стационарного уравнения теплопроводности для двумерного (нерегулярного) теплопроводного тела (FGM) с граничными условиями Дирихле, Неймана и Робена. В дополнение к представлению точного решения уравнения теплопроводности, учитывающего неправильную форму и множество граничных условий, другим новым аспектом этого исследования является точное определение постоянных параметров в градациях материалов с помощью обратного анализа, тем самым определяя точную форму градации. Новизна обратного анализа заключается в том, что он предлагает точную и эффективную схему явного анализа чувствительности. Основное преимущество схемы анализа чувствительности состоит в том, что она не связана с сопряженным уравнением, и все коэффициенты чувствительности могут быть явно вычислены только в одном прямом решении. Метод сопряженного градиента (CGM) используется для уменьшения несоответствия между вычисленной температурой на части границы и смоделированным измеренным распределением температуры. Точность, эффективность и надежность предлагаемого численного подхода демонстрировались посредством представления двух тестовых примеров.

Помимо обратных задач теплопроводности, существуют обратные задачи нестационарной теплопроводности [8] в части сложных областей, её решение сводится к цели – сформулировать два простых метода, которые могут быть использованы для решения нелинейных обратных задач теплопроводности в части компонента сложной формы в оперативном режиме. Эти предлагаемые методы могут быть полезны, если измерения температуры проводятся только в выбранной части негабаритного элемента или если весь элемент не может быть проанализирован из-за плохой обработки обратной задачи теплопроводности. Тут предполагалось, что кондуктивный теплообмен происходит через поверхности, отделяющие домен от остальной части компонента. Было показано, что часто приводимое в литературе упрощающее предположение о теплоизоляции этих поверхностей может привести к существенным ошибкам. Если на разделяющих поверхностях ввести два дополнительных неизвестных граничных условия, кондиционирование обратной задачи существенно ухудшится. Несмотря на это, стабильные решения достигаются для «зашумленных данных измерений». [8]

Также представленные методы могут быть использованы для оптимизации пуско-наладочных работ энергоблока. Они также могут позволить снизить тепловые потери, возникающие в процессе, и продлить срок службы энергоблока. Представленные в работе методы могут применяться в системах мониторинга, работающих как на обычных, так и на атомных электростанциях.

СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Большая часть обратных задач теплопроводности в настоящее время моделируются на компьютерах. К примеру, в моделировании температурного поля внутренней поверхности стенки доменной печи на основе обратных задач теплопроводности [9]. Температуры внутренней поверхности стенки доменной печи непосредственно отражают градиент распределения поля теплового потока внутри доменной печи, которые используются для оценки плавности работы доменной печи. Однако доменная печь представляет собой закрытый комплексный реактор с интенсивными внутренними химическими реакциями и высокой температурой, температуру стенки печи невозможно измерить напрямую. Посредством стратегии многоуровневого моделирования разрабатывается объектная модель стенки доменной печи.

На основе обратных задач теплопроводности отклонение между расчетной температурой и фактически измеренной температурой в точке расположения термопары в охлаждающей стойке устанавливается в качестве условия завершения. Рассматривается метод коррекции температурного поля внутренней поверхности в стенке печи, когда условие завершения не выполняется. Функция коррекции определяется на основе метода управляющих переменных. С помощью программы «ANSYS» в работе получено поле распределения температуры стенки доменной печи, удовлетворяющее допустимому диапазону отклонения температуры, что также демонстрировало справедливость разработанной модели. Результаты исследований позволяют операторам доменных печей оценить и скорректировать ряд рабочих параметров.

Помимо доменных печей, с помощью моделирования обратной теплопередачи можно оценить кажущуюся теплопроводность вспучивающейся огнезащитной краски [10]. Вспучивающиеся краски широко используются в качестве пассивных огнезащитных материалов в строительном секторе, в первую очередь для стальных каркасных конструкций. Огнестойкость коммерческих вспучивающихся покрытий обычно проверяется экспериментально с помощью дорогостоящих и длительных крупномасштабных испытаний, и наоборот, все более распространенный подход к пожарной безопасности, основанный на характеристиках, требует разработки методов для обобщения и прогнозирования поведения этих защитных материалов.

Недавно была предложена методика экспериментов и обработки данных, основанная на измерениях температуры растущего слоя угля и постановке обратной задачи теплопроводности внутри системы. Это исследование показало, что для получения надежных прогнозов при обработке экспериментальных данных требуется точный и полный подход к моделированию. В этой работе предлагается и проверяется расширенная процедура оценки кажущейся теплопроводности вспучивающейся краски. Анализ, представленный в этом исследовании, выполненный с физическими и химическими характеристиками вспучивающейся краски, позволяет с хорошим приближением оценить кажущуюся теплопроводность обугленного слоя, тем самым предоставляя важную информацию для оценки огнезащитной способности покрытия при пожаре. [10]

ПРИМЕНЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В РЕШЕНИИ СОВРЕМЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Исследованные новые методы решения обратных задач теплопроводности хорошо внедряются и применяются в различных отраслях науки. Рассмотрим несколько примеров. Большинство доступных в литературе методов решения обратных задач теплопроводности IHCP сформулированы для тел простой формы и не могут быть применены к сложной геометрии. В этой работе [11] 3-D задача упрощена до осесимметричного анализа. Если диаметр сопла ненамного меньше диаметра цилиндрической детали, предлагается скорректированная осесимметричная модель. Далее представлен метод решения осесимметричного IHCP в сложной области. Он основан на методе конечных элементов контрольного объема. На основе температурных переходных процессов, измеренных на внешней поверхности, распределение температуры восстанавливается путем перехода от известной границы к неизвестной. Разработанный метод применяется для определения температуры в цилиндрической детали с соплом. Представленный алгоритм протестирован с использованием измеренных температур, полученных из прямого раствора. Распределение переходной температуры, полученное с помощью метода, представленного в статье, сравнивается со значениями, полученными с помощью прямого решения. Предлагаемый метод также используется для оценки неизвестного граничного условия. Информация о значении коэффициента теплопередачи позволяет описать явления теплопередачи, происходящие внутри детали.

Данный метод позволяет оптимизировать пуск и останов энергоблока, способствует снижению тепловых потерь, возникающих при эксплуатации, и позволяет продлить срок эксплуатации энергоблока. Метод может быть также использован в системах мониторинга как обычных, так и атомных электростанций.

Помимо вышеперечисленных методов в ранних рассмотренных подпунктах в работе [12] описывается бесеточный метод решения трехмерных обратных задач теплопроводности, основанный на методе фундаментального решения (MFS). Для преодоления некорректности соответствующей задачи здесь использовался метод регуляризации Тихонова, а также принцип невязки Морозова для выбора подходящего параметра регуляризации. Следовательно, в работе было необходимо обеспечить стабильные и точные численные результаты. Изучая данную работу, можно увидеть, что далее были приведены некоторые примеры для проверки эффективности этого метода и дан чувствительный анализ. Также проанализированы численная сходимость и устойчивость этого метода.

Не менее интересный метод – оригинальный взгляд на пульсирующие тепловые трубки: метод обратной теплопроводности для оценки теплового поведения. В современное время перспективным решением в области пассивных двухфазных теплопередающих устройств являются Pulsating Heat Pipes (PHP). Эти относительно новые устройства, вызывающие большой интерес с точки зрения высокой теплопередачи, эффективного терморегулирования, адаптируемости и низкой стоимости, в последние годы широко изучались многими исследователями. Многие авторы исследовали тепловые потоки в испарителе и конденсаторе только в терминах средних значений. В этой работе [13] был представлен и протестирован новый подход к исследованию локального теплового потока в PHP: распределения температуры на внешней стенке PHP, полученные с помощью высокоскоростной инфракрасной камеры с высоким разрешением, использовались в качестве входных данных для обратного тепла. проблема проводимости в стене при подходе решения, основанном на методе регуляризации Тихонова.

Инфракрасное изображение выполняется на одинарном контуре PHP, разработанном с сапфировыми вставками, частично покрытыми высокоэмиссионной краской, что позволяет одновременно определять температуру внешней стенки и температуру жидкости. Результаты работы показывают, что этот метод может показать, когда тепло передается от жидкости к сапфировой стенке, когда горячая жидкость выталкивается из испарителя в конденсатор; повышение температуры стенки трубы. Напротив, когда холодная жидкость течет обратно из конденсатора, трубка отдает ранее накопленное тепло, тем самым снижая ее температуру. Этот подход позволяет анализировать тепловое поведение устройства, исследуя прямую взаимосвязь между термогидродинамическими явлениями внутри PHP и локальными измерениями теплового потока.

В данной работе был произведен обзор современных методов в изучении обратных задач теплопроводности, новых численных моделей, которые применяются в нынешнее время для решения проблем теплопроводности и теплоотдачи. Рассмотрены некоторые методы компьютерного моделирования для решения обратных задач теплопроводности. С развитием вычислительной техники, физические, вычислительные задачи будут решаться быстрее и точнее с соответствующей качественной графической интерпретацией результатов исследований. Следовательно, будет значительно проще решать проблемы с неопределенностями восстановления различных граничных условий теплообмена. Развитие теплофизики и прикладной теплометрии окажет большую роль в развитии мировой науки.

Cписок литературы:

1. Ping Xiong, Jian Deng, Tao Lu, Qi Lu, Yu Liu, Yong Zhang. A sequential conjugate gradient method to estimate heat for nonlinear inverse heat conduction problem // Annals of Nuclear Energy. – 2020. – volume 146.
2. Swati Agarwala, K. Narayan Prabhu. An experimental approach based on inverse heat conduction analysis for thermal characterization of phase change materials // Thermochimica Acta. – 2020. – volume 685.
3. Bowen Zhang, Jie Mei, Miao Cui, Xiao-wei Gao, Yuwen Zhang. A general approach for solving three-dimensional transient nonlinear inverse heat conduction problems in irregular complex structures // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2019. – volume 140.
4. Shoubin Wang, Yuanzheng Deng, Xiaogang Sun. Solving of Two-Dimensional Unsteady Inverse Heat Conduction Problems Based on Boundary Element Method and Sequential Function Specification Method // Complexity. – 2018. – volume 2018.
5. Shoubin Wang, Rui Ni. Solving of Two-Dimensional Unsteady-State Heat-Transfer Inverse Problem Using Finite Difference Method and Model Prediction Control Method // Complexity. – 2019. – volume 2019.
6. Wei Cheng, Qi Zhao. A modified quasi-boundary value method for a two-dimensional inverse heat conduction problem // Computers & Mathematics with Application. – 2020. – volume 79. – Issue 2.
7. Faraz Mohebbi, Ben Evans, Timon Rabczuk. Solving direct and inverse heat conduction problems in functionally graded materials using an accurate and robust numerical method // International Journal of Thermal Sciences. – 2021. – volume 159.
8. Piotr Duda, Mariusz Konieczny. Solution of an inverse transient heat conduction problem in a part of a complex domain // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2018. – volume 127, Part B.
9. Ling Shen, Zhaohui Jiang, Weihua Gui, Chunhua Yang, Yalin Wang, Bei Sun. Modelling of Inner Surface Temperature Field of Blast Furnace Wall Based on Inverse Heat Conduction Problems // IFAC-PapersOnLine. – 2019. – volume 52. – Issue 14.
10. F. Bozzoli, A. Mocerino, S. Rainieri, P. Vocale. Inverse heat transfer modeling applied to the estimation of the apparent thermal conductivity of an intumescent fire-retardant paint // Experimental Thermal and Fluid Science. – 2018. – volume 90.
11. Piotr Duda. Simplification of 3D transient heat conduction by reducing it to an axisymmetric heat conduction problem and a new inverse method of the problem solution // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2019. – volume 143.
12. Yao Sun, Songnian He. A meshless method based on the method of fundamental solution for three-dimensional inverse heat conduction problems // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2017. – volume 108, Part A.
13. Luca Cattani, Daniele Mangini, Fabio Bozzoli, Luca Pietransanta, Nicolas Miche, Mauro Mameli, Sauro Filippeschi, Sara Rainieri, Marco Marengo. An original look into pulsating heat pipes: Inverse heat conduction approach for assessing the thermal behavior // Thermal Science and Engineering Progress. – 2019. – volume 10.