АППРОКСИМАЦИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ПОЛИЭДРАМИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РАСЧЕТАМ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ОБОЛОЧЕК ПОКРЫТИЙ В Еn ПРОСТРАНСТВЕ

АННОТАЦИЯ

Разработан алгоритм программы линеаризации произвольных условий текучести путем автоматической аппроксимации гиперповерхностей полиэдрами применительно к расчётам несущей способности оболочек покрытий.

ABSTRACT

An algorithm has been developed for linearization of arbitrary flow conditions by automatic approximation of hypersurfaces in relation to calculations of the load-bearing capacity of coating shells.

Ключевые слова: аппроксимация, гиперповерхность, полиэдр, трехмерная гиперсеть, линеаризация, гиперплоскость.

Keywords: approximation of the hypersurface, a polyhedron, a three-dimensional hyper network, linearization, a hyperplane.

Введение. Важной задачей современности является повышения эффективности производства, что связано с углубленной разработкой многих научных проблем. Это привело к созданию систем автоматизированною проектирования, главной частью которых является математической обеспечение. Одним из основных модулей математической обеспечения с читается геометрическое моделирование, позволяющее графическими способами (средствами) получать оптимальные решения в различных областях техники и строительстве. Один из путей повышения эффективности решения задач геометрического моделирования объектов и процессов состоит в анализе структур методов моделирования с последующей их модификацией или автоматической аппроксимацией односвязных гиперповерхностей описанными или вписанными полиэдрами применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий.

Связи с этим рассмотрим вопросы аппроксимации гиперповерхностей второго порядка вписанными и описанными полиэдрами применительно к линеаризации функции пластичности для конструкций из идеальных жесткопластических материалов.

Постановка решения таких задач требует дискретного моделирования гиперповерхностей. Введено понятие гиперсет, являюшейся многомерным обобщением двумерной дискретной сети, и показано, что в частном случае гиперсеть может трактоваться как граница полиэдра.

Результаты исследований. Наглядное представление о гиперповерхностях второго порядке можно получить, исследовав их количественные и качественные характеристики. Качественные характеристике дают представление о форме гиперповерхности и подробно изложены в литературе. Количественные характеристики выражаются в соотношениях чисел их параметров, формы и положения. Методами вычислительной геометрии доказано, что в E ⁿ пространстве имеется не более 2^-1 n(n+3) гиперповерхностей второго порядка.

Отсюда вытекает, что гиперповерхности второго порядка в E ⁿ  пространстве имеют 2^-1n(n+1) параметров положения.

С другой стороны, наглядность представления о гиперповерхности связана с возможностями ее отображения на двумерной плоскости. Для отображения гиперповерхностей второго порядка применен метод векторного моделирования, предложенный проф. П.В. Филипповым. Показано, что замкнутая выпуклая гиперповерхность второго порядка, заданная в шестимерном пространстве, на проекционном чертеже отображается в виде пяти эллипсов, два из которых являются основными проекциями гиперповерхности, а три остальные – векторными. Трехмерная гиперповерхность второго порядка, принадлежащая пространству E ⁴, отображается тремя кривыми второго порядка, две из которых – основные проекции, а третья – горизонтально – векторная .

Необходимой предпосылкой для аппроксимации гиперповерхности вписанным или описанным полиэдром является ее дискретизация. В статье принят наиболее просто формализуемый способ дискретизации, основанный на многомерном обобщении радиально кольцевого разбиения эллипсоида. Так как гиперповерхность пластичности окружает начало координат, но может иметь произвольную ориентацию относительно координатных плоскостей, ее дискретизация производится в новой координатной системе 0х¹ х²х³...хⁿ, оси которой совпадают с осями гиперповерхности [1-3].

Полярное разбиение гиперповерхности осуществляется (n-2) пучками проецирующих гиперплоскостей

х^II = K₁х¹; х^III = K₂х^II; х^IV = K₃Х ^III;…,Х ^n-1 = k _n-2 Х  ^n-2,                                                     (1)

 где k₁=tg Φ₁;к₂ = tg Φ (1+tg²Φ₁) ^1/₂

При этом дискретное изменение параметра каждого пучка задается числом р делений прямого угла между соответствующими координатными осями.

Параллельное разбиение выполняетсия пучком гиперплоскостей, перпендикулярных оси Охⁿ  c шагом h=ap^-1 , где α длина полуоси гиперэллипсоида, инцидентная координатной оси Охⁿ .

На рис.1 , рис. 2  показана дискретизация гиперповерхностей в пространствах Е⁴ и Е⁶

Путем такой дискретизации на гиперповерхность наносится дискретная гиперсеть. Вершины каждой гиперячейки гиперсети инцидентны гиперплоскости. Это доказывается на основе проективных свойств гиперповерхности второго порядка [4-7]. Формальный выбор вершин симплексов, аппроксимирующих главные гиперячейки, основан на пошаговом изменении параметров пучков секущих гиперплоскостей.

Рисунок 1. Дискретизация гиперповерхностей в пространствах Е⁴ и Е⁶

Наличие координат вершин симплексов является достаточным условием для аппроксимации гиперповерхности второго порядка вписанным полиэдром.

Рисунок 2. Дискретизация гиперповерхностей в пространствах Е⁴ и Е⁶

Необходимым условием построения описанного полиэдра является проведение касательной гиперплоскости в каждом узле гиперсети на гиперповерхности.

Уравнение касательной гиперплоскости выводится методами дифференциальной геометрии и позволяет определить коеффициенты главных граней описанного полиэдра:

А_j^I =a^-2₁x^I_j;  А_j^II =a^-2₂x^II_j; А_j^III =a^-2₃x^III_j;… А_jⁿ =a^-2_nxⁿ_j;

A_j ⁿ⁺¹= - (∑ ⁿ_i=0(x^j_ia_i^-1)²).                                                                              (2)

Система неравенств, определяющей точки внутренней области описанного полиэдра, имеет вид:

                                                         (3)

где n – размерность пространства; m – колечество касательнқх гиперплоскостей; а_1, а_2, а_и –параметры формы гиперэллипсида.

Теперь рассмотрим приложению теории и методов расчета несущей способности оболочек из идеального жесткопластического материала. Расчеты основаны на статическом методе теории предельного равновесия и используют условие пластичности F (N_x,N_y,N_xy, M_x,M_y,M_xy,) ≤ k, связывающее внутренние усилия N_x,N_y,N_xy, M_x,M_y,M_xy в каждой точке оболочки с константой k материала.

В пространстве внутренних усилий условие пластичности F представляет собой замкнутую выпуклую гиперповерхность, окружающую начало координат. Ввиду нелинейности F расчет несущей способности оболочек является сложной задачей нелинейного программирования. Для ее упрощения и построения методики, удобной для практических расчетов, можно перейти к задаче линейного программирования за счет линеаризации условия пластичности F.

Здесь разработаны методика, алгоритм и программа линеаризации произвольных, в том числе не регулярных, кусочно-криволинейных и др. условий текучести путем аппроксимации четырех - шестимерных гиперповерхностей вписанными и описанными полиэдрами. Алгоритм состоит из следующих этапов:

- нанесение на исходную гиперповерхность сетки с заданным произвольным числом узлов и вычисление координат узлов;

- вычисление коэффициентов уравнений граней вписанного полиэдра, вершины которого совпадают с узлами сетки;

- вычисление коэффициентов уравнений граней описанного полиэдра, грани которого касаются исходной поверхности в узлах сетки;

- формирование матрицы ограничений в задаче линейного программирования; размеры матрицы определяются с одной стороны числом граней вписанного или описанного полиэдра, а с другой числом узлов конечноразностной сетки, нанесенной на поверхность рассчитываемой оболочки.

Увеличение числа граней полиэдров улучшает качество аппроксимации, но при этом существенно возрастает объем задачи линейного программирование. Одновременное использование приближений вписанными и описанным полиэдрами позволяет оценить границы несущей способности оболочки. По степени близости оценок можно установить точность расчета. Алгоритм разработанная в работе построены как оптимизационная процедура, в которой заданной считается точность расчета несущей способности оболочки. Отыскивается наименьшее число граней вписанного и описанного полиэдров, приводящее к оценке несущей способности с заданной точностью, тем самым обеспечивается минимальных расход машинного времени и других машинных ресурсов.

В качество конкретного условия текучести рассмотрено шестимерное условие Мизеса

n²_x –n_xn_{y +}n²_y+3n²_xy+ m²_x –m_xm_{y +}m²_y+3m²_xy-1=0,                                               (4)

где n _x, m_x,m_y,m _{x y} – относительные величины внутренних усилий; n _x=N_X N^-1_OX ;N_OX=Φh,h - толщина оболочки; Ϭ - предел текучести материала. Пологая оболочка (рис.3), выполненная из материала (4), имеет срединную поверхность в форме эллиптического параболоида, размеры в плане 2b×2b подъема f=γ в и толщину h=еf, одинаковую во всех точках поверхности.

Рисунок 3. Оболочка

Выводы. При равномерном нагружении и жесткой заделке краев вычеслена несущая способность оболочки при различном числе граней вписанного и описанного полиэдров, заменяющих исходное условие текучести (4). Для вычислений применена программа, разработанная на основании описанного алгоритма.

Результаты расчета представлены на рис.-4, они позволяют проследить характер сходимости решения к «точной» оценка несущей способности в зависимости от числа граней полиэдров.

Рисунок 4. Результат расчета

Штриховой линией показан порядок отыскания числа n граней, минимально необходимого для достижения заданной точности δ определения несущей способности оболочки.

Список литературы:

1. А.О. Рассказов, А.С. Дехтярь Предельное равновесие оболочек. К., «Вещи школа» 1978, 152с
2. Ю.Х. Ахмедов, А.С. Дехтярь Оптимальная линеаризация условий текучести жесткопластических оболочек прикладная механика, к.1987том 23, N1
3. Ю.Х. Ахмедов Моделирование гиперповерхности упругой гиперсетью, имеющей наперед заданные оперные узлы. – В кн. Прикладная геометрия и инженерная графика. – Киев: Будiвельник, 1984, вып.37, с.85-86.
4. Федоренков, Кимаев «AutoCAD2002» Москва – 2001.
5. Рихсибоев Т «Инженерно компьютерная графика и ее методика преподавания Ташкент 2009.
6. М. Д. Кодиров «Компьютерная графика Ташкент – 2007,200с.
7. Международная научная конференция «Инновационные решения инженерно-технологических проблем современного производства» доц. Ахмедов Ю.и др.