К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГИБКИМИ НИТЯМИ И ТКАНЯМИ

АННОТАЦИЯ

В данной статье представлены исследования моделирования объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства. Рассмотрен процесс составления математической модели для механической системы с гибкими нитями и тканями

ABSTRACT

This article presents the study of object modeling, reflecting in mathematical form its most important properties. The process of compiling a mathematical model for a mechanical system with flexible threads and fabrics is considered.

Ключевые слова: математическая модель, нить, ткань, техника, технология, батанный механизм, ткацкий станок.

Keywords: mathematical model, thread, fabric, technique, technology, batan mechanism, loom

Введение. Как показывает проведенные исследования по математическому моделированию, оно вступает в принципиально важный этап своего развития. Без владения информационной технологии нельзя думать о решении все более укрупняющихся и все более разнообразных проблем, стоящих перед техникой и технологии.

Крутильные колебания батана как механическая система обусловлены как кинематическим возбуждением на концах вала, так и силами сопротивления, возникающими при прибое. Причем кинематическое возбуждение концов вала определяется функцией F(t). Функция F(t) и ее производная имеют различные выражения в разных интервалах времени. Значения F(t) можно определить по имеющимися формулам, для отдельных участков или задавать в виде таблицы. Кроме того, моменты также могут быть определены по их приближенным аналитическим выражениям.

Рисунок 1.  Схема конструкции (а) и динамическая модель (б) батанного механизма ткацкого станка  типа СТБ.

Изучение ди­намики батанных механизмов требует исследования сложной системы замкнутого контура механизма. На рис. 1.а), представлена схема конструкции и динамическая модель бабанного механизма ткацкого станка СТБ, 1- подбатанный вал, состоящий из трех частей – левой для роликов, средней (Гладков) и правой части – для роликов, соединенных двумя муфтами 5. На валу расположены лопасти 2 (их число зависит от ширины станка), к которым крепится брус 3 с укрепленным в нем бердом 4. На левой и правой частях подбатанного вала укреплены коромысла 7 с роликами 6, также взаимодействующими с со­пряженными кулачками 5, сидящими на главном валу 8, кото­рые получают вращение от привода. Кулачки размещены в при­водных коробках 10.

На рис. 1. б), представлена схема конструкции и динамическая модель бабанного механизма ткацкого станка СТБ, 1- подбатанный вал, состоящий из трех частей – левой для роликов, средней (Гладков) и правой части – для роликов, соединенных двумя муфтами 5. На валу расположены лопасти 2 (их число зависит от ширины станка), к которым крепится брус 3 с укрепленным в нем бердом 4. На левой и правой частях подбатанного вала укреплены коромысла 7 с роликами 6, также взаимодействующими с со­пряженными кулачками 5, сидящими на главном валу 8, кото­рые получают вращение от привода. Кулачки размещены в при­водных коробках 10.

На первом этапе моделирования выбирается «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства-законы, которым они подчиняются. Второй этап заключается в выборе алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. На третьем этапе создаются программы, переводящие модель и алгоритм на доступный компьютеру язык, к ним также предъявляются требования экономичности и адекватности.

Наиболее распространенный метод построения моделей состоит в применение фундаментальных законов к конкретной ситуации. Эти законы общепризнанны, многократно подтверждены опытом, служат основой множества научно-технических достижений. При этом на первый план выдвигаются вопросы, связанные с тем, какой закон следует применять в данном случае и как это делать. К таким законам можно отнести закон сохранение энергии, сохранение материи, сохранение импульса. Еще один подход к построению моделей, по свей широте и универсальности сопоставимый с возможностями, даваемыми фундаментальными законами, состоит в применении так называемых вариационных принципов механики. Они представляют собой весьма общие утверждения о рассматриваемом объекте и гласят, что из всех возможных вариантов его поведения выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию.

Результаты исследования. Рассмотрим процесс составления математической модели для механической системы    с гибкими нитями и тканями. К такой механической системе можно отнести, например все машины текстильного производства. В частности в ткацком станке имеются две механические системы с нитями:

1) система основных нитей с тканью и взаимодействующими жесткими звеньями;

2) система уточной нити с взаимодействующими звеньями.

Такие же механические системы существует в прядильных и трикотажных машинах.

Механические системы с тканью в отделочных машинах текстильного производства весьма разнообразны и многочисленны. Они представляют собой линии проводки ткани с взаимодействующими с ней звеньями.

Для построения математической модели таких механических систем необходимо записать систему дифференциальных уравнений движения нитей и ткани на отдельных участках в контакте с деталями машин. К этой общей системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить уравнения стыковки. Решая аналитически или численно общую систему дифференциальных уравнений движения механической системы при заданных начальных и граничных условиях можно найти соответствующие параметры состояния нитей и ткани. При этом из общей системы уравнений исключается уравнения движения жестких звеньев, которые в данный период цикла не взаимодействуют с нитями и тканью. Поставленная задача является весьма сложной и составляет большую тему исследования. В данной работе остановимся на рассмотрение частных задач.

Для аналитического исследования механических систем с реальными нитями или тканью необходимо иметь такие механико-математические модели, которые отражали бы основные свойства материала реальных нитей и ткани, геометрические и силовые условия, в которых они находятся, а также упругие, вязкие, пластические деформации растяжения, изгиба и кручения. Границы применимости модели устанавливают сравнением экспериментальных данных и соответствующих данных аналитического расчета.

Колебательные свойства многих физических систем, например, колебания балок, пластинок, оболочек, гибких стержней и в частности различные элементы рассматриваемой системы, описывается одной и той же математической моделью [1] – дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных

          (1)

При использовании метода разделения переменных можно воспользоваться упрощенной математической моделью [2]-обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка

                                 (2)

При ряде допущений (линейность восстанавливающей силы, отсутствие возмущающей силы, определенное соотношение между параметрами a,b, c). Можно воспользоваться упрощенной математической моделью [3]- формулой, с помощью которой в явном виде записано решение мене сложного дифференциального уравнения.

                   (3)

Математическая модель (3) является существенно более ограниченной, чем (1) и (2), и справедлива при более жестких предположениях.

В общем случае решение немногих дифференциальных уравнений частных производных вида (1) удается получить аналитически. Поэтому широкое распространение получили численные методы решения уравнений в частных производных.

Рассмотрим решение (1) в Mathcad. Функция pdesolve в «Mathcad» позволяет решать дифференциальные уравнения и системы. В любых гиперболических уравнениях присутствует вторая производная по времени t. Поэтому, чтобы решить гиперболические уравнение, необходимо преобразовать его в систему дифференциальных уравнений в частных производных, введя дополнительную неизвестную функцию . В частности, рассмотрим продольное колебания нити под действием периодической нагрузки. В этом случае задача сводится к решению систем уравнений в частных производных:

 ;  (4)

Полученную систему будем решать с помощью блока Given-Pdesolve. Ниже приводится решение системы уравнений функцией pdesolve, в программе Mathcad:

При этом первым параметром в функции pdesolve будет массив имен функций, в нашем случае . Функция pdesolve вернет вектор функцию решения системы. Как показывает анализ полученных численных результатов решения поставленной задачи, найденные посредством явной разностной схемы и функции pdesolve, практически совпадают.

Рисунок 2. График решения, полученного с помощью Mathcad

На рис.2 представлено график решения, полученного с применением функции pdesolve.

В качестве второго примера рассмотрим процесс прибоя продольного удара бердом по нитям основы. При этом считаем, что один конец основной нити закреплен на скале, а по другому концу производится удар и закон изменения скорости линейным [4-10]. Будем считать нить вязкоупругой. Тогда интегро-дифференциальные уравнения движения нити с учетом вязкоупругих свойств запишется в виде

            (5)

К уравнению (5) добавим граничные и начальные условия:

         (6)

Решение поставленной задачи приведены на рис.3 и 4.

Рисунок 3. Изменение перемещения в зависимости от времени t

Рисунок 4. Изменение натяжения основы в зависимости от времени t

Выводы:

В заключение коротко остановимся на оценке адекватности модели. Оценка адекватности модели предполагает в качестве обязательного этапа проведения специальных численных экспериментов, результаты которых априорно известны [11-16]. Для проверки правильности модели могут использоваться уже известные экспериментальные зависимости

Список литературы:

1. Мигушов. И.И. Механика текстильной нити и ткани, 1980,М: Легкая индустрия, 160 с.
2. Колтунов М.А.. Ползучесть и релаксация, М: Высшая школа, 1976, 278 с
3. Дремова Н.В., Мавлянов Т.М. «Об одном методе решения задачи колебательного движения батанного механизма с учетом неупругих и нелинейных свойств». Ташкент, ТТЕСИ-2011, Республиканская научно-практическая конференция, 177-179 с.
4. Коритыский Я.И. Динамика упругих систем текстильных машин –М.:Легкая и пищевая промышленность, 1982, -272с.
5. Дрёмова Н.В.,Алимбаев Э.Ш.,Мавлянов Т.М. К оценке жесткости берда челночных и бесчелночных станков.//Ж.Проблемы текстиля.2004. №2.30-33. с
6. Дремова Н.В., Мавлянов Т., Об одном методе решения колебательного движения батанного механизма с учетом неупругих и нелинейных свойств. Ташкент, ТИТЛП-2011.Республиканская научно-практическая конференция, С.177-179.
7. Дремова Н.В. Учет диссипативных свойств динамики батанного механизма под действием произвольной нагрузки.Universum:технические науки.Май2021 № 5. С.27-30.
8. ДремоваН.В., МавляновТ., АбдиеваГ.Б. Практическое моделирование динамических систем с вязкоупругими гибкими нитями. Сборник научных трудов Международной научно-технической конференции. «Инновации в металлообработке: взгляд молодых специалистов». Курск, 02-03 октября 2015г. С.120-124.
9. Дремова Н.В., Мавлянов Т. Математическая модель в задачах динамических систем с гибкими нитями. Сборник научных трудов 4-ой Международной научно-практической конференции: «Инновации, качество и сервис в технике и технологиях» Курск, 04–05 июня 2014 года С.197-201.
10. Дремова Н.В. Исследование колебательных процессов берда тканеформирующего механизма. Материалы докладов международной научно-технической конференции. Витебский государственный технологический университет. Витебск, 26-27 ноября 2014 г. С 262.
11. Ortiqov O. A., Raximxodjayev S. S. Quality assessment of clothes fabrics //Scientific-technical journal. 2018. Т. 22. №. 1. С. 37-42.
12. Ахмедбекова А. В. и др. Математическое моделирование колебательного процесса берда тканеформирующего механизма //Universum: технические науки. 2022. №. 1-2 (94). С. 16-19.
13. Ортиков О. А. Уработка нитей в строении тканей мелкоузорчатого переплетения //Электронный периодический рецензируемый научный журнал «SCI-ARTICLE. RU». – 2019. – С. 21.
14. Эргашов М., Дремова Н.В., Нуруллаева Х.Т. Методика оценки влияния взаимодействия и отражения продольных волн от поверхности рабочего органа. Universuv: технические науки. Май 2021 № 5.С.51-53.
15. Ортиков О. А. Исследования натяжения нитей основы в ткацкого станка //Электронный периодический рецензируемый научный журнал «SCI-ARTICLE. RU». – 2019. – С. 157.
16. Дремова Н. В., Ортиков О. А. «Динамические исследование механической системы батанного механизма «вал-бердо»//Главный редактор: Ахметов С М, д-р техн. наук; Заместитель главного редактора: Ахмеднабиев Расул Магомедович, канд. техн. наук; Члены редакционной коллегии. Universum. Технические науки. 2021. № 12(93_3). С. 54-58.