АЛГОРИТМЫ УСТОЙЧИВОГО ОЦЕНИВАНИЯ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

АННОТАЦИЯ

Задача восстановления начального состояния и входного воздействия динамической системы по результатам измерения выхода относится к классу обратных задач динамики управляемых систем. Поскольку указанная задача является некорректно поставленной, для ее решения следует применять методы, развитые в соответствующей теории.

ABSTRACT

The problem of restoring the initial state and the input action of a dynamic system based on the results of measuring the output belongs to the class of inverse problems of the dynamics of controlled systems. Since this problem is ill-posed, methods developed in the corresponding theory should be used to solve it.

Ключевые слова: матрица, математическое ожидания, белый шум, фильтрация, регуляризация, псевдообращения.

Keywords: matrix, mathematical expectation, white noise, filtering, regularization, pseudoinversion.

Рассмотрим линейную динамическую систему с наблюдением:

,                                            (1)

,                                                   (2)

где ;  – состояние системы;  – начальное состояние системы;  –входное неизмеряемое возмущающее воздействие на систему;  –выход системы;  – матрицы соответствующих размерностей.

Пусть . Превратим пространство в гильбертово, определив на нем скалярное произведение

Соотношения (1), (2) определяют линейный оператор , который каждой паре , т.е. входу системы, ставит в соответствие функцию  навыходе системы [1-5, 12, 18]. Пусть  – некоторый выход системы (1), (2). Обозначим через  непустое множество всех входов таких, что

                                                                (3)

Рассмотрим вариационную задачу  где  – неотрицательный, полунепрерывный снизу и строго равномерно выпуклый функционал.

Рассмотрим следующую задачу: по выходу  восстановить -нормальный вход, совместимый с этим выходом. Предположим, что выход нам не известен, а известна лишь функция  (результат измерения выхода) такая, что

где  - известный неотрицательный параметр, характеризующий точность проведенных измере­ний [6-11, 13]. По функции  и параметру  необходимо найти пару  такую, что  при .

Для решения уравнения (3) будем использовать концепции динамической фильтрации. Для динамизации уравнения (3) запишем его в виде:

где  – вектор состояния системы,  – вектор измерения,  и  – гауссовские белые шумы с нулевыми математическими ожиданиями и интенсивностями , ,  – гауссов случайный вектор с известными характеристиками  и .

Будем предполагать, что  и не коррелированы с , а

где  - символ Кронекера.

На основании свойств условных математических ожиданий [15, 16] можно написать

,                                       (4)

при этом

,                                  (5)

где

.

Подставляя (5) в (4), найдем

.

На основе методов динамической фильтрации [14, 20] выразим  через :

,

,                                          (6)

,

,                                          (7)

,   

,

,

где  – порождающая система функций для метода регуляризации,  – параметр регуляризации.

Матрица  вида (7), псевдообратная которой  используется в (6), является симметричной плохообусловленной знаконеопределенной матрицей. С целью стабилизации искомого решения и придания большей численной устойчивости процедуре псевдообращения в (6) необходимо использовать регулярные методы [19, 21]. При реализации (6) будем использовать регуляризованный метод Холецкого факторизации симметричных матриц.

На основе симметричной матрицы  порядка с элементами  строится последовательность матриц:

                      (8)

где  – верхнетреугольная матрица размера ,  – прямоугольная матрица,  – симметричная матрица порядка , 0 – нулевая матрица.

Для этого у клетки  определяется ведущий элемент путем сравнения максимальных ее элементов, стоящих на диагонали и вне диагонали:

.                    (9)

Если  и , то у матрицы  меняются местами -е строка и столбец с -ми строкой и столбцом соответственно.

После перестановок определяется матрица , которая отличается от полученной после перестановок  только элементами клетки

,                                 (10)  

принимающей вид

,                                     (11)  

где , . Затем делается переход к следующему шагу факторизации.

В случае, если симметричная матрица  порядка  имеет ранг  и параметр регуляризации взят , то в регуляризованном методе Холецкого [17, 22], будет сделано ровно  шагов факторизации и

,

где

,

,

, , .

Если дополнительно  – неотрицательно-определенная матрица, то ведущим элементом является диагональный элемент,  является единичной матрицей и тем самым

.

Приведенные алгоритмы позволяют стабилизировать процедуру обращения матриц при оценивании состояния стохастических объектов и тем самым повысить точность определения входного воздействия при возмущении параметров объекта и наблюдателя.

Список литературы:

1. Akhmedov I.G’., Muxitdinov M., Umarov I., Ibragimova Z. Assessment of the effect of sedibles from sokhsoy river to kokand hydroelectric power station //InterConf. – 2020
2. B.Sh.Rizaev, A.T.Mamadaliyev, М.Б.Мухитдинов, А. Одилжанов. Анализ эффективности использования порыстых заполнителей для лёгких бетонов. Экономика и социум 2022 №2(93) С-1-7.
3. B.Sh.Rizaev, A.T.Mamadaliyev, М.Б.Мухитдинов, А. Одилжанов. Влияние агрессивных сред на долговечность легкого бетона. Universum:// Технические науки:электрон научн. журн. 2022. №2(95)
4. B.Sh.Rizaev, A.T.Mamadaliyev, М.Б.Мухитдинов,М.А. Мухторалиева Прочностные и деформативные свойства  внецентренно-сжатых железобетонных колонн в условиях сухого жаркого климата. Матрица научного познания. 2-2/2022г.27-40с
5. B.Sh.Rizaev, A.T.Mamadaliyev, М.Б.Мухитдинов. Shrinkage deformations of concrete in natural conditions of the republic of Uzbekistan. Universum:// Технические науки:электрон научн. журн. 2022. №2(95)
6. D.T.Kodirov,. F.M.Kodirova,. B.Xaydarov Algorithms For Stable Estimation Of The Extended State Vector Of Controlled Objects . Solid State Technology. 2020
7. Абдуманнопов Н. А. и др. Модернизация кольцевой печи для обжига строительного кирпича //Научное знание современности. – 2018. – №. 12. – С. 25-29.
8. Акбаров А. Н. и др. Обжиг кирпича твёрдым топливом взамен газа //Научное знание современности. – 2018. – №. 4. – С. 40-43.
9. Алимджанова Д. И. и др. ВОДОУГОЛЬНОЕ ТОПЛИВО НА ОСНОВЕ БУРОГО УГЛЯ АНГРЕНСКОГО МЕСТОРОЖДЕНИЯ //Universum: технические науки. – 2021. – №. 3-2 (84). – С. 68-72.
10. Алимджанова Д. И., Муйдинова Н. К. К. Повышение эффективности горения угольного топлива в кольцевой печи для обжига строительного кирпича //Universum: технические науки. – 2020. – №. 4-1 (73). – С. 67-71.
11. Алимджанова Д., Акбаров А., Муйдинова Н. К. Способ повышения эффективности горения угольного топлива в кольцевой печи. Issues of modern education in the condition of globalization. Collection international scientific conference. – 2017.
12. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач, М.: Наука, 1988.
13. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989.
14. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана - Бьюси. - М.: Наука, 1982. -200 с.
15. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург, Наука, 1993.
16. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач, М.: Изд-во МГУ, 1994.
17. Кодиров Д. Т., Кодирова Ф. М. Алгоритмы совместного оценивания вектора состояния и параметров динамических систем //Universum: технические науки. – 2021. – №. 7-1 (88). – С. 66-68.
18. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики в теории автоматического управления. –М.: Машиностроение, 2004. – 576 с.
19. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов / Пер. с англ. –М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. –232 с.
20. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. / Под ред. К. Т. Леондеса. Пер. с англ., - М.: Мир, 1980. - 407 с.
21. Хамидов А. И., Мухитдинов М. Б., Юсупов Ш. Р. Физико-механические свойства бетона на основе безобжиговых щелочных вяжущих, твердеющих в условиях сухого и жаркого климата. – 2020.  59-67.   
22. Холходжаев Б.А. Алгоритм устойчивого восстановления входных сигналов в динамических системах // ТГТУ Вестник №4, 2018 й., с .54-57.