ЗАПОЛНЕНИЕ ОРНАМЕНТАЛЬНОГО ПОЛЯ РЕЗЬБЫ ПО ДЕРЕВУ НА ОСНОВЕ ТИПОВ СИММЕТРИИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКЕ

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются вопросы заполнение орнаментального поля резьбы по дереву на основе типов симметрии применительно к компьютерной графике, в частности подсистемах AutoCAD. Для этого применены матричное преобразование как геометрическое моделирование и математические положения, лежащие в основе современной компьютерной графики. Для чего применены зеркальное отображение, вращение и параллельный перенос, кроме того, рассмотрены дифференциальные характеристики резьбы по дереву имеющихся различных видов гауссовой кривизны.

ABSTRACT

The article deals with the issues of filling the ornamental field of woodcarving based on the types of symmetry in relation to computer graphics, in particular Auto CAD subsystems. For this, matrix transformations are applied as geometric modeling and mathematical provisions that underlie modern computer graphics. For which mirror image, rotation and parallel translation are used, in addition, the differential characteristics of wood carving with different Gaussian curvatures are considered.

Ключевые слова: зеркальное отражение, AutoCAD, резьба по дереву, геометрическое моделирование, координата точек, симметрия, мотив.

Keywords: mirror reflection, Auto CAD, wood carving, geometric modeling, point coordinates, symmetry, motif.

Для заполнения орнаментального поля резьбы по дереву применяются различные способы преобразования.

Известно, что [10] имеются нижеследующее способы геометрических преобразований:

• зеркальное отражение относительно плоскости симметрии;
• вращение вокруг оси симметрии;
• параллельный перенос по заданному направлению.

Кроме того, орнаментальное поле для резьбы по дереву может быть с различными видами гауссовой кривизны:

1)  нулевой;

2)  положительной;

3)  отрицательной.

При исследовании резьбы по дереву возникает задача по оптимальному выбору типов преобразования, осуществление которого позволяет наиболее рационально заполнить орнаментальное поле резьбы по дереву.

В архитектурном строительстве и в хозяйстве, в частности в Средней Азии, композиция узора преимущественно выполняется двойными взаимно параллельными прямыми линиями. Характер пересечения этих прямых линий в зависимости от применения того или иного вида декоративного или народно-прикладного искусства является различным. Например, при резьбе по ганчу или по дереву двойные линии не пересекаются, образуя при этом примыкающие друг к другу замкнутые контуры различных конфигураций. (рис. 1а). Мотив, встроенный в квадрат, имеет одновременно четыре оси симметрии (m) и ось вращения четвертого порядка (n = 4). Здесь целесообразно применять зеркальное отражение, начиная с элементарной фигуры, заключенной в Δ АОВ, равной одной восьмой части мотива, для заполнения всей декорируемой плоскости (поверхности). Альтернативная картина наблюдается при росписи, где двойные прямые линии, взаимно переплетаясь, создают эффект объемно-рельефной динамической композиции (рис. 1б), где оси симметрии не отражены, т.е. отсутствуют. В этом нетрудно убедиться, если принять ось ОY за ось симметрии, так как при этом для некоторых отрезков, расположенных справа от предполагаемой оси симметрии, нет соответствующих зеркально расположенных отрезков слева. Аналогичным образом можно трактовать и воображаемые оси симметрии, совпадающие с осью абсциссы OX и диагоналями квадрата ВDFH. Мотив формируется поворотом элементарной фигуры, заключенной в квадрат ОАВС, равной одной четвертой части его, вокруг оси вращения, проходящей через точку О перпендикулярно к плоскости чертежа. Далее для заполнения заданной декорируемой поверхности нулевой гауссовой кривизны также необходимо применить поворот вокруг вновь выбираемых осей вращения. Для выполнения некоторых орнаментов резьбы по дереву последовательно используются все три способа преобразования. В качестве примера можно привести бордюрную резьбу по дереву, изображенную на рис. 1а.

Известно [1], что применение геометрического моделирования и математических положений, лежащих в основе компьютерной графики, для каждого из способов геометрических преобразований, координаты точек линий орнаментов, в том числе резьбы по дереву, представляются как элементы матрицы [x y], т.е. в виде вектора-строки. Управление положением этих точек осуществляется преобразованием матрицы путем умножения ее на матрицу преобразования 2×2 общего вида.

а

б

Рисунок 1. а) Последовательность расчета выполнения орнаментов резьбы; б) заполнение орнаментального поля резьбы по дереву

Ниже приведем примеры для таких преобразований.

Пример 1. Рассмотрим зеркальное отображение. Координаты точек пересечения прямых линий гириха, находящихся в пределах Δ АОВ (рис. 1а), определены путем геометрических построений, представленных в табл. 1.

 Таблица 1.

Вычисления координат специальных точек гириха

Отражение прямых линий гириха относительно оси симметрии  выполняется с помощью матрицы преобразования  .

Если координаты точек 1–12 (кроме 7, 8, 10, 11, принадлежащих оси симметрии) подставить в выражение (1), можно получить  – координаты точек 13–20, принадлежащих ΔВОС, т.е. зеркальное отражения Δ АОВ. Далее для отражения координат точек 1–20 (кроме 13, 20), принадлежащих квадрату ОАВС, относительно оси симметрии  используется матрица преобразования  и вычисляются – координаты точек 21–33, находящихся в квадрате OCDE, т.е. зеркальное отражение квадрата ОАВС.

Геометрическое преобразование точек 1–38 (кроме принадлежащих оси симметрии, т.е. 1, 12, 21, 32), расположенных в пределах прямоугольника ABDE, относительно оси симметрии  выполняется с помощью матрицы преобразования .

Если знаки координат х менять на обратные, получается нечто иное, как матрицы координат точек 39–72, поскольку они отличаются от координат точек 1–38 только тем, что знаки координат x меняются на противоположные. Координаты точек 1–72 дают полный мотив, принадлежащий квадрату ВDFH.

Для дальнейшего построения начало системы Декартовых координат О переносится в точку F. Тогда координаты точек 1–72 увеличатся на величину , где  – величина стороны прямоугольника. Геометрическое преобразование мотива для заполнения орнаментального поля резьбы по дереву путем зеркального отражения производится аналогичным образом преобразованию элемента мотива, описанного выше.

Пример 2. Поворот наперед под заданным углом вокруг оси вращения.

Поворот наперед под заданным углом элементарной фигуры гириха, находящейся в пределах квадрата OABC (рис. 1б), вокруг начала координат О на 90° по часовой стрелке производится с помощью матрицы преобразования  и можно вычислять  – координаты точек 20–38, находящихся в пределах квадрата ОCDE. Отсюда можно сделать вывод, что вокруг начала координат на 90° координаты х преобразуются в координаты у с противоположными знаками, а координаты у преобразуются в координаты х. Для вращения кордонных точек 1–38, принадлежащих прямоугольнику ABDE, на 180° можно использовать следующую матрицу преобразования , получаются координаты переменны  принадлежащих прямоугольнику AEFH, отличаются от координат точек 1–38 тем, что знаки координат х меняются на противоположные. Таким образом, заполнение орнаментального поля резьбы по дереву осуществляется в той же последовательности, как и в первом примере.

Список литературы:

1. Аскаров Ю.А. Геометрическое моделирование и основы автоматизированного проектирования архитектурных орнаментов: Автореф. … канд. техн. наук. – Киев, 1983. – 23 с.
2. Махмудов М.Ш. Автоматическая линеаризация выпуклых гиперповерхностей и несущая способность оболочек // Universum: технические науки. – 2022. – № 2-1 (95). – С. 34–37.
3. Махмудов М.Ш. Появление аксиоматического метода в геометрии // Интернаука. – 2019. – № 5-1. – С. 46–48.
4. Михайленко В.Е., Обухова В.С., Подгорный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре. – Киев : Будiвельник, 1972. – 205 с.
5. Тошев И.И. Чеканка и резьба по металлу // Интернаука. – 2017. – № 2-1. – С. 8–10.
6. Тошев И.И., Абдуллаев С.С. Мемориальный комплекс Бахоуддин Накшбанди в Бухаре // Universum: общественные науки. – 2022. – № 2 (81). – С. 11–14.
7. Тошев И.И., Абдуллаев С.С. Торговые купола Бухары // Интернаука. – 2018. – № 14-1. – С. 31–33.
8. Тошев И.И., Абдуллаев С.С., Бадриддинов С.Н. Популярные памятники и достопримечательности Бухары (минарет Калян, торговые купола) // Universum: общественные науки. – 2022. – № 2 (81). – С. 7–10.
9. Тошев И.И., Ураков О.Х. Резьба по дереву в Узбекистане // Интернаука. – 2017. – № 2-1. – С. 11–13.
10. Avlyakulova Sh.B. Description of the geometry of architectural and construction ornaments by means of generalized hermitian splines on a rectangular mesh // Asian journal of multidimensional research. – 2021. – № 10 (5). – P. 30–36 / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.tarj.in.
11. Axmedov Y.H., Avlyakulova Sh.B. The use of digital technology in the computer-aided design of surfaces for architectural and construction ornaments and technical forms // Journal For Innovative Development in Pharmaceutical and Technical Science. – 2021. – Vol. 4. – P. 71–76 / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: www.jidps.com.
12. Sheralievich M.M., Akhmedov Y.H. Use of e4 space in describing a graph-analytical representation of multi-factor events and processes // Т. 9. – С. 194–197.