АППАРАТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НА ОСНОВЕ ОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРЫ ПРОГРАММИРУЕМЫХ ЯЧЕЕК

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрены возможности аппаратной организации параллельных вычислений при численном решении дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы тепло- и массопереноса, на базе однородной структуры вычислительных процессорных ячеек. Приводится функциональная схема устройства, выведены разностные уравнения для решения этим устройством. Проведено сравнение результатов расчёта с теоретическим, известным в аналитической форме представления, решением параболической задачи в ограниченной временной и пространственной области. Сделан вывод о предпочтительности таких специализированных систем по сравнению с универсальными процессорами, использующимися в персональных ЭВМ.

ABSTRACT

The article considers the possibilities of hardware organization of parallel computing in the numerical solution of partial differential equations describing the processes of heat and mass transfer, based on a homogeneous structure of computational processor cells. The functional diagram of the device is given, the difference equations for solving this device are derived. The results of the calculation are compared with the theoretical, known in the analytical form of representation, solution of a parabolic problem in a limited time and spatial domain. The conclusion is made about the preference of such specialized systems in comparison with universal processors used in personal computers.

Ключевые слова: параллельные вычисления, дифференциальное уравнение, однородные, структуры, ячейка, регистр.

Keywords: parallel computing, differential equation, homogeneous, structures, cell, register.

Однородные структуры с непрограммируемыми функциями единичных автоматов (элементарных ячеек или процессоров) могут успешно применяться для имитации физических сред (жидкостей, газов и твёрдых тел) с непрерывными свойствами при организации решения дифференциальных уравнений в частных производных численными методами. В случае аппаратной реализации такой структуры вычислительный процесс получает ряд преимуществ:

- более высокая производительность в сравнении с универсальными программируемыми процессорами;

- возможность параллельного решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, зависящими от рассчитываемой величины, например, температуры, или концентрации веществ, в случае диффузионного процесса.

Функциональная схема такой ячейки представлена на рисунке 1.

1) В первом состоянии выполняется рабочий цикл вычислений, во время которого опрашиваются входы устройства на предмет наличия сигналов (приращений) с выходов других ячеек, полученные приращения умножаются на заведённые в БМИ коэффициенты и суммируются в сумматоре СП. После этого они передаются в интегратор, который и формирует выходные сигналы (приращения), передаваемые в соседние ячейки.

2) Второе состояние – цикл чтения/записи инициируется по сигналу окончания шага по времени от внешнего устройства управления. Данный цикл служит для передачи результатов интегрирования с предыдущих шагов по времени в блок формирования приращений и используется уже в следующем рабочем цикле ячейки. Во время этого цикла в блок масштабных интеграторов (БМИ) записываются новые, пересчитанные для нового результата значения коэффициентов, полученные от внешнего устройства.

В состав устройства входят следующие основные блоки:

1) блок масштабных интеграторов БМИ;

2) сумматор приращений СП;

3) следящий интегратор СИ;

4) интегратор И;

5) блок формирования приращений с предыдущих шагов по времени БФПВ;

6) и 7) ключевые элементы КЭ₁, КЭ₂.

Блок масштабных интеграторов (БМИ) реализован на сдвиговых регистрах. Данные регистры используются, чтобы хранить коэффициенты, на которые умножаются входные сигналы БМИ. Соединение их через последовательные входы позволяет организовать запись коэффициентов во все регистры, используя только один общий вход.

Рисунок 1 Функциональная схема ячейки однородной структуры (ЯОС) для решения уравнений тепло- и массопередачи [4, с. 127]

Рисунок 2 Схема взаимодействия ячейки однородной структуры (ЯОС) с внешним управляющим устройством [6, с. 38]

Количество входов в БМИ должно быть больше, чем количество выходов соседних ячеек. Подавая на дополнительный вход БМИ логическую единицу, можно реализовать дополнительное слагаемое в правой части дифференциального уравнения (1), если в этом будет необходимость. Это слагаемое будет вычисляться внешним устройством также как и коэффициенты и передаваться в соответствующий регистр блока масштабных интеграторов по сигналу окончания шага по времени через ключевой элемент КЭ₂. [6, с. 40]

Для проверки работы данного устройства использовалась задача нестационарной теплопроводности в одномерном пространстве:

;                                                (1)

с начальными и граничными условиями:

                                                                   (2)

где     - пространственное распределение искомой величины в начальный момент времени;

 - функция источников на границе расчётной области в зависимости от времени.

Производную в правой части

                 (2.1)

находим по правилу для произведения двух функций:

;                     (3)

К первому слагаемому в применяется конечноразностное разложение по явной схеме:

;                                             (4)

так, что расчёт этой части для n+1-го шага по времени по данным, полученным из ячеек для n-го шага, может вести внешнее устройство прямо в промежутках между шагами по времени. [7, с. 63] Индексы i здесь относятся к номерам точек по пространственной координате.

Производную по времени аппроксимируем конечной разностью порядка 1:

                                                            (5)

а 2-ую производную производную по пространственной координате - конечной разностью 2- го порядка:

                                                  (6)

где    Δt – шаг по времени;

h – шаг по пространственной координате.

Подставляя в (3) конечноразностные выражения (5) и (6) получаем:

;               (7)

Так, что после подстановки (3) и (5) в (2.1) оно примет вид:

;                                (8)

Откуда, расчётная формула для внутренних узлов сетки:

;                          (9)

Для обеспечения устойчивости решения на каждом шаге по времени, перенесём  из левой части в правую, а образовавшийся в левой части «0» заменим производной по фиктивному времени τ:

.

Тогда, заменяя  получаем

;               (10)

Откуда, по явной схеме рассчитываем:

;       (11)

Уравнение (11) решается идентично в каждой ячейке однородной структуры, в то время как величина  рассчитывается во внешнем устройстве. Процесс взаимодействия ячеек однородной среды с внешним устройством см. на рисунке 2. Величины {,} являются сигналами от ячеек-соседей, а шаблон соседства (шаблон разностной схемы) напоминает несколько урезанный классический шаблон Неймана

,

если смотреть на задачу, как на двумерную.

Для проверки данного алгоритма и устройств его реализующих была выбрана однородная среда из 11-и одинаковых процессорных ячеек, реализующих вычисления по (11), причём, две из них были использованы для определения граничных условий, а остальные моделировали внутренние точки пространственной области.

Решалась задача, описываемая уравнением (1) в области значений:

                                                    (12)

с начальными и граничными условиями:

                                                 (13)

Теоретической решение этой задачи при постоянном коэффициенте =1 очень хорошо известно из курса уравнений мат. физики:

                         (14)

Поэтому результат численного решения сравнивался с (14).

Рисунок 3 Расхождение численного решения в ячейках однородной структуры и теоретического решения в зависимости от пространственных координат при h=0,1; Δt=0,25; Δτ=0,1; b=4; c=4 [6, с. 39]

Рис. 4 Расхождение численного решения в ячейках однородной структуры и теоретического решения в зависимости от времени при h=0,1; Δt=0,25; Δτ=0,1; b=4; c=4  [6, с. 40]

Для моделирования с непостоянным коэффициентом использовалась линейная зависимость , характерная для многих теплофизических процессов. [1, с. 59]

Во всех случаях расхождение численного расчёта с теоретическим решением не превысило 5%. Таким образом, однородная структура может успешно применяться в параллельных вычислениях на специализированных аппаратных комплексах при решении сложных и вычислительно ёмких задач математической физики.

Список литературы:

1. Александров А.А., Орлов К.А., Очков В.Ф. Webверсия справочника «Теплофизические свойства веществ теплоэнергетики». 2010.
2. Букреев И.Н., Мансуров Б.М., Горячев В.И. Микроэлектронные схемы цифровых устройств. – М.: Советское радио, 1975. – 264 с.
3. Воробьев В.А., Лаходынова Н.В. Пределы надежности однородных структур // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1989. № 3. С. 110-114.
4. Каляев А.В., Чернухин Ю.В., Носков В.Н., Каляев И.А. Однородные управляющие структуры адаптивных роботов. – М.: Наука., 1990. – 152 с.
5. Лаходынова Н.В. Задача просачивания и надежность однородных структур. // Радіоелектроніка. Інформатика. Управління., 2002, № 2. – С.96–100.
6. Хамухин А.А. Модификация ячейки однородной структуры для решения дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. // Известия Томского политехнического университета, 2011, том 318, №5, с. 37-41.
7. Хамухин А.А. Ячеечная модель устройства для решения дифференциальных уравнений в частных производных // Известия Томского политехнического университета. – 2010. – Т. 316. – № 5. – С. 62–67.