КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С ЖИДКОСТЬЮ

АННОТАЦИЯ

В работе рассматриваются колебания цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью, при этом с увеличением давления частота увеличивается, так как оболочка становится более жесткой. Расчеты подтверждают известный вывод о том, что с увеличением скорости частота уменьшается. При дальнейшем увеличении одна из частот может обращаться в нуль, что приводит к потере устойчивости оболочки. Для коротких и тонких труб с ростом скорости вторая низшая частота уменьшается быстрее, чем первая. У длинных труб, наоборот, первая низшая частота достигает нуля быстрее, чем вторая.

ABSTRACT

The paper considers the vibrations of a cylindrical shell with a flowing liquid. that in this case, with increasing pressure, the frequency increases, since the shell becomes more rigid. Calculations confirm the well-known conclusion that with increasing speed, the frequency decreases. With a further increase, one of the frequencies can vanish, which leads to the loss of stability of the shell. For short and thin pipes, as the speed increases, the second lowest frequency decreases faster than the first. In long pipes, on the other hand, the first lowest frequencies reach zero faster than the second.

Ключевая слова: оболочка, давление, частота, тонкие трубы, усилия и деформация.

Keywords: shell, pressure, frequency, thin pipes, forces and deformation.

Введение

Для сравнения результатов расчетов прямолинейных и криволинейных трубопроводов рассмотрим уравнение движения цилиндрических оболочек с протекающей жидкостью [1; 6], находящихся в упругой среде. Уравнения равновесия элемента оболочки сведем к одному разрешающему уравнению в перемещениях. Для этого исключим из уравнения равновесия усилия , ,  и используем соотношения между усилиями и деформациями, а также между деформациями и перемещениями. Рассматривая малые перемещения, можно отбросить все нелинейные слагаемые, в результате чего придем к уравнению:

,                  (1)

где .

Методы

Приступая к решению (1), отметим, что все перемещения и углы поворота можно представить через . Разделяя переменные, примем  в виде ряда:

,                                                           (2)

где – круговая частота свободных колебаний.

Тогда:

.         (3)

Подставляя (2) и (3) в уравнение (1) и используя алгоритм метода Бубнова–Галеркина,

                                               (4)

где – левая часть уравнения (4), получим систему уравнений для определения искомых функций , причем коэффициенты этой системы при  обращаются в нуль:

.                                  (5)

Здесь – функция переменной , изменяющейся в пределах:

.

Коэффициенты системы уравнений (5) определяются выражениями:

,              (6)

где .

Систему однородных дифференциальных уравнений (5) представим в матричной форме, используя операторную символику:

 ,                                                 (7)

где – линейные операторы, определяющие дифференциальные и алгебраические операции над функциями :

.                              (8)

Отметим, что вид функции  зависит от граничных условий на торцах оболочки. Рассмотрим случай шарнирного закрепления обоих торцов. Представим функцию  в виде тригонометрического ряда, заранее удовлетворив граничным условиям:

.                                                   (9)

Решение в виде:

,                                                          (10)

где  удовлетворяет (9).

Подставляя решение (10) в (9) и применяя снова метод Бубнова–Галеркина для области интегрирования , получим систему из  однородных алгебраических уравнений. Условие отсутствия тривиальных решений приводит к равенству нулю определителя, составленного из коэффициентов этой системы:

,                                       (11)

где

, когда  или  четные или нечетные; в остальных случаях .

Результаты

Раскрывая определитель (11), получаем спектр частот свободных колебаний .    Анализ полученных результатов показал, что влияние кариолисовой силы на частоту свободных колебаний мало. Поэтому в дальнейшем влияние этой силы не учитывается. Тогда выражение для определения квадрата частоты принимает вид:

.               (12)

Члены, содержащиеся во второй скобке знаменателя (12), отражают влияние различных составляющих сил инерции. Все эти выше приведенные процедуры вычисления частот приведены в работе [5], мы использовали их алгоритм для сопоставления результатов прямолинейных и криволинейных трубопроводов с протекающей жидкостью.

Рисунок 1. Зависимость частоты свободных колебаний от L/d

.                        (13)

Анализ

Из формулы (12) и графиков на рис. 1 следует, что на частоту свободных колебаний оказывают существенное влияние соотношения геометрических параметров ( и ). При этом видно, что с увеличением  и уменьшением  частота резко падает, труба становится менее жесткой, влияние концевых закреплений – менее ощутимым. Дальнейшее увеличение параметра  приводит к тому, что низшая частота реализуется при , т.е. свободные колебания совпадают с первым тоном изгибных колебаний балки. Для этого случая (12) после преобразований результат совпадает с решением [4], полученным без учета давления жидкости. Для класса труб средней длины формула (13) не пригодна, так как она не учитывает влияние деформации профиля трубы, а инерционные силы учтены только в плоскости ее изгиба. Дальнейший анализ показывает, что при достаточно тонких стенках трубы на частоту свободных колебаний при  заметно влияет внутреннее давление жидкости. Естественно, что при этом с увеличением давления частота увеличивается, так как оболочка становится более жесткой. Некоторые результаты, отражающие зависимость  от внутреннего давления , сведены в таблицу (принято ). Расчеты подтверждают известный вывод о том, что с увеличением скорости  частота уменьшается. При дальнейшем увеличении  одна из частот может обращаться в нуль, что приводит к потери устойчивости оболочки. Для коротких и тонких труб с ростом  низшая частота при  уменьшается быстрее, чем при . У длинных труб, наоборот, низшие частоты при  достигают нуля быстрее, чем при . В заключение отметим, что формула (12), полученная на основе полу без моментной теории, позволила обследовать более широкий класс труб по сравнению с решениями, основанными на теории колебаний стержней. Для проверки алгоритма и программы сопоставили полученные некоторые частные решения с известными результатами [3]. Рассматривается тороидальная оболочка, на граничных контурах оболочки задавались условия жесткой задачи . В этом случае минимальной частоте соответствуют обе симметричные формы колебаний. Приведенные значения этой частоты в зависимости от величины , угол  приведены в таблице 1 (). Полученное значение по нашей методике отличается от известных [1] до 10%. В работе [2] дана следующая формула для определения собственных частот кривых цилиндрических оболочек с учетом действия жидкости:

 или ,                 (14)

где ; – число узловых меридианов; – толщина; – радиус оболочки. Значение коэффициента  зависит от . Если , тогда . Из анализов известных результатов учет влияние жидкости, играют роль как присоединения масса. Значит, частота в этом случае принимает завышенное значение (давление с пустой оболочкой).

Таблица 1.

Приведенные значения частоты в зависимости от угла

Обсуждение

Напорные трубопроводы из полиэтиленовых труб получили сегодня большое распространение для транспортировки газа, нефти, нефтепродуктов. Трубы, изготовленные из полиэтилена марки ПЭ 80 и ПЭ 100 с модулем упругости материала  и коэффициентом Пуассона , имеют внешние диаметры до 1200 мм с отношением толщины стенки трубы к радиусу срединной поверхности  и рассчитаны на внутреннее гидростатическое давление до 0,8 МПа. Криволинейные участки трубопроводов из полиэтиленовых труб изготовляются из секций с наружным диаметром до 630 мм и представляют собой тонкостенные тороидальные оболочки.

Заключение

 Динамический расчет таких участков должен выполняться на основании теории оболочек. Исследование частот  по первым трем формам собственных колебаний  криволинейных участков полиэтиленовых трубопроводов со значительно меньшим модулем упругости, чем у стальных, позволило выявить существенную зависимость значений частот колебаний от скорости потока жидкости. В соответствии с сортаментом на полиэтиленовые трубы [7] расчеты частот проводились для криволинейных участков трубопроводов с наружным диаметром 630 мм и с относительной толщиной стенки . Исследовались собственные колебания труб с относительной кривизной  и  и с изменением скорости потока жидкости (вода) от 0 до .

Список литературы:

1. Математическое моделирование собственных и вынужденных колебаний криволинейных труб, взаимодействующих со средой : монография / И.И. Сафаров, М.Х. Тешаев, Н.К. Эсанов, З.К. Ҳамроева. – Тошкент : Фан, 2009. – 161 б.   
2. Рашидов Т.Р., Хожиметов Г.Х., Мардонов Б.М. Колебания сооружений, взаимодействующих с грунтом. – Тошкент : Фан, 1975. – 174 с.
3. СНиП 2.05.06-85*. Магистральные трубопроводы. – М. : Госстрой России, 1997. – 60 с.
4. Соколов В.Г. Свободные колебания криволинейного трубопровода, содержащего поток жидкости // Строительство трубопроводов. – 1981. – № 6. – С. 25–26.
5. Соколов В.Г., Березнев А.В. Решение задач о сводных колебаниях криволинейных участков трубопроводов с протекающей жидкостью // Известия вузов. Нефть и газ. – 2005. – № 1. – С. 80–84.
6. Удовенко В.Е., Сафронова И.П., Гусева Н.Б. Полиэтиленовые трубопроводы. – М. : Полимер Газ, 2003. – 50 с.